2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在經(jīng)濟學(xué)與市場營銷研究中的應(yīng)用借鑒考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(q)=10q+0.01q2+1000，其中q為產(chǎn)量。求邊際成本函數(shù)MC(q)和當產(chǎn)量q=100時的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟含義。二、某商品的需求函數(shù)為Q(p)=2000-100p，其中Q為需求量，p為價格。求需求價格彈性函數(shù)Ed(p)，并計算當價格p=10時，需求的價格彈性。判斷此時需求是富有彈性、缺乏彈性還是單位彈性，并說明價格變動對總收益的影響。三、假設(shè)一個市場由兩個廠商組成，它們的成本函數(shù)分別為C?(q?)=20q?+0.5q?2和C?(q?)=30q?+0.25q?2，其中q?和q?分別為兩個廠商的產(chǎn)量。如果市場是完全競爭的，且產(chǎn)品價格為P=60，求兩個廠商的均衡產(chǎn)量和總產(chǎn)量。四、某公司計劃在兩個廣告媒體上投放廣告：電視（T）和報紙（N）。廣告預(yù)算為1000元。根據(jù)市場調(diào)研，每單位電視廣告可增加20個新客戶，每單位報紙廣告可增加10個新客戶。公司希望至少增加180個新客戶，且電視廣告至少投放4單位。如何分配廣告預(yù)算在電視和報紙上，能使新客戶增加量最大化？建立線性規(guī)劃模型描述此問題。五、假設(shè)某零售商的歷史銷售數(shù)據(jù)如下（單位：件）：月份數(shù)（t）：123456銷售量（Y）：100120110130125140試用一元線性回歸模型擬合銷售量Y對月份t的變化趨勢。請寫出回歸方程，并解釋斜率的經(jīng)濟意義。六、一家銀行估計其客戶每月到訪次數(shù)服從泊松分布，平均每次到訪為0.8次。為了分析客戶流失原因，銀行對上個月訪問次數(shù)少于1次的客戶進行了特別跟蹤。如果某客戶上個月沒有到訪，他下個月到訪的概率是多少？如果一個客戶連續(xù)三個月沒有到訪，他屬于“流失客戶”的風險有多大？（提示：考慮馬爾可夫鏈的應(yīng)用）七、某公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，每件產(chǎn)品A的利潤為3元，每件產(chǎn)品B的利潤為2元。生產(chǎn)每件產(chǎn)品A需要消耗資源X2單位，消耗電力Y1單位；生產(chǎn)每件產(chǎn)品B需要消耗資源X1單位，消耗電力Y3單位?，F(xiàn)有資源X總量為100單位，電力Y總量為50單位。公司希望最大化總利潤。請建立此問題的線性規(guī)劃模型。八、一家市場研究公司想要估計某城市成年人中對某新型產(chǎn)品的認知度。他們計劃進行一項抽樣調(diào)查。如果該公司希望以95%的置信水平估計認知度，并要求置信區(qū)間寬度不超過5%，那么他們至少需要調(diào)查多少名成年人？假設(shè)該城市成年人總數(shù)約為500,000，為簡化計算，可用無偏估計公式。試卷答案一、邊際成本函數(shù)MC(q)=dC(q)/dq=10+0.02q。當產(chǎn)量q=100時，邊際成本MC(100)=10+0.02*100=10+2=12。經(jīng)濟含義：當產(chǎn)量為100件時，每增加一件產(chǎn)量，總成本大約增加12元。這是生產(chǎn)最后一件產(chǎn)品所追加的成本。二、需求價格彈性函數(shù)Ed(p)=dQ(p)/dp*p/Q(p)=(-100)*p/(2000-100p)。當價格p=10時，需求量Q(10)=2000-100*10=1000。需求價格彈性Ed(10)=(-100)*10/1000=-1。需求是單位彈性。當需求為單位彈性時，價格上漲或下跌百分比與需求量下跌或上漲百分比相同，此時總收益不變。在此價格下，若價格上漲，總收益不變；若價格下跌，總收益也不變。三、完全競爭市場下，廠商利潤最大化條件為P=MC。廠商?的邊際成本MC?(q?)=dC?(q?)/dq?=20+q?。廠商?的邊際成本MC?(q?)=dC?(q?)/dq?=30+0.5q?。市場均衡價格P=60，故有60=20+q?和60=30+0.5q?。解得：q?=40，q?=30。總產(chǎn)量Q=q?+q?=40+30=70。四、設(shè)用于電視廣告的預(yù)算為T元，用于報紙廣告的預(yù)算為N元。目標函數(shù)：最大化新客戶增加量Z=20T+10N。約束條件：1.預(yù)算限制：T+N=1000。2.客戶增加量下限：20T+10N≥180。3.電視廣告下限：T≥4。4.非負性：T≥0,N≥0。模型為：MaxZ=20T+10Ns.t.T+N=100020T+10N≥180T≥4T,N≥0。五、設(shè)回歸方程為Y=a+bt。計算所需數(shù)據(jù)：Σt=21,Σt2=91,ΣY=740,ΣtY=8480,n=6。樣本均值：t?=Σt/n=21/6=3.5,?=ΣY/n=740/6≈123.33。計算回歸系數(shù)：b=[nΣtY-ΣtΣY]/[nΣt2-(Σt)2]=[(6*8480-21*740)/(6*91-212)]=[50880-15540]/[546-441]=35340/105=337.14≈337.1。a=?-b*t?=123.33-337.1*3.5≈123.33-1184.85=-1061.52≈-1061.5。回歸方程為Y≈-1061.5+337.1t。斜率b≈337.1的經(jīng)濟含義：根據(jù)模型估計，每增加一個月，該產(chǎn)品的銷售量平均增加約337.1件。六、設(shè)X?表示上個月沒有到訪，X?表示上個月到訪?？蛻裘吭碌皆L次數(shù)服從參數(shù)λ=0.8的泊松分布，P(X?)=0.8,P(X?)=1-0.8=0.2?？蛻粝聜€月到訪的概率即為P(X?|X?)。泊松過程的無記憶性意味著：P(X?|X?)=P(X?)=0.8。對于“流失客戶”風險，可簡化模型為馬爾可夫鏈。設(shè)狀態(tài)1為“活躍客戶”，狀態(tài)0為“流失客戶”。定義轉(zhuǎn)移概率p??=P(X?|X?)=0.8,p??=P(X?|X?)=1-P(X?)=1-0.8=0.2。一個月后流失概率為p??=0.2。連續(xù)三個月流失，若假設(shè)兩次到訪狀態(tài)不變（即兩次都不去），則概率為p??*p??*p??=0.23=0.008。若考慮更復(fù)雜的鏈，如去一次又流失，則情況更多。此處按最簡單的不去三次計算流失風險為0.008。七、設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A的數(shù)量為x，生產(chǎn)產(chǎn)品B的數(shù)量為y。目標函數(shù)：最大化總利潤Z