2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——在電力系統(tǒng)中應(yīng)用優(yōu)化算法進(jìn)行能效提升考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.下列函數(shù)中，__不是__凸函數(shù)。(A)f(x)=x^2(B)f(x)=e^x(C)f(x)=-ln(x)(D)f(x)=x^4-2x^2+12.在求解非線性規(guī)劃問題時，__不是__常用的優(yōu)化算法。(A)梯度下降法(B)牛頓法(C)單純形法(D)遺傳算法3.下列說法中，__錯誤__的是。(A)線性規(guī)劃問題的解一定存在。(B)線性規(guī)劃問題的解唯一。(C)線性規(guī)劃問題的可行域是一個凸集。(D)線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解一定在可行域的頂點(diǎn)上。4.遺傳算法中，__不是__常用的遺傳算子。(A)選擇(B)交叉(C)變異(D)融合5.電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度的目標(biāo)通常是__。(A)最小化發(fā)電成本(B)最大化發(fā)電量(C)最小化網(wǎng)絡(luò)損耗(D)最大化系統(tǒng)可靠性二、填空題1.優(yōu)化問題中，目標(biāo)函數(shù)的極小值稱為__________。2.梯度下降法的基本思想是沿著目標(biāo)函數(shù)的__________方向進(jìn)行搜索。3.遺傳算法中，選擇算子的目的是將適應(yīng)度較高的個體傳遞到下一代。4.粒子群算法中，每個粒子根據(jù)__________和__________來更新自己的位置。5.電力系統(tǒng)線損率是指網(wǎng)絡(luò)損耗電量占發(fā)電總電量的__________。三、計(jì)算題1.用單純形法求解以下線性規(guī)劃問題：$\maxz=3x_1+5x_2$約束條件：$x_1+x_2\leq4$$2x_1+x_2\leq6$$x_1,x_2\geq0$2.用梯度下降法求解以下無約束優(yōu)化問題：$\minf(x)=x_1^2+2x_2^2$初始點(diǎn)為$(x_1,x_2)=(1,1)$，學(xué)習(xí)率$\alpha=0.1$。3.簡述遺傳算法在電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度中的應(yīng)用步驟。四、證明題證明：如果一個凸函數(shù)在某個點(diǎn)取得局部最優(yōu)解，那么它也一定在該點(diǎn)取得全局最優(yōu)解。五、綜合應(yīng)用題某電力系統(tǒng)中有兩臺發(fā)電機(jī)，分別記為發(fā)電機(jī)1和發(fā)電機(jī)2。已知發(fā)電機(jī)的效率函數(shù)分別為：$\eta_1=\frac{0.8x_1}{0.8x_1+0.2}$，$\eta_2=\frac{0.6x_2}{0.6x_2+0.4}$，其中$x_1,x_2$分別為發(fā)電機(jī)1和發(fā)電機(jī)2的輸出功率。系統(tǒng)的總負(fù)荷為$P$，目標(biāo)是最小化系統(tǒng)總耗煤量。假設(shè)兩臺發(fā)電機(jī)的煤耗率分別為$c_1=3$元/千瓦時，$c_2=2$元/千瓦時。請建立該問題的數(shù)學(xué)模型，并說明如何利用優(yōu)化算法求解該問題。試卷答案一、選擇題1.D2.C3.B4.D5.A二、填空題1.最優(yōu)解2.負(fù)梯度3.繁殖4.個體速度，慣性權(quán)重5.比例三、計(jì)算題1.解：引入松弛變量$x_3,x_4\geq0$，將原問題化為標(biāo)準(zhǔn)型：$\maxz=3x_1+5x_2$約束條件：$x_1+x_2+x_3=4$$2x_1+x_2+x_4=6$$x_1,x_2,x_3,x_4\geq0$用單純形法求解，最終得到最優(yōu)解為$x_1=2,x_2=2,z=16$。2.解：$f(x)=x_1^2+2x_2^2$的梯度為$\nablaf(x)=(2x_1,4x_2)$。迭代公式為：$x_{k+1}=x_k-\alpha\nablaf(x_k)$初始點(diǎn)為$(1,1)$，學(xué)習(xí)率$\alpha=0.1$。迭代過程如下：$x_1=(1,1)-0.1(2,4)=(0.8,0.6)$$x_2=(0.8,0.6)-0.1(1.6,2.4)=(0.64,0.36)$$x_3=(0.64,0.36)-0.1(1.28,1.44)=(0.552,0.216)$...不斷迭代，最終收斂到$(0,0)$，此時$f(x)=0$為最小值。3.解：遺傳算法在電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度中的應(yīng)用步驟如下：1.問題建模：將電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，確定目標(biāo)函數(shù)和約束條件。2.編碼：將發(fā)電機(jī)的輸出功率等參數(shù)編碼為染色體，形成初始種群。3.適應(yīng)度評估：設(shè)計(jì)適應(yīng)度函數(shù)，評估每個個體的適應(yīng)度值，適應(yīng)度值越高代表個體解的質(zhì)量越好。4.選擇：根據(jù)適應(yīng)度值，選擇一部分個體進(jìn)行繁殖，淘汰適應(yīng)度較低的個體。5.交叉：對選中的個體進(jìn)行交叉操作，產(chǎn)生新的個體。6.變異：對部分個體進(jìn)行變異操作，引入新的基因多樣性。7.新種群生成：將交叉和變異產(chǎn)生的新的個體加入種群，形成新的種群。8.終止條件判斷：判斷是否滿足終止條件，如迭代次數(shù)達(dá)到上限或適應(yīng)度值收斂。如果滿足終止條件，則輸出最優(yōu)解；否則，返回步驟3，繼續(xù)迭代。四、證明題證明：設(shè)$f(x)$是定義在凸集$C$上的凸函數(shù)，$x^*$是$f(x)$在$C$上的局部最優(yōu)解。假設(shè)$x^*$不是全局最優(yōu)解，則存在$x_0\inC$，使得$f(x_0)<f(x^*)$。由于$x^*$是局部最優(yōu)解，則存在$\epsilon>0$，使得對于所有$x\inC$且$\|x-x^*\|<\epsilon$，都有$f(x)\geqf(x^*)$。取$\delta=\min\{\epsilon,\frac{\|x^*-x_0\|}{2}\}$，則$x_0$與$x^*$的距離$\|x_0-x^*\|>\epsilon$，這與$\delta=\frac{\|x^*-x_0\|}{2}$矛盾。因此，假設(shè)不成立，$x^*$也是全局最優(yōu)解。五、綜合應(yīng)用題解：建立數(shù)學(xué)模型：目標(biāo)函數(shù)：最小化系統(tǒng)總耗煤量$Z=c_1x_1\eta_1+c_2x_2\eta_2$約束條件：$x_1+x_2=P$(系統(tǒng)總負(fù)荷)$x_1,x_2\geq0$(發(fā)電功率非負(fù))將$\eta_1$和$\eta_2$代入目標(biāo)函數(shù)：$Z=c_1x_1\frac{0.8x_1}{0.8x_1+0.2}+c_2x_2\frac{0.6x_2}{0.6x_2+0.4}$$Z=3\frac{0.8x_1^2}{0.8x_1+0.2}+2\frac{0.6x_2^2}{0.6x_2+0.4}$利用優(yōu)化算法求解：可以采用梯度下降法、遺傳算法等優(yōu)化算法求解該非線性規(guī)劃