2025年大學《信息與計算科學》專業(yè)題庫——信息與計算科學專業(yè)博士研究生培養(yǎng)考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述信息與計算科學學科的性質(zhì)、研究范疇及其與數(shù)學、計算機科學、其他學科的交叉關(guān)系。說明該學科在解決當代科學與技術(shù)難題中的重要作用。二、證明泰勒級數(shù)定理：若函數(shù)f(x)在點x?的鄰域內(nèi)具有n階導數(shù)，則在該鄰域內(nèi)f(x)可以表示為f(x)=f(x?)+f'(x?)(x-x?)+(x-x?)2/2!*f''(x?)+...+(x-x?)?/n!*f?(x?)+R?(x)其中R?(x)是余項，且當x趨于x?時，R?(x)趨于0。請說明拉格朗日型余項和佩亞諾型余項的表達式及其意義。三、描述并分析圖靈機模型。說明圖靈機的基本組成部分（控制器、帶子、讀寫頭），解釋其工作原理。討論圖靈機模型在計算理論中的地位，以及什么是可計算函數(shù)和不可計算函數(shù)。四、考慮如下遞推關(guān)系：a?=5a???-6a???+2n,n≥2給定初始條件a?=1,a?=2。(1)求解對應的齊次遞推關(guān)系a?=5a???-6a???。(2)找到一個特解，用于求解非齊次遞推關(guān)系。(3)寫出a?的通解表達式。五、解釋什么是分治算法策略。以快速排序（QuickSort）或歸并排序（MergeSort）為例，描述其基本思想、遞歸過程和合并步驟。分析歸并排序算法的時間復雜度、空間復雜度，并討論其優(yōu)缺點。六、什么是機器學習？闡述監(jiān)督學習、無監(jiān)督學習和強化學習的核心思想與主要區(qū)別。舉例說明支持向量機（SVM）在分類問題中的應用原理，并簡述其對非線性問題的處理方法。七、討論數(shù)值求解常微分方程初值問題的基本思想。比較歐拉法（EulerMethod）、改進歐拉法（如Heun方法或梯形法）和龍格-庫塔法（Runge-KuttaMethod，如RK4）的原理、精度和穩(wěn)定性。分析選擇不同數(shù)值方法時需要考慮的因素（如精度要求、步長選擇、計算效率等）。八、闡述密碼學中對稱加密與非對稱加密的基本概念。說明公鑰和私鑰在兩種加密方式中的作用。簡述RSA公鑰加密體制的原理，包括關(guān)鍵步驟（如模冪運算、歐拉函數(shù)、密鑰生成、加密解密過程）以及需要解決的基本問題（如大整數(shù)分解）。九、結(jié)合數(shù)據(jù)科學領(lǐng)域的具體應用場景，論述大數(shù)據(jù)分析的基本流程。應包括數(shù)據(jù)采集與預處理、數(shù)據(jù)存儲與管理、數(shù)據(jù)分析與挖掘（如探索性數(shù)據(jù)分析、模式識別、機器學習模型應用）、以及數(shù)據(jù)可視化與結(jié)果解釋等關(guān)鍵環(huán)節(jié)。討論在處理大數(shù)據(jù)時可能遇到的技術(shù)挑戰(zhàn)（如數(shù)據(jù)量、數(shù)據(jù)質(zhì)量、實時性、計算資源等）。十、作為一名信息與計算科學專業(yè)的博士生，你計劃在計算幾何領(lǐng)域進行深入研究。請結(jié)合當前該領(lǐng)域的研究熱點（如幾何算法設(shè)計與分析、幾何數(shù)據(jù)處理、計算可視化等），闡述你擬定的研究方向，說明其研究意義、可能的研究內(nèi)容、擬采用的研究方法和技術(shù)路線，并分析可能遇到的困難和挑戰(zhàn)。試卷答案一、信息與計算科學是一門交叉學科，它以數(shù)學為基礎(chǔ)，以計算機科學為工具，研究信息獲取、處理、存儲、傳輸和利用的理論、方法與技術(shù)。其研究范疇涵蓋計算理論、算法設(shè)計、計算數(shù)學、數(shù)據(jù)科學、人工智能、計算機圖形學、計算機視覺、網(wǎng)絡科學等多個方面。它與數(shù)學的交叉在于離散數(shù)學、數(shù)值分析、運籌學等；與計算機科學的交叉在于軟件工程、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)庫等。