2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——大學(xué)數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)的群表示研究考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題1.設(shè)G是一個(gè)有限群，ρ是G的一個(gè)線性表示，α是ρ的一個(gè)表示矩陣，若g∈G，則α(g)的階等于g的階。2.有限群G的一個(gè)不可約表示ρ的維數(shù)稱為ρ的__。3.設(shè)ρ?和ρ?是有限群G的不可約線性表示，若χ?和χ?分別是ρ?和ρ?的特征標(biāo)，則內(nèi)積(χ?,χ?)=∑_{g∈G}χ?(g)χ?(g)=__。4.Maschke定理指出，如果群G的階不是p的冪（p為素?cái)?shù)），則G的任一線性表示都可分解為不可約表示的__。5.循環(huán)群C_n的特征標(biāo)表是一個(gè)1×n的矩陣，其元素為復(fù)數(shù)單位根的__。6.對稱群S_n的n維標(biāo)準(zhǔn)表示（即交錯(cuò)對稱群A_n在S_n中的表示）的特征標(biāo)χ_μ(σ)=__，其中μ是S_n的一個(gè)分拆，σ∈S_n。二、選擇題1.下列哪個(gè)條件是有限群G的線性表示ρ是不可約的充分必要條件？(A)對任意的g∈G，α(g)是可逆矩陣。(B)α(G)生成的子群包含整個(gè)GL(n,C)。(C)不存在非平凡的G-不變子空間。(D)特征標(biāo)χ_ρ是G的忠實(shí)表示。*(提示：考慮Schur引理)*2.設(shè)G是循環(huán)群C_n，ρ是G的一個(gè)k階不可約表示，則χ_ρ(C_n)（即特征標(biāo)χ_ρ在C_n上的取值集合）是__。(A){1,ω,ω2,...,ω^(k-1)}，其中ω是n次單位根。(B){0}。(C){±1}。(D){0,±1}。*(提示：考慮C_n的表示與n次單位根的關(guān)系)*3.有限群G的任一不可約表示的特征標(biāo)都是__。(A)G的特征標(biāo)。(B)奇數(shù)次單位根。(C)整數(shù)。(D)實(shí)數(shù)。*(提示：考慮特征標(biāo)的性質(zhì))*4.設(shè)ρ是有限群G的表示，α(g)∈GL(n,C)，則α(G)是GL(n,C)的__。(A)真子群。(B)子群。(C)正規(guī)子群。(D)循環(huán)子群。*(提示：考慮表示的定義和G的作用)*5.對于有限群G的任一表示ρ，其特征標(biāo)χ_ρ滿足__。(A)χ_ρ(e)=n,其中e是單位元。(B)χ_ρ(g)是實(shí)數(shù)，對所有g(shù)∈G。(C)χ_ρ(G)包含所有n次單位根。(D)對任意g∈G，|χ_ρ(g)|=n。三、計(jì)算題1.設(shè)G是三階循環(huán)群C_3，即G={e,a,a2}，其中a3=e。求G的特征標(biāo)表。2.設(shè)S_3是三階對稱群，求S_3的特征標(biāo)表。3.設(shè)ρ是S_3的一個(gè)2維不可約表示，求分枝規(guī)則，即計(jì)算ρ在S_3的子群A_3（交錯(cuò)群）上的限制以及在該子群上的表示的維數(shù)。4.設(shè)G是四階循環(huán)群C_4，即G={e,a,a2,a3}，其中a?=e。求G的全體不可約表示的特征標(biāo)。四、證明題1.證明：有限群G的任一不可約表示的特征標(biāo)的重?cái)?shù)是正整數(shù)。2.證明Schur引理：設(shè)ρ和σ是有限群G的不可約表示，則ρ與σ的直和表示ρ⊕σ也是不可約的當(dāng)且僅當(dāng)G中存在某個(gè)元素g使得α_ρ(g)和α_σ(g)都是單位矩陣。3.證明：有限群G的任一表示的特征標(biāo)都是G的特征標(biāo)。4.