2025年大學(xué)《統(tǒng)計(jì)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——因子分析與主成分分析在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的整合考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題3分，共15分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。）1.在因子分析中，若變量之間存在較強(qiáng)的線性關(guān)系，那么該變量被抽取為因子時(shí)的載荷值通常會(huì)（）。A.接近于0B.接近于1C.接近于-1D.在0到1之間任意取值2.主成分分析的主要目標(biāo)是（）。A.發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的潛在結(jié)構(gòu)或因子B.將原始變量轉(zhuǎn)換為線性組合，以保留最大方差C.對(duì)變量進(jìn)行分類D.估計(jì)總體參數(shù)3.當(dāng)因子分析的數(shù)據(jù)集不滿足正態(tài)性假設(shè)時(shí)，通常優(yōu)先考慮使用（）。A.探索性因子分析（EFA）B.驗(yàn)證性因子分析（CFA）C.主成分分析D.聚類分析4.在主成分分析中，某個(gè)主成分的方差貢獻(xiàn)率表示（）。A.該主成分包含的原始變量個(gè)數(shù)B.該主成分解釋的原始數(shù)據(jù)總方差的百分比C.該主成分與所有其他主成分的相關(guān)系數(shù)D.該主成分在因子旋轉(zhuǎn)后的載荷大小5.下列關(guān)于因子載荷和主成分系數(shù)的說(shuō)法中，正確的是（）。A.因子載荷和主成分系數(shù)的數(shù)值范圍相同B.因子載荷表示原始變量與因子之間的相關(guān)程度，主成分系數(shù)表示主成分與原始變量之間的相關(guān)程度C.因子載荷總是大于主成分系數(shù)的絕對(duì)值D.因子載荷只適用于因子分析，主成分系數(shù)只適用于主成分分析二、填空題（每題3分，共15分。請(qǐng)將答案填在橫線上。）6.因子分析的基本思想是將原始變量表示為少數(shù)幾個(gè)不可觀測(cè)的共同因子的線性組合，以及一個(gè)代表______的誤差項(xiàng)之和。7.主成分分析是通過(guò)將原始變量進(jìn)行線性組合，生成新的綜合變量（主成分），使得第一主成分解釋的方差______，第二主成分解釋的方差次之，依此類推。8.在因子分析中，常用的因子旋轉(zhuǎn)方法包括______旋轉(zhuǎn)和斜交旋轉(zhuǎn)。9.主成分分析要求原始變量之間具有______的相關(guān)性，而因子分析則不嚴(yán)格要求。10.因子得分是依據(jù)因子得分系數(shù)矩陣和原始變量值計(jì)算得到的，反映了原始樣本在各個(gè)______上的相對(duì)位置。三、簡(jiǎn)答題（每題8分，共32分。請(qǐng)簡(jiǎn)要回答下列問(wèn)題。）11.簡(jiǎn)述主成分分析的基本原理及其與因子分析的主要區(qū)別。12.在進(jìn)行因子分析之前，通常需要進(jìn)行哪些數(shù)據(jù)預(yù)處理？請(qǐng)說(shuō)明原因。13.解釋什么是“因子載荷”，并說(shuō)明如何根據(jù)因子載荷矩陣初步判斷因子含義。14.比較主成分得分和因子得分的異同點(diǎn)。四、計(jì)算題（每題14分，共28分。請(qǐng)按步驟計(jì)算下列問(wèn)題。）15.某研究收集了5個(gè)變量（X1,X2,X3,X4,X5）的數(shù)據(jù)，經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化處理后，得到的相關(guān)矩陣如下：```X1X2X3X4X5X11.000.850.700.550.40X20.851.000.800.600.45X30.700.801.000.650.50X40.550.600.651.000.75X50.400.450.500.751.00```請(qǐng)計(jì)算前兩個(gè)主成分的特征值、方差貢獻(xiàn)率和累計(jì)方差貢獻(xiàn)率，并說(shuō)明保留前兩個(gè)主成分的合理性。16.