該學科在物理、生物、金融、工程等眾多領(lǐng)域解決復雜問題中發(fā)揮著核心作用，如天氣預報、基因組測序、金融風險評估、智能控制等，是推動科技進步和社會發(fā)展的重要力量。二、證明略（標準證明過程涉及泰勒公式余項的定義、拉格朗日中值定理的應用等）。解析思路：首先根據(jù)函數(shù)在鄰域內(nèi)有n階導數(shù)的條件，寫出泰勒級數(shù)的一般形式。然后根據(jù)余項的定義R?(x)=f(x)-P?(x)（其中P?(x)是n階泰勒多項式），通過引入高階導數(shù)存在性的函數(shù)η(x)，利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理等方法，推導出拉格朗日型余項R?(x)=(x-x?)?/?!*f???(ξ)，其中ξ是x?與x之間的某個點。佩亞諾型余項則基于函數(shù)的極限性質(zhì)，說明當x趨于x?時，R?(x)是比(x-x?)?高階的無窮小量，即R?(x)=o((x-x?)?)。三、圖靈機模型由一個控制器、一個無限長的帶子（分為若干單元格，初始時每個單元格可包含一個符號，稱為空白符）以及一個可以在帶子上左右移動的讀寫頭組成?？刂破骶哂杏邢迋€狀態(tài)，一個初始狀態(tài)，一個接受狀態(tài)集合和一個停機狀態(tài)集合。工作原理是：控制器處于某一狀態(tài)，讀寫頭正對著帶子上的某個符號。根據(jù)當前狀態(tài)和該符號，控制器執(zhí)行一個動作（轉(zhuǎn)換到新狀態(tài)、在當前單元寫上新符號、讀寫頭向左或向右移動），然后進入下一個狀態(tài)，繼續(xù)下一輪操作。圖靈機模型是計算理論的基礎(chǔ)，可計算函數(shù)是指能被圖靈機接受的字符串集合對應的函數(shù)。不可計算函數(shù)則是指不能被任何圖靈機計算的函數(shù)，如停機問題函數(shù)。解析思路：首先明確圖靈機的組成部分及其功能。然后描述其工作過程，強調(diào)狀態(tài)轉(zhuǎn)換、符號讀寫和頭移動這三個核心動作。接著闡述其在計算理論中的地位，將其作為計算能力的形式化模型。最后通過可計算函數(shù)的定義（圖靈機接受的語言）和不可計算函數(shù)的例子（如停機問題），說明其界限。四、(1)對應的齊次遞推關(guān)系為a?=5a???-6a???。其特征方程為r2-5r+6=0，解為r?=2,r?=3。齊次通解為a?_h=C?(2)?+C?(3)?。(2)假設(shè)特解形式為a?_p=An+B。代入原非齊次遞推關(guān)系，得A(5-6)+B=2n。比較系數(shù)，得-5A=2,A=-2/5;5(-2/5)+B=0=>B=2。故特解為a?_p=(-2/5)n+2。(3)通解為a?=a?_h+a?_p=C?(2)?+C?(3)?-(2/5)n+2。解析思路：求解齊次部分，通過特征方程求特征根，得到齊次通解。求解非齊次部分，根據(jù)非齊次項2n的形式，猜測特解形式，代入原方程求解系數(shù)。最后將齊次通解和非齊次特解相加，得到原遞推關(guān)系的通解。利用初始條件a?=1,a?=2求解常數(shù)C?和C?。五、分治算法策略是將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規(guī)模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。其基本思想包括分解（Divide）、解決（Conquer）和合并（Combine）三個步驟。以歸并排序為例，分解：將待排序序列遞歸地分成兩半，直到子序列長度為1（自然有序）。解決：遞歸地對分割后的子序列進行歸并排序。合并：將兩個有序的子序列合并成一個有序的序列。歸并排序的時間復雜度為O(nlogn)，空間復雜度為O(n)（需要額外的存儲空間）。優(yōu)點是排序穩(wěn)定，時間復雜度具有下界保證。缺點是需要額外的存儲空間，對于小規(guī)模數(shù)據(jù)或幾乎有序的數(shù)據(jù)效率不高。解析思路：首先解釋分治策略的核心思想——分解問題、解決子問題、合并結(jié)果。然后以歸并排序為例，具體描述其三個步驟。分析歸并排序的時間復雜度（分治樹的深度為logn，每層合并操作涉及n個元素，故為O(nlogn)）和空間復雜度（需要與原序列等長的輔助數(shù)組）。