2025年大學《應用統(tǒng)計學》專業(yè)題庫——統(tǒng)計學與環(huán)境科學的交叉研究考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述描述性統(tǒng)計在環(huán)境數(shù)據(jù)分析中的作用。請列舉至少三種常用的描述性統(tǒng)計量，并說明它們在分析某項環(huán)境指標（如年平均氣溫、PM2.5濃度）時各自能提供哪些信息。二、假設某研究旨在探究城市人口密度（X，單位：萬人/平方公里）對河流水體中某種污染物濃度（Y，單位：mg/L）的影響。研究者收集了10個城市的樣本數(shù)據(jù)，并計算出以下統(tǒng)計量：樣本容量n=10人口密度樣本均值$\bar{X}$=3.2污染物濃度樣本均值$\bar{Y}$=5.1人口密度樣本方差s²_X=1.5污染物濃度樣本方差s²_Y=4.0X與Y的樣本協(xié)方差cov(X,Y)=6.0請計算：1.X與Y之間的樣本相關系數(shù)r。2.根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，建立Y對X的簡單線性回歸方程$\hat{Y}=b_0+b_1X$。3.解釋回歸系數(shù)b₁的實際意義。三、為了評估某種新治理技術對改善河流水質的效果，研究者選取了河流上中下游三個斷面（A,B,C）進行監(jiān)測。在治理前（T1）和治理后（T2）各進行一次采樣，測得某項關鍵污染物（如溶解氧）的濃度（單位：mg/L）如下（數(shù)據(jù)僅為示例，非真實數(shù)據(jù)）：治理前：A斷面6.2,B斷面5.8,C斷面4.5治理后：A斷面7.5,B斷面6.3,C斷面5.2請使用適當?shù)慕y(tǒng)計方法檢驗該治理技術是否對河流上中下游的該項污染物濃度產生了顯著影響。請寫出假設檢驗的步驟，包括原假設和備擇假設、選擇的方法、計算檢驗統(tǒng)計量及P值（或臨界值法），并給出你的結論。四、在研究氣候變化對某地區(qū)干旱頻率的影響時，研究人員收集了過去50年的年降雨量數(shù)據(jù)（R，單位：mm）和標準化干旱指數(shù)數(shù)據(jù)（D）。他們想建立一個模型來預測未來的干旱情況。請簡述選擇線性回歸模型作為預測工具可能存在的局限性，并提出至少兩種改進模型或補充分析的方法。五、某項調查研究了家庭收入水平（高、中、低）與對某項環(huán)境政策支持度（支持、反對、中立）之間的關系。調查結果如下（頻數(shù)僅為示例）：高收入家庭：支持45%，反對30%，中立25%中等收入家庭：支持30%，反對40%，中立30%低收入家庭：支持20%，反對25%，中立55%請使用適當?shù)慕y(tǒng)計檢驗方法分析家庭收入水平與對環(huán)境政策支持度之間是否存在顯著的關聯(lián)性。請說明檢驗的依據(jù)和主要步驟。六、假設你需要分析一組環(huán)境監(jiān)測數(shù)據(jù)，其中包含多個變量，如不同時間點的空氣污染物濃度（PM10,PM2.5,SO2,NO2）、氣象條件（溫度、濕度、風速）等。在構建預測模型或進行多因素分析之前，為什么進行探索性數(shù)據(jù)分析（EDA）是必要的？請列舉至少四項EDA可以完成的任務，并說明其目的。試卷答案一、描述性統(tǒng)計通過計算和整理數(shù)據(jù)，提供環(huán)境指標的基本特征和分布情況，幫助我們理解數(shù)據(jù)的集中趨勢、離散程度和分布形態(tài)。這對于初步認識環(huán)境狀況、比較不同區(qū)域或不同時間的環(huán)境指標變化至關重要。常用的描述性統(tǒng)計量及其在分析環(huán)境指標（如年平均氣溫、PM2.5濃度）時的作用：1.均值（Mean）：反映環(huán)境指標的總體平均水平。例如，年平均氣溫的均值可以了解該地區(qū)的常年溫暖程度。PM2.5濃度的均值可以反映空氣污染的總體水平。2.中位數(shù)（Median）：將數(shù)據(jù)排序后位于中間位置的值，代表數(shù)據(jù)的中間水平，不受極端值影響。例如，PM2.5濃度的中位數(shù)可以提供一個不受極端污染日影響的典型污染水平參考。3.標準差（StandardDeviation）：衡量數(shù)據(jù)圍繞均值的波動或離散程度。例如，年平均氣溫的標準差可以反映氣溫年際變化的穩(wěn)定性；PM2.5濃度的標準差可以說明污染水平的波動大小。二、1.樣本相關系數(shù)r的計算公式為r=cov(X,Y)/(s_X*s_Y)。首先計算樣本標準差：s_X=$\sqrt{1.5}$≈1.2247s_Y=$\sqrt{4.0}$=2.0然后，計算相關系數(shù)：r=6.0/(1.2247*2.0)≈6.0/2.4494≈0.9788X與Y之間的樣本相關系數(shù)r約為0.979。該值接近1，表明人口密度與污染物濃度之間存在很強的正線性相關關系。2.簡單線性回歸方程$\hat{Y}=b_0+b_1X$中，回歸系數(shù)b₁=cov(X,Y)/s_X²，b₀=$\bar{Y}$-b₁$\bar{X}$。已知cov(X,Y)=6.0,s_X²=1.5,$\bar{X}$=3.2,$\bar{Y}$=5.1。計算回歸系數(shù)：b₁=6.0/1.5=4.0計算截距項：b₀=5.1-4.0*3.2=5.1-12.8=-7.7因此，Y對X的簡單線性回歸方程為$\hat{Y}=-7.7+4.0X$。