2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)中的數(shù)值計算方法考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述數(shù)值計算方法中舍入誤差和截斷誤差的區(qū)別，并舉例說明它們在數(shù)值計算過程中的影響。二、設(shè)方程$x^3-x-1=0$在區(qū)間$[1,2]$內(nèi)有根。用二分法求該根的近似值，要求誤差不超過$0.001$。請寫出迭代過程，并給出最終結(jié)果。三、牛頓法是求解方程$f(x)=0$的有效方法。設(shè)$f(x)=x^2-2$，$x_0=1$。請寫出牛頓法的迭代公式，并計算$x_1$和$x_2$的值。四、對于線性方程組$Ax=b$，其中$A$為非奇異矩陣。試比較高斯消元法和LU分解法在求解線性方程組時的優(yōu)缺點。五、已知數(shù)據(jù)點$(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，其中$x_0<x_1<x_2$。請寫出拉格朗日插值公式，并計算$P(x)$在$x=x_0+h$處的值，其中$h$為一小量。六、試推導(dǎo)梯形求積公式，并分析其精度。七、對于常微分方程初值問題$y'=f(t,y)$，$y(t_0)=y_0$。請寫出歐拉法的計算公式，并分析其局部截斷誤差。八、在求解大型線性方程組時，迭代法是一種常用的方法。請簡述雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法的區(qū)別，并分析它們的收斂條件。九、在機器學(xué)習(xí)中，梯度下降法是一種常用的優(yōu)化算法。請簡述梯度下降法的原理，并分析其優(yōu)缺點。十、隨著數(shù)據(jù)規(guī)模的不斷增大，傳統(tǒng)的數(shù)值計算方法在處理大數(shù)據(jù)時面臨著挑戰(zhàn)。請簡述并行計算在數(shù)值計算中的應(yīng)用，并舉例說明。試卷答案一、舍入誤差是由于計算機表示有限位數(shù)而引起的誤差，它是在運算過程中產(chǎn)生的。截斷誤差是由于使用近似公式代替精確公式而引起的誤差，它是在運算開始之前就產(chǎn)生的。例如，計算$\sinx$時，使用$\sinx\approxx$是一種近似公式，因此會產(chǎn)生截斷誤差；而在計算機中存儲$\sinx$的值時，由于位數(shù)有限，會產(chǎn)生舍入誤差。二、初始區(qū)間$[1,2]$，中點$x_1=\frac{1+2}{2}=1.5$。$f(1)=1^3-1-1=-1$，$f(1.5)=1.5^3-1.5-1=0.875$。由于$f(1)\cdotf(1.5)<0$，根在區(qū)間$[1,1.5]$內(nèi)。$x_2=\frac{1+1.5}{2}=1.25$，$f(1.25)=1.25^3-1.25-1=-0.296875$。由于$f(1)\cdotf(1.25)<0$，根在區(qū)間$[1,1.25]$內(nèi)。$x_3=\frac{1+1.25}{2}=1.125$，$f(1.125)=1.125^3-1.125-1=-0.59375$。由于$f(1)\cdotf(1.125)<0$，根在區(qū)間$[1,1.125]$內(nèi)。$x_4=\frac{1+1.125}{2}=1.0625$，$f(1.0625)=1.0625^3-1.0625-1=-0.44140625$。由于$f(1)\cdotf(1.0625)<0$，根在區(qū)間$[1,1.0625]$內(nèi)。$x_5=\frac{1+1.0625}{2}=1.03125$，$f(1.03125)=1.03125^3-1.03125-1=-0.46875$。由于$f(1)\cdotf(1.03125)<0$，根在區(qū)間$[1,1.03125]$內(nèi)。$x_6=\frac{1+1.03125}{2}=1.015625$，$f(1.015625)=1.015625^3-1.015625-1=-0.45703125$。由于$f(1)\cdotf(1.015625)<0$，根在區(qū)間$[1,1.015625]$內(nèi)。$x_7=\frac{1+1.015625}{2}=1.0078125$，$f(1.0078125)=1.0078125^3-1.0078125-1=-0.45703125$。由于$f(1)\cdotf(1.0078125)<0$，根在區(qū)間$[1,1.0078125]$內(nèi)。$x_8=\frac{1+1.0078125}{2}=1.00390625$，$f(1.00390625)=1.00390625^3-1.00390625-1=-0.45703125$。由于$f(1)\cdotf(1.00390625)<0$，根在區(qū)間$[1,1.00390625]$內(nèi)。$x_9=\frac{1+1.00390625}{2}=1.001953125$，$f(1.001953125)=1.001953125^3-1.001953125-1=-0.45703125$。由于$f(1)\cdotf(1.001953125)<0$，根在區(qū)間$[1,1.001953125]$內(nèi)。$x_{10}=\frac{1+1.001953125}{2}=1.0009765625$，$f(1.0009765625)=1.0009765625^3-1.0009765625-1=-0.45703125$。由于$f(1)\cdotf(1.0009765625)<0$，根在區(qū)間$[1,1.0009765625]$內(nèi)。$x_{11}=\frac{1+1.0009765625}{2}=1.00048828125$，$f(1.00048828125)=1.00048828125^3-1.00048828125-1=-0.45703125$。由于$f(1)\cdotf(1.00048828125)<0$，根在區(qū)間$[1,1.00048828125]$內(nèi)。$x_{12}=\frac{1+1.00048828125}{2}=1.000244140625$，$f(1.000244140625)=1.000244140625^3-1.000244140625-1=-0.45703125$。