2025年大學《系統(tǒng)科學與工程》專業(yè)題庫——系統(tǒng)建模與優(yōu)化在工程設計中的應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述系統(tǒng)動力學建模的基本思想和核心要素。請結合一個你了解的工程系統(tǒng)（如交通系統(tǒng)、供應鏈系統(tǒng)、電力系統(tǒng)等），說明如何運用系統(tǒng)動力學方法對該系統(tǒng)進行建模分析。二、某工廠計劃使用一臺機器生產兩種產品A和B。生產每單位產品A需要消耗2小時工時和3公斤原材料，利潤為200元。生產每單位產品B需要消耗1小時工時和2公斤原材料，利潤為150元。工廠每周可用的工時為100小時，原材料供應量為120公斤。請建立該問題的線性規(guī)劃模型，明確決策變量、目標函數和約束條件。三、在求解線性規(guī)劃問題時，對偶理論提供了有價值的信息。請簡述對偶問題的基本概念，并解釋為什么說原問題的對偶問題在經濟學（如資源定價、影子價格）中往往具有實際意義。舉例說明。四、某工程項目包含以下活動及其樂觀、最可能和悲觀時間估計（單位：周）：|活動|緊前活動|樂觀時間(a)|最可能時間(m)|悲觀時間(b)||:---|:-------|:-----------|:-------------|:-----------||A|-|3|4|5||B|-|2|3|4||C|A|4|5|6||D|A|3|4|5||E|B|2|3|4||F|C,D,E|5|6|7|請使用關鍵路徑法（CPM）或計劃評審技術（PERT）估算該項目的期望完成時間，并確定關鍵路徑。五、考慮一個簡單的設施選址問題：某公司需要在三個地點（P1,P2,P3）中選擇一個建立倉庫，用于向四個客戶（C1,C2,C3,C4）供貨。每個地點的建設成本、每個客戶的需求量以及各地點到各客戶的單位運輸成本如下表所示（單位：萬元，單位：噸，單位：元/噸）：|地點/客戶|C1|C2|C3|C4|建設成本||:--------|:---|:---|:---|:---|:-------||P1|10|20|30|40|100||P2|20|10|25|35|150||P3|30|25|15|20|120||需求量|30|40|50|60||假設每個地點最多只能服務兩個客戶，且倉庫的容量無限。請建立該問題的整數規(guī)劃模型。六、某公司計劃進行一項新產品的研發(fā)，存在兩種研發(fā)路徑：路徑1和路徑2。路徑1的成功率較高（80%），但研發(fā)成本較高（100萬元）；路徑2的成功率較低（50%），但研發(fā)成本較低（50萬元）。如果研發(fā)成功，產品可以投入市場，預計市場需求有兩種狀態(tài)：高需求（概率60%）和低需求（概率40%）。在市場高需求狀態(tài)下，產品盈利150萬元；在市場低需求狀態(tài)下，產品盈利50萬元。如果研發(fā)失敗，則損失已投入的研發(fā)成本。請建立該問題的決策樹模型，并使用期望值法分析哪種研發(fā)路徑更優(yōu)。七、請簡述模擬技術在系統(tǒng)建模與優(yōu)化中的應用場景。假設你正在為一個具有隨機性的生產系統(tǒng)進行建模分析，該系統(tǒng)的主要瓶頸在于設備的故障維修時間具有不確定性。請描述如何使用模擬方法來研究該瓶頸問題，并說明模擬分析可能帶來的好處。試卷答案一、系統(tǒng)動力學（SD）建模是一種基于反饋回路思想，模擬復雜系統(tǒng)動態(tài)行為的建模方法。其核心要素包括：1.存量（Stocks）：系統(tǒng)中的狀態(tài)變量，表示積累的結果，具有瞬時值，如資金、庫存、人口等。2.流量（Flows）：連接兩個存量的速率，表示存量的變化率，如投資率、生產率、出生率等。3.輔助變量（AuxiliaryVariables）：影響流量計算的內部變量，使模型更易理解。4.因果關系（CausalLinks）：表示系統(tǒng)各要素之間的正向或負向影響關系。5.反饋回路（FeedbackLoops）：由因果鏈連接而成的閉合回路，決定系統(tǒng)的行為模式（增強回路或調節(jié)回路）。以交通系統(tǒng)為例：可設定“車輛總數”為存量，“進入道路的車輛數”和“離開道路的車輛數”為流量。“道路飽和度”為輔助變量，影響“離開道路的車輛數”。存在“車輛總數增加->道路飽和度增加->單位時間通過能力下降->進入道路的車輛數減少”的負反饋回路（交通擁堵自我緩解），也存在“車輛總數增加->道路擁堵->出行時間增加->部分車輛選擇替代路徑”的正反饋回路（擴散效應）。通過因果回路圖和存量流量圖，可以定量分析交通流量、排隊長度、延誤時間等隨時間的變化。二、設生產產品A每周的數量為\(x_1\)，生產產品B每周的數量為\(x_2\)。目標函數（最大化總利潤）：\[\text{Maximize}Z=200x_1+150x_2\]約束條件：1.工時約束：\(2x_1+x_2\leq100\)(小時)2.原材料約束：\(3x_1+2x_2\leq120\)(公斤)3.非負約束：\(x_1\geq0\),\(x_2\geq0\)線性規(guī)劃模型為：\[\text{Maximize}Z=200x_1+150x_2\]\[\text{subjectto:}\]\[2x_1+x_2\leq100\]\[3x_1+2x_2\leq120\]\[x_1\geq0\]\[x_2\geq0\]三、對偶問題的基本概念是：原線性規(guī)劃問題（稱為原始問題）的約束條件的系數矩陣，構成了其對應對偶問題目標函數的系數；原始問題的目標函數系數，則構成了對偶問題約束條件的系數。