3.回歸系數(shù)b₁=4.0的實際意義是：在控制其他因素不變的情況下，城市人口密度每增加1萬人/平方公里，河流水體中該污染物的預測濃度平均增加4.0mg/L。三、這是一個涉及兩個因素（斷面、時間）的完全隨機設計比較問題，可以使用雙因素方差分析（Two-wayANOVA）來檢驗治理技術的影響。1.假設檢驗：*原假設H₀：治理技術對三個斷面的污染物濃度無顯著影響；且不同斷面、不同時間的污染物濃度無顯著差異；且斷面與時間的交互作用不顯著。*備擇假設H_a：至少有一個斷面的污染物濃度受治理技術影響顯著；或至少有兩個斷面之間存在顯著差異；或至少有兩個時間點之間存在顯著差異；或存在顯著的斷面與時間交互作用。2.選擇的方法：雙因素方差分析（考慮交互作用）。3.數(shù)據(jù)整理（示例，實際需計算均值平方和、F值、P值）：||A斷面(X1)|B斷面(X2)|C斷面(X3)|均值(X)||:-----|:---------|:---------|:---------|:-----||T1(治理前)|6.2|5.8|4.5|5.433||T2(治理后)|7.5|6.3|5.2|6.433||均值(Y)|6.85|6.05|4.85|6.35||總均值|||||（此處省略詳細的SS、MS、F計算過程）4.計算檢驗統(tǒng)計量及P值（示例性說明）：通過方差分析計算得到斷面主效應F值、時間主效應F值、交互效應F值及其對應的P值。5.結論（示例性）：假設計算結果顯示，交互效應P值<0.05，而主效應P值可能大于或小于0.05。則結論為：拒絕原假設，治理技術對斷面間污染物濃度存在顯著影響，并且這種影響存在時間上的差異（或同時存在斷面和時間的主效應顯著）。具體說明治理效果在不同斷面有所不同。四、選擇線性回歸模型作為預測工具可能存在的局限性：1.線性假設：線性回歸假設自變量與因變量之間存在線性關系。氣候變化對干旱的影響可能是非線性的（如閾值效應、飽和效應）。2.多重共線性：在多元回歸中，如果自變量之間存在高度相關性，會使得系數(shù)估計不穩(wěn)定，難以解釋單個變量的獨立影響。3.異方差性：模型的殘差可能隨預測值的變化而變化，這會降低模型的效率和預測精度。4.遺漏變量偏誤：如果模型中遺漏了重要的影響因素（如土地利用變化、大氣環(huán)流模式的其他變化），回歸結果可能會產生偏誤。5.異常值影響：環(huán)境數(shù)據(jù)中可能存在異常值，線性模型對異常值敏感，可能扭曲整體關系。改進模型或補充分析的方法：1.非線性回歸：使用多項式回歸、指數(shù)回歸或對數(shù)回歸等模型來捕捉非線性關系。2.廣義線性模型（GLM）：如邏輯回歸（處理二元結果，如干旱/非干旱）、泊松回歸（處理計數(shù)數(shù)據(jù)，如極端天氣事件頻率）等，適應非正態(tài)分布的因變量。3.時間序列分析：使用ARIMA、狀態(tài)空間模型等方法分析降雨量等時間序列數(shù)據(jù)的自相關性、趨勢和季節(jié)性。4.加入更多控制變量：引入其他可能影響干旱的變量，如植被覆蓋、土壤濕度、大氣環(huán)流指數(shù)（如ENSO）等。5.穩(wěn)健回歸：使用對異常值不敏感的回歸方法。6.模型診斷：對回歸模型進行詳細的診斷檢查，驗證其基本假設是否滿足。五、可以使用卡方獨立性檢驗（Chi-squaredTestforIndependence）來分析家庭收入水平與對環(huán)境政策支持度之間是否存在顯著的關聯(lián)性。1.檢驗依據(jù)：卡方檢驗適用于分析兩個分類變量之間是否獨立。2.主要步驟：*建立列聯(lián)表（ContingencyTable）：```支持反對中立行總和高收入453025110中等收入304030100低收入202555100列總和9595110300```*計算期望頻數(shù)（ExpectedFrequencies）：E_ij=(行總和*列總和)/總樣本量。例如，高收入支持期望頻數(shù)E₁₁=(110*95)/300≈34.17。*計算檢驗統(tǒng)計量卡方值：χ2=Σ[(O_ij-E_ij)2/E_ij]，其中O_ij是觀測頻數(shù)。（此處省略計算過程）*確定自由度：df=(行數(shù)-1)*(列數(shù)-1)=(3-1)*(3-1)=4。*查找臨界值或計算P值：根據(jù)自由度和顯著性水平（如α=0.05）查找χ2分布表獲得臨界值，或計算P值。*做出判斷：如果計算得到的χ2值大于臨界值，或P值小于α，則拒絕原假設。結論為：存在顯著的關聯(lián)性，家庭收入水平與對環(huán)境政策支持度有關。六、在構建預測模型或進行多因素分析之前，進行探索性數(shù)據(jù)分析（EDA）是必要的，因為：1.理解數(shù)據(jù)分布：EDA有助于了解每個變量的分布特征（如中心趨勢、離散程度、偏度、峰度、是否存在異常值），為選擇合適的統(tǒng)計模型或數(shù)據(jù)轉換提供依據(jù)。*目的：發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的基本模式和潛在的不規(guī)則性。2.識別異常值和離群點：通過可視化（如箱線圖）或統(tǒng)計方法（如Z分數(shù)、IQR）識別異常值，判斷其是否需要處理，以及處理方式（刪除、修正、保留）。*目的：防止異常值對模型產生不良影響。3.發(fā)現(xiàn)變量間的關系：通過散點圖、相關性