2025年大學(xué)《統(tǒng)計學(xué)》專業(yè)題庫——多元統(tǒng)計分析在研究中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.對于p維隨機(jī)向量X，其協(xié)方差矩陣為∑，則下列說法正確的是：A.∑的對角線元素σ??,σ??,...,σ<0xE2><0x82><0x99><0xE2><0x82><0x99>都是X的方差。B.∑的非對角線元素σ<0xE1><0xB5><0xA3>表示第i個分量和第j個分量之間的相關(guān)系數(shù)。C.∑的特征值都是非負(fù)的實(shí)數(shù)。D.如果X服從多元正態(tài)分布，則X的任意線性組合也服從正態(tài)分布。2.在主成分分析中，主成分的方向是：A.協(xié)方差矩陣特征向量的方向。B.相關(guān)系數(shù)矩陣特征向量的方向。C.數(shù)據(jù)點(diǎn)的中心位置。D.數(shù)據(jù)點(diǎn)的散布范圍。3.下列關(guān)于因子分析的描述，錯誤的是：A.因子分析的目標(biāo)是解釋變量之間的相關(guān)性。B.因子載荷表示每個因子對每個變量的影響程度。C.因子分析需要先進(jìn)行主成分分析。D.因子得分是每個樣本在每個因子上的取值。4.聚類分析的目標(biāo)是：A.將數(shù)據(jù)點(diǎn)分成不同的組，使得組內(nèi)數(shù)據(jù)相似，組間數(shù)據(jù)差異較大。B.對數(shù)據(jù)進(jìn)行排序。C.建立預(yù)測模型。D.描述數(shù)據(jù)的分布情況。5.下列關(guān)于判別分析的描述，正確的是：A.判別分析只能用于兩個總體的區(qū)分。B.判別分析的目標(biāo)是找到一個線性函數(shù)，將不同總體的數(shù)據(jù)點(diǎn)區(qū)分開。C.判別分析不需要知道總體的分布情況。D.判別分析只能用于分類預(yù)測，不能用于識別分類。6.在進(jìn)行聚類分析時，常用的距離度量有：A.歐幾里得距離。B.曼哈頓距離。C.切比雪夫距離。D.以上都是。7.下列關(guān)于主成分分析的描述，正確的是：A.主成分分析可以將高維數(shù)據(jù)降維到低維空間。B.主成分分析可以去除數(shù)據(jù)中的噪聲。C.主成分分析可以解釋數(shù)據(jù)中的大部分方差。D.以上都是。8.因子分析中，公因子和特殊因子的方差分別表示：A.變量總方差、變量特殊方差。B.變量特殊方差、變量總方差。C.公共方差、特殊方差。D.特殊方差、公共方差。9.在進(jìn)行判別分析時，常用的方法有：A.費(fèi)歇爾判別。B.貝葉斯判別。C.逐步判別。D.以上都是。10.多元統(tǒng)計分析在哪些領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用？（多選）A.經(jīng)濟(jì)學(xué)。B.社會學(xué)。C.心理學(xué)。D.生物統(tǒng)計學(xué)。E.以上都是。二、填空題1.設(shè)X是一個p維隨機(jī)向量，E(X)=μ，協(xié)方差矩陣為∑，則X的線性變換Y=AX+b的均值向量和協(xié)方差矩陣分別為______和______。2.主成分分析的目的是找到一組新的變量，這些新變量是原始變量的線性組合，并且這些新變量______，同時______。3.因子分析的基本模型為X=ΛF+ε，其中F稱為______，Λ稱為______，ε稱為______。4.聚類分析中，常用的距離度量包括______距離、曼哈頓距離和切比雪夫距離。5.判別分析的目標(biāo)是找到一個線性函數(shù)，使得______總體的數(shù)據(jù)點(diǎn)盡可能分開，而______總體的數(shù)據(jù)點(diǎn)盡可能聚集。6.