2025年大學(xué)《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——金融統(tǒng)計(jì)學(xué)中的隨機(jī)過(guò)程分析考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題2分，共10分）1.下列哪一個(gè)過(guò)程是一維齊次馬爾可夫鏈？A.維納過(guò)程B.泊松過(guò)程C.具有轉(zhuǎn)移概率矩陣$P=\begin{pmatrix}0.8&0.2\\0.3&0.7\end{pmatrix}$的離散狀態(tài)馬爾可夫鏈D.幾何布朗運(yùn)動(dòng)2.設(shè)$W_t$為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，下列哪個(gè)表達(dá)式描述了一個(gè)一維Ornstein-Uhlenbeck過(guò)程？A.$dX_t=\theta(\mu-X_t)dt+\sigmadW_t$B.$dX_t=\sigmadW_t$C.$dX_t=\mudt+\sigmadW_t$D.$dX_t=\thetadW_t$3.在金融領(lǐng)域，幾何布朗運(yùn)動(dòng)通常用于描述什么？A.利率的隨機(jī)波動(dòng)B.股票價(jià)格的隨機(jī)波動(dòng)C.貨幣匯率的隨機(jī)波動(dòng)D.交易量的隨機(jī)波動(dòng)4.下列哪個(gè)選項(xiàng)不是隨機(jī)過(guò)程數(shù)字特征的范疇？A.均值函數(shù)B.方差函數(shù)C.協(xié)方差函數(shù)D.轉(zhuǎn)移概率矩陣5.設(shè)$X_t$是一個(gè)均值為0，方差為$\sigma^2t$的維納過(guò)程，$Y_t=X_t-t$，則$Y_t$的均值函數(shù)和方差函數(shù)分別為？A.$\mathbb{E}[Y_t]=0,\mathrm{Var}(Y_t)=\sigma^2t$B.$\mathbb{E}[Y_t]=0,\mathrm{Var}(Y_t)=\sigma^2(t-1)$C.$\mathbb{E}[Y_t]=-t,\mathrm{Var}(Y_t)=\sigma^2t$D.$\mathbb{E}[Y_t]=-t,\mathrm{Var}(Y_t)=\sigma^2(t-1)$二、填空題（每題2分，共10分）1.一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，如果它的未來(lái)狀態(tài)只依賴于當(dāng)前狀態(tài)，而與過(guò)去狀態(tài)無(wú)關(guān)，則稱其為_(kāi)_____過(guò)程。2.設(shè)$W_t$為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，則$X_t=W_t+\mut$的均值函數(shù)為_(kāi)_____，方差函數(shù)為_(kāi)_____。3.Black-Scholes模型的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格$S_t$遵循的隨機(jī)微分方程為_(kāi)_____。4.泊松過(guò)程在時(shí)間區(qū)間$(0,t)$內(nèi)發(fā)生的事件次數(shù)$N_t$的均值和方差分別為_(kāi)_____。5.馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布$\pi=(\pi_1,\pi_2,\ldots)$滿足方程______。三、計(jì)算題（每題5分，共10分）1.設(shè)$X_t$是一個(gè)參數(shù)為$\theta$的泊松過(guò)程，求$P(X_2=3|X_1=1)$。2.設(shè)$W_t$為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，定義隨機(jī)過(guò)程$Y_t=W_t^2-t$，求$Y_t$的均值函數(shù)和方差函數(shù)。四、證明題（每題7.5分，共15分）1.證明一維齊次馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣$P$滿足矩陣范數(shù)不等式$||P||_\infty\leq1$。2.證明Ornstein-Uhlenbeck過(guò)程$dX_t=\theta(\mu-X_t)dt+\sigmadW_t$的解是平穩(wěn)的。五、綜合應(yīng)用題（10分）假設(shè)某股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型$dS_t=\muS_tdt+\sigmaS_tdW_t$，其中$\mu=0.1$，$\sigma=0.2$。投資者購(gòu)買了一份歐式看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格為$K=50$，到期時(shí)間為$T=1$年。請(qǐng)利用Black-Scholes模型計(jì)算該期權(quán)的價(jià)格。試卷答案一、選擇題1.C2.A3.B4.D5.A二、填空題1.馬爾可夫2.$\mut,\sigma^2t$3.$dS_t=\muS_tdt+\sigmaS_tdW_t$4.$\lambdat,\lambdat$5.$\piP=\pi$三、計(jì)算題1.解：泊松過(guò)程具有無(wú)記憶性，故$P(X_2=3|X_1=1)=P(X_1+X_2-X_1=3-1)=P(X_2-1=2)=P(X_2=2)$。由于$X_2$服從參數(shù)為$2\theta$的泊松分布，故$P(X_2=2)=\frac{(2\theta)^2e^{-2\theta}}{2!}=2\theta^2e^{-2\theta}$。2.解：$Y_t=W_t^2-t$。$\mathbb{E}[Y_t]=\mathbb{E}[W_t^2]-t=t-t=0$。$\mathrm{Var}(Y_t)=\mathbb{E}[(W_t^2-t)^2]=\mathbb{E}[W_t^4]-2t\mathbb{E}[W_t^2]+t^2=3t^2-2t^2+t^2=2t^2$。四、證明題1.證明：設(shè)$P=(p_{ij})$為轉(zhuǎn)移概率矩陣，$||P||_\infty=\max_j\sum_i|p_{ij}|$。由于$p_{ij}\geq0$且$\sum_ip_{ij}=1$，故$\sum_ip_{ij}\leqn$，其中$n$為狀態(tài)空間的大小。因此，$||P||_\infty\leq\sum_i1=n\leq1$（對(duì)于有限狀態(tài)空間）。2.證明：首先求解$X_t$的解為$X_t=e^{-\thetat}X_0+\mu\int_0^te^{-\theta(t-s)}ds+\sigma\int_0^te^{-\theta(t-s)}dW_s$。計(jì)算$X_t$的均值和方差，發(fā)現(xiàn)均值為$\mu$，方差為$\frac{\sigma^2}{2\theta}(1-e^{-2\thetat})$，隨著$t\to\infty$，方差趨于$\frac{\sigma^2}{2\theta}$，故$X_t$是平穩(wěn)過(guò)程。五、綜合應(yīng)用題解：根據(jù)Black-Scholes模型，期權(quán)價(jià)格$C$為$C=S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)$，其中$d_1=\frac{\ln(S_0/K)+(r+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}$，$d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}$。代入?yún)?shù)$S_0=50$，$K=50$，$T=1$，$r=0$，$\sigma=0.2$，計(jì)算得$d_1=\frac{\ln(50/50)+(0+0.2^2/2)\times1}{0.2\sqrt{1}}=0.5$，$d_