最后討論其優(yōu)缺點。六、機器學習是人工智能的一個分支，它使計算機能夠從數(shù)據(jù)中學習規(guī)律和模式，而無需進行顯式編程。監(jiān)督學習通過學習帶有標簽（輸入-輸出對）的訓練數(shù)據(jù)，構(gòu)建一個模型來預測新輸入的輸出。無監(jiān)督學習處理沒有標簽的數(shù)據(jù)，旨在發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的內(nèi)在結(jié)構(gòu)或模式，如聚類或降維。強化學習通過智能體與環(huán)境的交互，根據(jù)獲得的獎勵或懲罰來學習最優(yōu)策略。支持向量機（SVM）是一種用于分類和回歸的監(jiān)督學習方法。其基本思想是找到一個超平面，將不同類別的數(shù)據(jù)點盡可能分開，并且最大化分類間隔。對于非線性問題，通過核函數(shù)（如高斯核）將數(shù)據(jù)映射到高維特征空間，在高維空間中尋找線性可分超平面。解析思路：首先分別解釋監(jiān)督學習、無監(jiān)督學習和強化學習的定義和核心思想。然后說明SVM的基本概念，包括其分類原理（最大間隔分離超平面）和目標。最后解釋SVM處理非線性問題的方法（核技巧），即通過非線性映射將數(shù)據(jù)映射到高維空間，使其線性可分。七、數(shù)值求解常微分方程初值問題（如y'=f(t,y),y(t?)=y?）的基本思想是利用已知的初值，通過某種離散化的方法，逐步計算得到解函數(shù)y(t)在一系列離散點t?,t?,...,t?上的近似值y?,y?,...,y?。歐拉法是最簡單的顯式方法，其公式為y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)，其中h是步長。改進歐拉法（如Heun方法）通過預測-校正步驟提高精度，Heun方法預測步為y*_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)，然后計算平均斜率y_{n+1}=y_n+h/2*(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y*_{n+1}))。龍格-庫塔法（如RK4）通過在步內(nèi)多個點計算斜率來獲得更高的精度，RK4公式為y_{n+1}=y_n+1/6*(k?+2k?+2k?+k?)，其中k?=f(t_n,y_n),k?=f(t_n+h/2,y_n+hk?/2),k?=f(t_n+h/2,y_n+hk?/2),k?=f(t_n+h,y_n+hk?)。選擇方法時需考慮：精度要求（RK4比Euler精度高）、步長選擇（小步長通常精度高但計算量大）、穩(wěn)定性（某些方法對步長有限制）、計算效率等。解析思路：首先闡述數(shù)值求解初值問題的基本原理——離散化、逐步逼近。然后分別介紹歐拉法、改進歐拉法（以Heun為例）和龍格-庫塔法（以RK4為例）的原理和計算公式，強調(diào)它們斜率計算的差異和精度。最后討論選擇不同方法時需要權(quán)衡的因素。八、對稱加密（SecretKeyCryptography）使用同一個密鑰進行加密和解密。發(fā)送方用密鑰加密明文生成密文，接收方用相同的密鑰解密密文恢復明文。優(yōu)點是加解密速度快、效率高。缺點是密鑰分發(fā)和管理困難，尤其是在分布式系統(tǒng)中。非對稱加密（PublicKeyCryptography）使用一對密鑰：公鑰和私鑰。公鑰可以公開分發(fā)，用于加密信息或驗證數(shù)字簽名；私鑰由所有者保管，用于解密信息或生成數(shù)字簽名。公鑰和私鑰具有數(shù)學上的關(guān)聯(lián)，用其中一個加密的信息只能用另一個解密。RSA公鑰加密體制基于大整數(shù)分解的困難性。密鑰生成：選擇兩個大質(zhì)數(shù)p和q，計算n=p*q，φ(n)=(p-1)(q-1)。選擇與φ(n)互質(zhì)的整數(shù)e作為公鑰指數(shù)，計算e的模逆元d作為私鑰指數(shù)。加密：明文m用公鑰(n,e)加密為c=m^emodn。解密：用私鑰(n,d)解密為m=c^dmodn。