證明Maschke定理的一個(gè)推論：如果G的階不是素?cái)?shù)p的冪，則G的任一表示都可以分解為不可約表示的直和。---試卷答案一、填空題1.同構(gòu)2.次數(shù)3.G上的內(nèi)積4.直和5.冪6.1或(-1)的μ的符號(hào)二、選擇題1.C2.A3.A4.B5.A三、計(jì)算題1.答案：G的特征標(biāo)表如下（以χ_1,χ_2,χ_3表示三個(gè)1維不可約表示的特征標(biāo)）：|g|e|a|a2||-----|-----|-----|-----||χ_1|1|1|1||χ_2|1|ω|ω2||χ_3|1|-ω|-ω2|（其中ω是復(fù)數(shù)單位根，滿足ω2+ω+1=0）解析思路：C_n的特征標(biāo)表由1維不可約表示構(gòu)成，其特征標(biāo)是n次單位根的1次、-1次、...等冪。對于C_3={e,a,a2}，χ_1(e)=3（對應(yīng)恒等表示），χ_1(a)=χ_1(a2)=1。χ_2(e)=3，χ_2(a)=-1，χ_2(a2)=ω（ω3=1）。χ_3(e)=3，χ_3(a)=-ω，χ_3(a2)=-ω2。利用特征標(biāo)正交性可驗(yàn)證。2.答案：S_3的特征標(biāo)表如下（以χ_1,χ_2,χ_3,χ_4表示特征標(biāo)）：|g|e|(12)|(13)|(23)|(123)|(132)||---------|---------|---------|---------|---------|---------|---------||χ_1|6|1|1|1|-1|-1||χ_2|3|1|-1|-1|0|0||χ_3|2|α|α2|α2|-α|-α2||χ_4|1|-1|-1|-1|1|1|（其中α是復(fù)數(shù)單位根，滿足α2+α+1=0，χ_3是標(biāo)準(zhǔn)表示的特征標(biāo)，α=(1,2,3))解析思路：利用特征標(biāo)性質(zhì)和S_3的結(jié)構(gòu)。χ_1是恒等表示，χ_2是2維表示（交錯(cuò)表示），χ_4是1維表示（反對稱表示）。χ_3（標(biāo)準(zhǔn)表示）的特征標(biāo)可通過分枝規(guī)則從S_3的不可約表示出發(fā)計(jì)算或直接給出。3.答案：設(shè)ρ是S_3的2維不可約表示，其特征標(biāo)為χ_ρ。S_3的子群A_3={e,(123),(132)}。ρ在A_3上的限制記作ρ|_{A_3}。根據(jù)分枝規(guī)則：χ_ρ((1))=χ_ρ((123))=χ_ρ((132))=1（因?yàn)锳_3是S_3的正規(guī)子群，且(1)∈A_3）。ρ|_{A_3}?ρ。因此，ρ在A_3上的限制是S_3的2維不可約表示ρ本身。解析思路：應(yīng)用交錯(cuò)群A_3在S_3上的表示的分枝規(guī)則。由于A_3是S_3的正規(guī)子群，且(1)∈A_3，其在S_3的標(biāo)準(zhǔn)表示下的像在A_3中的限制即為標(biāo)準(zhǔn)表示本身。因此，S_3的任一2維不可約表示在A_3上的限制都是S_3的2維不可約表示。4.答案：C_4={e,a,a2,a3}的特征標(biāo)表由1維不可約表示構(gòu)成。設(shè)χ_1,χ_2,χ_3是三個(gè)1維表示的特征標(biāo)。χ_1(e)=4。χ_2(e)=2，χ_2(a)=ω，χ_2(a2)=ω2，χ_2(a3)=-ω（ω?=1）。χ_3(e)=2，χ_3(a)=-1，χ_3(a2)=-1，χ_3(a3)=1。χ_1是恒等表示，χ_2和χ_3是兩個(gè)不同的1維表示，利用正交性可驗(yàn)證。解析思路：C_n的特征標(biāo)表由1維不可約表示構(gòu)成，其特征標(biāo)是n次單位根的冪。對于C_4={e,a,a2,a3}，χ_1(e)=4。χ_2(e)=4，χ_2(a)=ω，χ_2(a2)=ω2，χ_2(a3)=-ω。χ_3(e)=4，χ_3(a)=-2，χ_3(a2)=-2，χ_3(a3)=2。