考研理學2025年量子物理理論試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（請將正確選項前的字母填在括號內，每小題2分，共20分）1.下列哪個算符是厄米算符？(A)$x^2$(B)$xp+px$(C)$i\hbar\frac{\partial}{\partialx}$(D)$x^3$2.一維無限深勢阱中，若粒子處于基態(tài)，則粒子在勢阱中部（離中心$\frac{a}{2}$處）附近出現(xiàn)的概率最大。(判斷對錯，正確填“√”，錯誤填“×”)3.根據泡利不相容原理，兩個全同費米子不可能同時處于同一個單粒子量子態(tài)。(判斷對錯，正確填“√”，錯誤填“×”)4.下列哪個物理量不具有量子化特性？(A)角動量的大小(B)角動量的z分量(C)粒子的動量(D)粒子的能量5.一維諧振子勢中，其能量本征值是量子化的，且能量間隔$\DeltaE$隨量子數$n$的增大而增大。(判斷對錯，正確填“√”，錯誤填“×”)6.在量子力學中，波函數$\psi(x,t)$的模平方$|\psi(x,t)|^2$代表在$t$時刻$x$附近單位體積內發(fā)現(xiàn)粒子的概率密度。(判斷對錯，正確填“√”，錯誤填“×”)7.粒子自旋量子數為$\frac{1}{2}$，則其自旋角動量在空間任意方向上的投影值只能有兩個。(判斷對錯，正確填“√”，錯誤填“×”)8.設$\hat{A}$和$\hat{B}$是兩個可觀測物理量對應的厄米算符，若它們有共同的本征態(tài)，則它們必定是對易的。(判斷對錯，正確填“√”，錯誤填“×”)9.在求解一維定態(tài)薛定諤方程時，邊界條件要求在勢阱邊界處波函數必須為零。(判斷對錯，正確填“√”，錯誤填“×”)10.哈密頓算符$\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+V(\hat{r})$總是厄米算符。(判斷對錯，正確填“√”，錯誤填“×”)二、填空題（請將答案填在橫線上，每空2分，共20分）1.一維無限深勢阱寬度為$a$，若粒子處于$n=3$的激發(fā)態(tài)，其德布羅意波長為________。2.設波函數$\psi(x)$滿足歸一化條件$\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^2dx=1$，則$\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x)\hat{x}\psi(x)dx$的物理意義是________。3.粒子的自旋量子數為$s$，則其自旋角動量的大小為________，其平方$\hat{S}^2$的本征值為________。4.一維諧振子勢中，若粒子處于基態(tài)，其能量為$E_1=\hbar\omega/2$，則其零點能（最低能量）為________。5.根據測不準關系，同時精確測量粒子的位置和動量是________的。6.算符$\hat{A}=x\hat{p}_x$和$\hat{B}=-\hat{p}_x$是對易的，即$[\hat{A},\hat{B}]=________$。7.一個系統(tǒng)的總波函數如果是反對稱的，那么該系統(tǒng)至少包含________個粒子。8.在一維無限深勢阱中，若勢阱寬度$a$縮小為原來的一半，則粒子能量本征值將變?yōu)樵瓉淼腳_______倍。9.設$\hat{H}$為系統(tǒng)的哈密頓算符，$\psi_1(x)$和$\psi_2(x)$是其滿足定態(tài)薛定諤方程的兩個本征態(tài)，對應的本征值分別為$E_1$和$E_2$($E_1\neqE_2$)，則$\int_{-\infty}^{\infty}\psi_1^*(x)\hat{H}\psi_2(x)dx$等于________。10.證明$\hat{x}^2+\hat{y}^2$和$\hat{p}_x^2+\hat{p}_y^2$是對易的，即$[\hat{x}^2+\hat{y}^2,\hat{p}_x^2+\hat{p}_y^2]=________$。三、計算題（請寫出詳細的解題步驟，每題10分，共30分）1.一維無限深勢阱中，粒子處于$n=2$的狀態(tài)，求粒子在$0\lex\le\frac{a}{2}$區(qū)間內找到粒子的概率。2.粒子處于狀態(tài)$\psi(x)=Ae^{-\alphax^2}$（$A$和$\alpha$為常量），求該粒子動量的平均值$\langle\hat{p}_x\rangle$。3.一維諧振子勢中，粒子的能量為$E=(n+\frac{1}{2})\hbar\omega$。證明：粒子處于任意狀態(tài)時，其動量$p$的概率分布函數$P(p)dp$是一個高斯分布，并求出其標準差與量子數$n$的關系。試卷答案一、選擇題1.A2.√3.√4.C5.×6.√7.√8.√9.√10.√二、填空題1.$a/(3\pi)$2.粒子位置的平均值3.$\sqrt{\hbars(s+1)}$；$\hbar^2s(s+1)$4.05.不可能6.07.28.49.$E_1\psi_1^*(x)\psi_2(x)$10.0三、計算題1.解析思路：寫出$n=2$態(tài)的波函數$\psi_2(x)=\sqrt{2/a}\sin(2\pix/a)$。利用概率密度$|\psi_2(x)|^2$在$0\lex\lea/2$區(qū)間積分求解。答案：$1/2$2.解析思路：利用$\hat{p}_x=-i\hbar\frac{\partial}{\partialx}$，先對$\psi(x)$求導，再計算$\langle\hat{p}_x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x)\hat{p}_x\psi(x)dx$。注意利用高斯函數的積分性質。答案：$-i\hbar\sqrt{\alpha/\pi}$3.解析思路：首先利用$\hat{p}_x^2=-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partialx^2}$和諧振子勢$V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2x^2$，寫出$\hat{H}\psi(x)=E\psi(x)$。然后通過$\langle\hat{p}_x^2\rangle=\int\psi^*\hat{p}_x^2\psidx$和$\langle\hat{x}^2\rangle=\int\psi^*\hat{x}^2\psidx$的計算，結合能量公式$E=(n+1/2)\hbar