解析思路：首先解釋對稱加密和非對稱加密的基本概念、密鑰使用方式及優(yōu)缺點。然后詳細闡述RSA體制的原理，包括密鑰生成過程（選擇質(zhì)數(shù)、計算n和φ(n)、選擇e和計算d）、加密過程和解密過程，并點明其理論基礎(chǔ)（大數(shù)分解難題）。九、大數(shù)據(jù)分析的基本流程通常包括：數(shù)據(jù)采集與預處理：從各種來源（數(shù)據(jù)庫、文件、網(wǎng)絡、傳感器等）收集原始數(shù)據(jù)，并進行清洗（處理缺失值、異常值）、轉(zhuǎn)換（統(tǒng)一格式、歸一化）、集成（合并多源數(shù)據(jù)）等操作，以獲得高質(zhì)量的分析數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)存儲與管理：根據(jù)數(shù)據(jù)規(guī)模和類型選擇合適的存儲系統(tǒng)（如分布式文件系統(tǒng)HadoopHDFS、NoSQL數(shù)據(jù)庫等），并進行有效的數(shù)據(jù)管理。數(shù)據(jù)分析與挖掘：運用統(tǒng)計學、機器學習、數(shù)據(jù)挖掘等技術(shù)，對數(shù)據(jù)進行分析，如進行探索性數(shù)據(jù)分析（EDA）發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)特征和模式，應用聚類、分類、關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘等方法發(fā)現(xiàn)隱藏信息，或構(gòu)建預測模型。數(shù)據(jù)可視化與結(jié)果解釋：將分析結(jié)果以圖表、儀表盤等可視化形式展現(xiàn)，使決策者易于理解和利用，并對結(jié)果進行解釋，提供有價值的洞察。解析思路：按照大數(shù)據(jù)分析的標準流程，依次闡述每個階段的主要任務和內(nèi)容。從數(shù)據(jù)源頭開始（采集、預處理），到存儲基礎(chǔ)（存儲與管理），再到核心處理（分析、挖掘），最后到結(jié)果呈現(xiàn)（可視化、解釋）。在描述中可以結(jié)合具體技術(shù)或工具的例子（如Hadoop、Spark、MongoDB、K-means、SVM等），并討論大數(shù)據(jù)帶來的挑戰(zhàn)（如數(shù)據(jù)量巨大、種類繁多、速度快、價值密度低等）。十、研究方向：計算幾何在機器人路徑規(guī)劃與避障中的應用。研究意義：機器人需要在其工作環(huán)境中自主移動，有效的路徑規(guī)劃與避障是確保其安全、高效運行的關(guān)鍵。計算幾何為機器人路徑規(guī)劃提供了理論基礎(chǔ)和算法支持，能夠處理復雜環(huán)境中的幾何計算問題，對于提升機器人智能化水平、拓展應用場景（如自動駕駛、工業(yè)自動化、服務機器人等）具有重要意義。可能研究內(nèi)容：研究基于計算幾何的實時路徑規(guī)劃算法，如基于visibilitygraphs、Voronoi圖、或概率路圖（ProbabilisticRoadmaps,PRM）的方法，并分析其計算復雜度和性能。探索將機器學習（如強化學習）與計算幾何方法相結(jié)合，以提高路徑規(guī)劃的適應性和魯棒性，使其能更好地處理動態(tài)環(huán)境。研究高維空間中的計算幾何問題及其在機器人配置空間（C空間）分析中的應用。設(shè)計新的計算幾何數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)或算法，以優(yōu)化特定場景（如狹窄通道、障礙物密集區(qū)域）下的路徑規(guī)劃效率。擬采用研究方法與技術(shù)路線：首先，深入研究相關(guān)的計算幾何基礎(chǔ)理論（如凸包、格網(wǎng)、Voronoi圖、visibilitygraphs等）和路徑規(guī)劃算法。其次，收集和分析機器人路徑規(guī)劃的benchmark數(shù)據(jù)集，或設(shè)計模擬環(huán)境進行實驗驗證。然后，設(shè)計并實現(xiàn)所提出的研究算法，利用C++或Python等編程語言