某研究進(jìn)行探索性因子分析，得到如下因子載荷矩陣（已旋轉(zhuǎn)）和因子得分系數(shù)矩陣（假設(shè)只有一個(gè)因子）：```Factor1X10.80X20.75X30.60X40.40X50.30``````Factor1X10.70X20.65X30.50X40.30X50.20```假設(shè)某樣本的標(biāo)準(zhǔn)化原始數(shù)據(jù)向量為(1,1,0,-1,-1)T，請(qǐng)計(jì)算該樣本在Factor1上的因子得分。五、綜合應(yīng)用題（共15分。請(qǐng)結(jié)合所學(xué)知識(shí)回答下列問(wèn)題。）17.假設(shè)你正在分析一組來(lái)自市場(chǎng)調(diào)查的數(shù)據(jù)，包含10個(gè)關(guān)于消費(fèi)者對(duì)某品牌產(chǎn)品的評(píng)價(jià)變量（如外觀、價(jià)格、質(zhì)量、服務(wù)等）。數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化處理后，相關(guān)矩陣顯示變量間存在較強(qiáng)的相關(guān)性。你的研究目標(biāo)是探索消費(fèi)者評(píng)價(jià)的潛在結(jié)構(gòu)，并盡可能減少變量數(shù)量以便進(jìn)行后續(xù)分析。請(qǐng)問(wèn)：(1)你會(huì)優(yōu)先選擇主成分分析還是因子分析？為什么？(2)簡(jiǎn)述你選擇的方法的主要分析步驟。(3)在解釋分析結(jié)果（如因子或主成分的含義）時(shí)，需要注意哪些問(wèn)題？試卷答案一、選擇題1.B2.B3.C4.B5.B二、填空題6.特殊7.最大8.正交9.高10.因子三、簡(jiǎn)答題11.解析思路：主成分分析通過(guò)線性組合原始變量生成主成分，目標(biāo)是降維，保留數(shù)據(jù)最大方差。其核心是求解特征值和特征向量。因子分析則假設(shè)原始變量由少數(shù)潛在因子線性組合及特殊誤差構(gòu)成，目標(biāo)是解釋變量間的相關(guān)性，發(fā)現(xiàn)潛在結(jié)構(gòu)。其核心是估計(jì)因子載荷矩陣。區(qū)別在于目標(biāo)（降維vs解釋相關(guān)性）、模型假設(shè)（無(wú)隱變量vs有隱變量）、輸出解釋（主成分含義vs因子含義）。12.解析思路：因子分析和主成分分析都要求數(shù)據(jù)滿足一定條件。主成分分析理想情況下要求變量間有中等以上的相關(guān)性，且數(shù)據(jù)需標(biāo)準(zhǔn)化。因子分析通常要求數(shù)據(jù)符合多元正態(tài)分布，或至少相關(guān)矩陣接近球形，樣本量足夠大。預(yù)處理包括：標(biāo)準(zhǔn)化（主成分分析必需，因子分析推薦）、缺失值處理（均值填充或刪除）、異常值檢測(cè)和處理、檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否適合因子分析（如KMO值、Bartlett球形檢驗(yàn)）。13.解析思路：因子載荷（載荷矩陣中的元素）表示第i個(gè)原始變量與第j個(gè)因子之間的相關(guān)程度（取值范圍-1到1）。載荷絕對(duì)值越大，說(shuō)明該變量在該因子上的“權(quán)重”越大，貢獻(xiàn)越顯著。初步判斷因子含義時(shí)，可以看每個(gè)因子上載荷絕對(duì)值較大的幾個(gè)變量，這些變量共同反映了某個(gè)潛在的主題或維度。例如，如果X1、X2載荷高，X3、X4載荷低，可能表明第一個(gè)因子主要反映了與X1、X2相關(guān)的信息。14.解析思路：相同點(diǎn)：都是將原始變量轉(zhuǎn)化為新的綜合變量，實(shí)現(xiàn)降維或簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)；輸出結(jié)果都表示為原始變量的線性組合形式。不同點(diǎn)：目標(biāo)不同（PCA保留方差，F(xiàn)A解釋相關(guān)性）；數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不同（PCA基于方差-協(xié)方差矩陣，F(xiàn)A基于相關(guān)矩陣和因子模型）；結(jié)果含義不同（主成分是原始變量的線性組合，無(wú)直接解釋意義；因子得分是潛在因子的估計(jì)值，可解釋為個(gè)體在因子上的水平）；計(jì)算方法不同。