具體來說，若原始問題為：\[\text{Maximize}Z=c^Tx\]\[\text{subjectto:}Ax\leqb\]\[x\geq0\]其對偶問題為：\[\text{Minimize}W=b^Ty\]\[\text{subjectto:}A^Ty\geqc\]\[y\geq0\]其中，\(x\)和\(y\)是原始和對偶問題的決策變量向量，\(A\)是技術系數矩陣，\(c\)和\(b\)是向量。對偶理論的意義在于，它提供了從不同角度（生產者角度vs.消費者角度）看待同一資源分配問題的途徑。在經濟學中，原問題常代表生產者如何用資源生產產品以最大化利潤，其對偶問題則代表消費者如何對資源（或其產品）定價以最小化成本。對偶問題的最優(yōu)解（即資源的影子價格）具有實際意義，表示在現有生產技術下，增加一單位某種資源能帶來的額外利潤上限，或減少一單位某種資源將造成的損失下限。例如，在上述生產問題中，原問題的對偶變量\(y_1\)和\(y_2\)的最優(yōu)值分別代表工時和原材料的影子價格，即每增加一小時工時或一公斤原材料，總利潤能增加的最多額度。四、計算每個活動的期望時間\(te\)：\[te_A=\frac{3+4\cdot4+5}{6}=4\text{周}\]\[te_B=\frac{2+3\cdot4+4}{6}=3\text{周}\]\[te_C=\frac{4+5\cdot4+6}{6}=5\text{周}\]\[te_D=\frac{3+4\cdot4+5}{6}=4\text{周}\]\[te_E=\frac{2+3\cdot4+4}{6}=3\text{周}\]\[te_F=\frac{5+6\cdot4+7}{6}=6\text{周}\]繪制項目網絡圖（略），計算各路徑的期望時間：路徑1:A+C+F=4+5+6=15周路徑2:A+D+F=4+4+6=14周路徑3:B+E+F=3+3+6=12周關鍵路徑是期望時間最長的路徑，即路徑3(B-E-F)。項目的期望完成時間是關鍵路徑的總時間，為12周。五、設\(x_{ij}\)表示從地點\(i\)(i=1,2,3)運往客戶\(j\)(j=1,2,3,4)的貨物量（噸）。目標函數（最小化總運輸成本）：\[\text{Minimize}Z=10x_{11}+20x_{12}+30x_{13}+40x_{14}+20x_{21}+10x_{22}+25x_{23}+35x_{24}+30x_{31}+25x_{32}+15x_{33}+20x_{34}\]約束條件：1.每個地點最多服務兩個客戶：\[x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{14}\leq2\]\[x_{21}+x_{22}+x_{23}+x_{24}\leq2\]\[x_{31}+x_{32}+x_{33}+x_{34}\leq2\]2.滿足客戶需求量：\[x_{11}+x_{21}+x_{31}=30\]\[x_{12}+x_{22}+x_{32}=40\]\[x_{13}+x_{23}+x_{33}=50\]\[x_{14}+x_{24}+x_{34}=60\]3.非負且為整數：\(x_{ij}\geq0\)且為整數(i=1,2,3;j=1,2,3,4)整數規(guī)劃模型為：\[\text{Minimize}Z=10x_{11}+20x_{12}+30x_{13}+40x_{14}+20x_{21}+10x_{22}+25x_{23}+35x_{24}+30x_{31}+25x_{32}+15x_{33}+20x_{34}\]\[\text{subjectto:}\]\[x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{14}\leq2\]\[x_{21}+x_{22}+x_{23}+x_{24}\leq2\]\[x_{31}+x_{32}+x_{33}+x_{34}\leq2\]\[x_{11}+x_{21}+x_{31}=30\]\[x_{12}+x_{22}+x_{32}=40\]\[x_{13}+x_{23}+x_{33}=50\]\[x_{14}+x_{24}+x_{34}=60\]\[x_{ij}\geq0\]且為整數(所有\(zhòng)(i,j\))六、繪制決策樹（略）：*根節(jié)點：研發(fā)決策(路徑1vs路徑2)*分支1：選擇路徑1*概率：0.8*子節(jié)點：市場結果(高需求vs低需求)*高需求(概率0.6)：收益=150萬*低需求(概率0.4)：收益=50萬*概率：0.2*子節(jié)點：研發(fā)失敗*收益=-100萬*分支2：選擇路徑2*概率：0.5*子節(jié)點：市場結果(高需求vs低需求)*高需求(概率0.6)：收益=150萬*低需求(概率0.4)：收益=50萬*概率：0.5*子節(jié)點：研發(fā)失敗*收益=-50萬計算各節(jié)點的期望收益：*路徑1下，市場高需求的期望收益：\(0.6\times150=90\)萬*路徑1下，市場低需求的期望收益：\(0.4\times50=20\)萬*路徑1下，研發(fā)失敗期望收益：\(-100\)萬*路徑1總期望收益：\(0.8\times(90-100)+0.2\times(-100)=0.8\times(-10)+0.2\times(-100)=-8-20=-28\)萬*路徑2下，市場高需求的期望收益：\(0.6\times150=90\)萬*路徑2下，市場低需求的期望收益：\(0.4\times50=20\)萬*路徑2下，研發(fā)失敗期望收益：\(-50\)萬*路徑2總期望收益：\(0.5\times(90-50)+0.5\times(-50)=0.5\times40+0.5\times(-50)=20-25=-5\