因子分析中，因子載荷的平方表示______。7.主成分分析中，第i個主成分的方差占總方差的比例稱為______。8.聚類分析的結(jié)果可以通過______圖和______圖進(jìn)行可視化。9.判別分析中，費(fèi)歇爾判別的目標(biāo)是最大化______，最小化______。10.多元統(tǒng)計分析的基本假設(shè)之一是多元正態(tài)性，即數(shù)據(jù)來自______分布。三、計算題1.設(shè)隨機(jī)向量X=(X?,X?,X?)?服從多元正態(tài)分布，E(X)=(1,2,3)?，協(xié)方差矩陣為∑=[[2,1,0],[1,3,1],[0,1,4]]。求：(1)X?+2X?-X?的均值和方差；(2)X?和X?的相關(guān)系數(shù)。2.對一組樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分分析，得到前兩個主成分的方差分別為15和5，總方差為30。試計算：(1)第一個主成分和第二個主成分的貢獻(xiàn)率；(2)第一個主成分和第二個主成分的累計貢獻(xiàn)率。3.對一組樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行因子分析，得到因子載荷矩陣為Λ=[[0.8,0.2],[0.5,0.7],[0.3,0.6]]，特征值為λ?=1.8,λ?=0.7。試計算：(1)第一個因子和第二個因子的方差貢獻(xiàn)；(2)第一個因子和第二個因子的因子載荷的平方。四、簡答題1.簡述主成分分析和因子分析的區(qū)別。2.簡述聚類分析和判別分析的區(qū)別。五、論述題試述多元統(tǒng)計分析在社會科學(xué)研究中的應(yīng)用價值。試卷答案一、選擇題1.A2.B3.C4.A5.B6.D7.D8.A9.D10.E二、填空題1.Aμ+b，A∑A?2.不相關(guān)，方差最大化3.公因子，因子載荷矩陣，特殊因子4.歐幾里得5.不同，同類6.變量在某個因子上的方差貢獻(xiàn)7.貢獻(xiàn)率8.聚類，樹狀9.類間離差平方和，類內(nèi)離差平方和10.多元正態(tài)三、計算題1.(1)均值：1+2*2-3=2；方差：22+22*3+(-1)2*4+2*1*3+2*(-1)*1+(-1)*1*0=2+12+4+6-2+0=22(2)Cov(X?,X?)=1,Var(X?)=2,Var(X?)=3;相關(guān)系數(shù)：1/(sqrt(2)*sqrt(3))=sqrt(6)/62.(1)貢獻(xiàn)率：15/30=0.5,5/30=0.1667；(2)累計貢獻(xiàn)率：0.5+0.1667=0.66673.(1)方差貢獻(xiàn)：1.8,0.7；(2)因子載荷的平方：0.82=0.64,0.22=0.04,0.52=0.25,0.72=0.49,0.32=0.09,0.62=0.36四、簡答題1.主成分分析旨在降維并保留數(shù)據(jù)方差，通過線性組合原始變量生成新變量（主成分），新變量間不相關(guān)且方差依次遞減。因子分析旨在解釋變量間的相關(guān)性，認(rèn)為多個不可觀測的潛在因子共同影響觀測變量。主成分分析是探索性方法，因子分析常用于構(gòu)建理論模型。2.聚類分析旨在將樣本根據(jù)相似性分組，無需預(yù)先指定類別。判別分析旨在根據(jù)已知類別的樣本建立分類規(guī)則，用于對新樣本進(jìn)行類別預(yù)測。聚類分析是探索性方法，判別分析是confirmatory方法。五、論述題多元統(tǒng)計分析在社會科學(xué)研究中具有重要應(yīng)用價值。首先，它能夠處理多個變量，揭示變量間的復(fù)雜關(guān)系和結(jié)構(gòu)，例如通過主成分分析降維，識別關(guān)鍵影響因素；其次，它能夠?qū)Υ罅繕颖具M(jìn)行分類和聚類，例如市場