由于$f(1)\cdotf(1.000244140625)<0$，根在區(qū)間$[1,1.000244140625]$內(nèi)。$x_{13}=\frac{1+1.000244140625}{2}=1.0001220703125$，$f(1.0001220703125)=1.0001220703125^3-1.0001220703125-1=-0.45703125$。由于$f(1)\cdotf(1.0001220703125)<0$，根在區(qū)間$[1,1.0001220703125]$內(nèi)。$x_{14}=\frac{1+1.0001220703125}{2}=1.00006103515625$，$f(1.00006103515625)=1.00006103515625^3-1.00006103515625-1=-0.45703125$。由于$f(1)\cdotf(1.00006103515625)<0$，根在區(qū)間$[1,1.00006103515625]$內(nèi)。$x_{15}=\frac{1+1.00006103515625}{2}=1.000030517578125$，$f(1.000030517578125)=1.000030517578125^3-1.000030517578125-1=-0.45703125$。由于$f(1)\cdotf(1.000030517578125)<0$，根在區(qū)間$[1,1.000030517578125]$內(nèi)。$x_{16}=\frac{1+1.000030517578125}{2}=1.0000152587890625$，$f(1.0000152587890625)=1.0000152587890625^3-1.0000152587890625-1=-0.45703125$。由于$f(1)\cdotf(1.0000152587890625)<0$，根在區(qū)間$[1,1.0000152587890625]$內(nèi)。$x_{17}=\frac{1+1.0000152587890625}{2}=1.00000762939453125$，$f(1.00000762939453125)=1.00000762939453125^3-1.00000762939453125-1=-0.45703125$。由于$f(1)\cdotf(1.00000762939453125)<0$，根在區(qū)間$[1,1.00000762939453125]$內(nèi)。$x_{18}=\frac{1+1.00000762939453125}{2}=1.0000038146972656$，$f(1.0000038146972656)=1.0000038146972656^3-1.0000038146972656-1=-0.45703125$。由于$f(1)\cdotf(1.0000038146972656)<0$，根在區(qū)間$[1,1.0000038146972656]$內(nèi)。$x_{19}=\frac{1+1.0000038146972656}{2}=1.0000019073486328$，$f(1.0000019073486328)=1.0000019073486328^3-1.0000019073486328-1=-0.45703125$。由于$f(1)\cdotf(1.0000019073486328)<0$，根在區(qū)間$[1,1.0000019073486328]$內(nèi)。$x_{20}=\frac{1+1.0000019073486328}{2}=1.0000009536743164$，$f(1.0000009536743164)=1.0000009536743164^3-1.0000009536743164-1=-0.45703125$。由于$f(1)\cdotf(1.0000009536743164)<0$，根在區(qū)間$[1,1.0000009536743164]$內(nèi)。由于$x_{20}-x_{19}=0.0000009536743164<0.001$，停止迭代。最終結(jié)果為$x\approx1.0000009536743164$。三、迭代公式為：$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$。$f(x)=x^2-2$，$f'(x)=2x$。$x_1=1-\frac{1^2-2}{2\cdot1}=1.5$。$x_2=1.5-\frac{1.5^2-2}{2\cdot1.5}=1.4166666666666665$。四、高斯消元法通過初等行變換將線性方程組$Ax=b$化為上三角形式，然后通過回代求解未知數(shù)。LU分解將系數(shù)矩陣$A$分解為一個下三角矩陣$L$和一個上三角矩陣$U$，然后利用$Ly=b$和$Ux=y$求解未知數(shù)。高斯消元法適用于任意線性方程組，而LU分解法需要系數(shù)矩陣$A$可逆。高斯消元法的時間復(fù)雜度較高，而LU分解法可以重復(fù)利用$L$和$U$求解不同的右端向量$b$，效率更高。五、拉格朗日插值公式為：$P(x)=\sum_{i=0}^2y_i\prod_{\substack{0\leqj\leq2\\j\neqi}}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$P(x_0+h)=y_0\frac{(x_0+h-x_1)(x_0+h-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}+y_1\frac{(x_0+h-x_0)(x_0+h-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}+y_2\frac{(x_0+h-x_0)(x_0+h-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$六、梯形求積公式為：$\int_a^bf(x)dx\approx\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]$。誤差為：$R(f)=-\frac{(b-a)^3}{12}f''(\xi)$，其中$\xi\in(a,b)$。當(dāng)$f(x)$具有二