利用特征標(biāo)正交性可以證明χ_2和χ_3是不同的表示，且它們與χ_1一起構(gòu)成完整的特征標(biāo)表。四、證明題1.證明思路：設(shè)ρ是G的k維不可約表示。由Maschke定理，ρ可以分解為不可約表示的直和。設(shè)其重?cái)?shù)為m，即ρ=⊕_{i=1}^mm_iρ_i，其中ρ_i是不可約表示。對G中任一元素g，α_g(ρ)=⊕_{i=1}^mm_iα_{ρ_i}(g)。由于ρ_i是不可約的，α_{ρ_i}(g)非零當(dāng)且僅當(dāng)g屬于ρ_i的核。由于ρ是不可約的，其核只可能是{e}。因此，m_iα_{ρ_i}(g)只有在g=e時(shí)才非零。所以，α_g(ρ)=m_iα_{ρ_i}(g)=m_iα_{ρ_i}(e)I_k。這意味著α_g(ρ)=m_iM_i，其中M_i=α_{ρ_i}(e)I_k。由于α_g(ρ)是m_i階方陣乘以I_k，α_g(ρ)的跡為m_iχ_{ρ_i}(e)。由于ρ是不可約的，χ_{ρ_i}(e)=dim(ρ_i)=k。因此，α_g(ρ)的跡為m_ik。對G中所有g(shù)求和，得到Tr(α_g(ρ))=∑_{g∈G}m_ik=k∑_{g∈G}m_i=k|G|。另一方面，由特征標(biāo)性質(zhì)，Tr(α_g(ρ))=χ_ρ(G)=m∑_{i=1}^mm_iχ_{ρ_i}(e)=mk。比較兩者，得到m|G|=mk，故m=|G|/k。m是正整數(shù)，因?yàn)閙_i是正整數(shù)且k是正整數(shù)。證畢。2.證明思路：必要性。設(shè)ρ⊕σ是G的不可約表示。對G中任一元素g，(α_ρ(g)⊕α_σ(g))(α_ρ(g)⊕α_σ(g))^*=α_ρ(g)α_ρ(g)^*⊕α_σ(g)α_σ(g)^*=I_k⊕I_k=I_{2k}。因此，α_ρ(g)⊕α_σ(g)是可逆矩陣，即ρ與σ的直和表示是不可約的。充分性。設(shè)G中存在g使得α_ρ(g)=I_k且α_σ(g)=I_k。則對任意h∈G，α_ρ(hg)=α_ρ(h)α_ρ(g)=α_ρ(h)I_k=α_ρ(h)，α_σ(hg)=α_σ(h)α_σ(g)=α_σ(h)I_k=α_σ(h)。即(h,α_ρ(h),α_σ(h))∈ρ(G)×σ(G)。這表明ρ(G)×σ(G)是G的不變子集。由于ρ(G)和σ(G)是G的子群，且ρ和σ是不可約的，α_ρ(g)和α_σ(g)是單位矩陣意味著ρ(G)和σ(G)是G的子群。因此，ρ(G)×σ(G)是G的子群。如果ρ(G)×σ(G)非平凡，則存在非零向量v=(v_ρ,v_σ)∈ρ(G)×σ(G)，其中v_ρ≠0,v_σ≠0。則v_ρ,v_σ分別屬于ρ和σ的核，這與ρ和σ是不可約的矛盾（核只可能是{e}）。因此，ρ(G)×σ(G)={0}。即對任意h∈G，α_ρ(h)α_ρ(g)^*=0且α_σ(h)α_σ(g)^*=0。取h=g，得α_ρ(g)α_ρ(g)^*=I_kα_ρ(g)^*=0，α_σ(g)α_σ(g)^*=I_kα_σ(g)^*=0。故α_ρ(g)^*=0,α_σ(g)^*=0。即α_ρ(g)和α_σ(g)都是零矩陣。這與g使得α_ρ(g)=I_k,α_σ(g)=I_k矛盾。因此，假設(shè)ρ⊕σ是可分的，即存在非平凡的G-不變子空間V?ρ⊕σ，導(dǎo)致ρ(G)×σ(G)非平凡，是錯(cuò)誤的。故ρ⊕σ是不可約的。證畢。3.證明思路：設(shè)ρ是G的表示，α_g是其在G中元素g處的矩陣表示。對任意g∈G，計(jì)算Tr(α_g(ρ))。由特征標(biāo)定義，χ_ρ(g)=Tr(α_g(ρ))?，F(xiàn)在證明χ_ρ(G)是G上的函數(shù)。即證明若h=gk，則χ_ρ(h)=χ_ρ(g)χ_ρ(k)。α_{gh}=α_gα_k。Tr(α_{gh})=Tr(α_gα_k)。由于α_g和α_k是方陣，Trace(AB)=Trace(BA)。Tr(α_gα_k)=Tr(α_kα_g)。由表示的定義，α_kα_g=α_gα_k。因此，Tr(α_kα_g)=Tr(α_gα_k)=Tr(α_g(ρ))。所以，χ_ρ(gh)