2025年大學《數(shù)學與應用數(shù)學》專業(yè)題庫——數(shù)學在智能科研創(chuàng)新中的應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題4分，共20分。請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)）1.在機器學習中的梯度下降法，其基本思想是（）。A.尋找函數(shù)的極值點B.通過迭代逐步逼近函數(shù)的駐點C.保持函數(shù)值在某個范圍內(nèi)波動D.利用函數(shù)的解析表達式直接求解2.在處理高維數(shù)據(jù)時，特征選擇或降維技術(shù)的主要目的是（）。A.減少數(shù)據(jù)的存儲空間B.降低模型的復雜度，提高泛化能力C.增強特征的可解釋性D.使數(shù)據(jù)分布更符合高斯分布3.設矩陣A是m×n矩陣，B是n×k矩陣，則矩陣乘積AB的維度是（）。A.m×kB.n×nC.m×nD.n×k4.在概率論中，對于隨機變量X和Y，若E[XY]=E[X]E[Y]，則稱X和Y（）。A.線性相關B.獨立同分布C.不相關D.獨立5.在進行回歸分析時，若殘差圖中殘差隨機分布在零線附近，且無明顯模式，則通常認為（）。A.模型擬合良好B.存在異方差性C.存在多重共線性D.存在序列相關性二、填空題（每小題5分，共25分。請將答案填在題中的橫線上）6.線性回歸模型y=β?+β?x?+β?x?+ε中，β?的幾何意義通常表示當自變量x?變化一個單位時，因變量y的預期變化量。7.決策樹算法中，常用的分裂標準包括信息增益（InformationGain）和基尼不純度（GiniImpurity）。8.在矩陣運算中，若A是對稱矩陣，B是正交矩陣，則(AB)?=B?A?。（請判斷對錯，正確填“√”，錯誤填“×”）9.設X是一個隨機變量，其概率密度函數(shù)為f(x)，則X的期望E[X]=∫<0xE2><0x82><0x96>xf(x)dx。（請將積分下限填在橫線上）10.在進行主成分分析（PCA）時，特征值的大小反映了對應主成分的方差大小。三、計算題（每小題10分，共30分）11.已知線性方程組Ax=b，其中A=[[1,2],[3,4]],b=[[5],[6]]。試用高斯消元法（或矩陣運算）求解該方程組的解向量x=[x?,x?]?。12.設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)={c(x+y),0≤x≤1,0≤y≤1;0,其他}。求常數(shù)c的值，并計算X和Y的邊緣概率密度函數(shù)f_X(x)和f_Y(y)。13.給定一組數(shù)據(jù)點(1,2),(2,3),(3,5),(4,4),(5,6)。試用最速下降法（梯度下降法）的思想，設計一個簡單的算法框架（無需具體計算），用于尋找擬合這組數(shù)據(jù)點的線性回歸方程y=β?+β?x的參數(shù)β?和β?的近似值。需要說明更新參數(shù)的規(guī)則。四、證明與應用題（每小題12分，共24分）14.證明：對于任意實對稱矩陣A，其特征值均為實數(shù)。15.假設我們正在研究一個簡單的推薦系統(tǒng)，用戶對物品的評分可以看作一種二元分類問題（喜歡/不喜歡）。設我們使用邏輯回歸模型來預測用戶是否會喜歡某個物品。請簡述邏輯回歸模型的基本原理，并說明如何通過最大化似然函數(shù)來估計模型參數(shù)。試卷答案一、選擇題1.B2.B3.A4.C5.A二、填空題6.線性回歸7.信息增益，基尼不純度8.√9.010.方差三、計算題11.解：[x?,x?]?=[[-1],[3/2]]解析思路：對增廣矩陣[[1,2,|5],[3,4,|6]]進行行變換，化為階梯形[[1,2,|5],[0,-2,|-3]]，得到x?=3/2，再代入x?+2x?=5得x?=-1。12.解：c=1/2;f_X(x)={x+1/2,0≤x≤1;0,其他};f_Y(y)={y+1/2,0≤y≤1;0,其他}解析思路：由∫?1∫?1f(x,y)dydx=1求得c。邊緣密度f_X(x)=∫?1f(x,y)dy，f_Y(y)=∫?1f(x,y)dx。13.解：算法框架：初始化：設定初始參數(shù)β??,β??，學習率α，迭代次數(shù)T。迭代更新：對于t=1,2,...,T：計算當前預測值Y??=β??+β??x?計算損失函數(shù)關于β?和β?的梯度：?L(β?,β?)=[Σ?(Y?-Y??),Σ?(x?(Y?-Y??))]?更新參數(shù)：β????=β??-α*Σ?(Y?-Y??)β????=β??-α*Σ?(x?(Y?-Y??))輸出：最終參數(shù)β?和β?的近似值。解析思路：最速下降法通過計算損失函數(shù)關于參數(shù)的梯度，并沿梯度的負方向更新參數(shù)，逐步減小損失。線性回歸的損失函數(shù)通常是均方誤差或似然函數(shù)（對邏輯回歸），其梯度可以表示為預測誤差與自變量的加權(quán)和。此題要求設計框架，故給出通用迭代步驟。四、證明與應用題14.證明思路：設λ是對稱矩陣A的特征值，x是對應的特征向量，x≠0。則Ax=λx。兩邊轉(zhuǎn)置得x?A?=x?λ。由于A?=A，λ是實數(shù)，故x?Ax=λx?x。即(λ-λ)x?x=0。因為x≠0，x?x>0，所以λ-λ=0，即λ=λ，說明λ是實數(shù)。15.解答思路：邏輯回歸使用Sigmoid函數(shù)σ(z)=1/(1+e??)將線性組合z=β?+β?x映射到(0,1)區(qū)間，作為概率解釋。模型參數(shù)β通過最大化觀測數(shù)據(jù)的聯(lián)合概率（似然函數(shù)）來估計。對于二元分類問