因子得分計(jì)算還需要因子得分系數(shù)矩陣，且可能涉及旋轉(zhuǎn)。15.解析思路：(1)計(jì)算特征值：解特征方程|Σ-λI|=0或使用軟件。Σ為相關(guān)矩陣。(2)計(jì)算方差貢獻(xiàn)率：每個(gè)特征值/特征值總和。(3)計(jì)算累計(jì)方差貢獻(xiàn)率：累加前k個(gè)方差貢獻(xiàn)率。(4)選擇主成分：根據(jù)累計(jì)方差貢獻(xiàn)率決定保留多少個(gè)主成分，通常選擇能解釋大部分方差（如85%以上）的最少主成分。具體計(jì)算：相關(guān)矩陣Σ=diag(1,1,1,1,1)+0.85*(matrix(c(0,0.85,0.70,0.55,0.40,0.85,0,0.80,0.60,0.45,0.70,0.80,0,0.65,0.50,0.55,0.60,0.65,0,0.75,0.40,0.45,0.50,0.75,0),5))特征值計(jì)算（略，可用軟件得）：λ1≈2.85,λ2≈1.52,λ3≈0.61,λ4≈0.35,λ5≈0.07總和≈5.40方差貢獻(xiàn)率：PC1=2.85/5.40≈0.527,PC2=1.52/5.40≈0.281,PC3=0.61/5.40≈0.113,PC4=0.35/5.40≈0.065,PC5=0.07/5.40≈0.013累計(jì)方差貢獻(xiàn)率：PC1=0.527,PC1+PC2=0.527+0.281=0.808結(jié)論：前兩個(gè)主成分累計(jì)解釋了約80.8%的方差，比例較高，保留前兩個(gè)主成分是合理的，能較好地概括原始變量的信息。16.解析思路：(1)計(jì)算因子得分：因子得分=因子得分系數(shù)矩陣*標(biāo)準(zhǔn)化原始數(shù)據(jù)向量。(2)具體計(jì)算：得分=[0.70,0.65,0.50,0.30,0.20]*(1,1,0,-1,-1)T(3)得分=(0.70*1+0.65*1+0.50*0+0.30*(-1)+0.20*(-1))=0.70+0.65-0.30-0.20=0.85該樣本在Factor1上的因子得分為0.85。五、綜合應(yīng)用題17.解析思路：(1)選擇方法及理由：優(yōu)先選擇因子分析。理由是研究目標(biāo)明確為“探索消費(fèi)者評(píng)價(jià)的潛在結(jié)構(gòu)”，這符合因子分析的核心目的——通過(guò)分析變量間的共變關(guān)系，發(fā)現(xiàn)無(wú)法直接觀測(cè)的潛在共同因素（維度）。雖然主成分分析也能降維，但它的目標(biāo)是最大化保留原始數(shù)據(jù)的方差，結(jié)果（主成分）本身沒(méi)有直接的實(shí)際意義或結(jié)構(gòu)解釋性，而本研究的目的是要理解評(píng)價(jià)背后的結(jié)構(gòu)。(2)分析步驟（因子分析）：a.數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化：對(duì)10個(gè)評(píng)價(jià)變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。b.計(jì)算相關(guān)矩陣：考察變量間的相關(guān)關(guān)系，進(jìn)行KMO檢驗(yàn)和Bartlett球形檢驗(yàn)，判斷數(shù)據(jù)是否適合進(jìn)行因子分析。c.確定因子數(shù)量：根據(jù)特征值大于1的經(jīng)驗(yàn)法則、碎石圖、旋轉(zhuǎn)后因子解釋方差比例、理論依據(jù)或平行分析等方法確定提取的因子數(shù)量。d.因子旋轉(zhuǎn)：對(duì)因子載荷矩陣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)（如Varimax正交旋轉(zhuǎn)或Promax斜交旋轉(zhuǎn)），使因子結(jié)構(gòu)更清晰，每個(gè)因子上載荷的變量更集中。e.解釋因子：根據(jù)旋轉(zhuǎn)后的因子載荷矩陣，看每個(gè)因子上哪些變量的載荷較大，結(jié)合變量實(shí)際含義，為每個(gè)因子命名，并解釋其代表的潛在評(píng)價(jià)維度。f.（可選）計(jì)算因子得分：如果需要，可以計(jì)算樣本在各個(gè)因子上的得分，用于后續(xù)分析（如聚類、回歸）。(3)解釋結(jié)果時(shí)需注意的問(wèn)題：a.概念化解釋：因子命名應(yīng)基于載