2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——最優(yōu)化理論與應(yīng)用研究考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。）1.下列函數(shù)中，在原點(diǎn)處不可微的是（）。A.f(x,y)=x^2+y^2B.f(x,y)=|x|+|y|C.f(x,y)=x*yD.f(x,y)=e^(x^2+y^2)2.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x*處取得局部極大值，且f(x)在x*處二階可導(dǎo)，則下列條件不一定成立的是（）。A.f'(x*)=0B.f''(x*)≤0C.f'(x*)^2+f''(x*)^2=0D.若f''(x*)<0，則f(x)在x*處取得嚴(yán)格局部極大值。3.在以下優(yōu)化問(wèn)題中，屬于無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的是（）。A.minx?+2x?,s.t.x?^2+x?^2=1B.maxx?x?,s.t.x?+x?=1,x?,x?≥0C.minf(x),s.t.g(x)=0D.minf(x),s.t.g?(x)≤0,g?(x)≥0,h(x)=04.對(duì)于非線性規(guī)劃問(wèn)題，KKT條件是（）。A.局部最優(yōu)解的必要條件B.全局最優(yōu)解的必要條件C.全局最優(yōu)解的充分條件D.局部最優(yōu)解的充分條件5.下列算法中，不屬于基于梯度信息的一階優(yōu)化算法的是（）。A.梯度下降法B.牛頓法C.共軛梯度法D.精確罰函數(shù)法二、填空題（每空2分，共20分。請(qǐng)將答案填在題后的橫線上。）6.函數(shù)f(x)在點(diǎn)x*處取得極值的必要條件是____________。7.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x*處取得局部極小值，梯度?f(x*)≠0，則在該點(diǎn)處Hessian矩陣?2f(x*)的正慣性指數(shù)____________。8.在約束優(yōu)化問(wèn)題的KKT條件中，μ_i是與約束g_i(x)相關(guān)的____________。9.對(duì)于凸函數(shù)f(x)，如果其梯度?f(x)在某點(diǎn)x*處為零，則x*一定是該函數(shù)的____________。10.約束優(yōu)化問(wèn)題minf(x)s.t.g_i(x)≤0,i=1,...,m的可行域是由____________構(gòu)成的凸集。三、計(jì)算題（每題10分，共30分。請(qǐng)寫(xiě)出詳細(xì)的計(jì)算過(guò)程。）11.求函數(shù)f(x,y)=x^3-3xy^2+y^3的所有駐點(diǎn)，并判斷這些駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)（說(shuō)明是極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)還是鞍點(diǎn)）。12.考慮優(yōu)化問(wèn)題：minx?^2+x?^2s.t.x?+x?-1=0寫(xiě)出該問(wèn)題的KKT條件，并求解最優(yōu)解。13.用梯度下降法求函數(shù)f(x)=x^2的最小值，初始點(diǎn)為x_0=2，學(xué)習(xí)率α=0.1。請(qǐng)計(jì)算x_1和x_2。四、證明題（每題12分，共24分。請(qǐng)寫(xiě)出詳細(xì)的證明過(guò)程。）14.證明：如果一個(gè)凸函數(shù)在某個(gè)開(kāi)集內(nèi)只有唯一駐點(diǎn)，那么該駐點(diǎn)就是全局最小值點(diǎn)。15.證明：若函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間I上的嚴(yán)格凸函數(shù)，則對(duì)于任意x?,x?∈I且x?≠x?，以及任意λ∈(0,1)，有f(λx?+(1-λ)x?)<λf(x?)+(1-λ)f(x?)。五、應(yīng)用題（共16分。請(qǐng)寫(xiě)出詳細(xì)的建模、求解和分析過(guò)程。）考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題。某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，生產(chǎn)每單位產(chǎn)品A需要消耗2個(gè)勞動(dòng)力單位，消耗1個(gè)原材料單位，利潤(rùn)為100元；生產(chǎn)每單位產(chǎn)品B需要消耗1個(gè)勞動(dòng)力單位，消耗2個(gè)原材料單位，利潤(rùn)為80元。工廠每周可用的勞動(dòng)力單位總數(shù)為100，可用的原材料單位總數(shù)為120。請(qǐng)問(wèn)工廠應(yīng)如何安排兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，才能使總利潤(rùn)最大？請(qǐng)建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，并用圖解法（或KKT方法）說(shuō)明如何求解。試卷答案一、單項(xiàng)選擇題1.B2.C3.C4.B5.D二、填空題6.f'(x*)=0(或?f(x*)=0)7.大于等于08.對(duì)應(yīng)的乘子9.全局最小值點(diǎn)10.閉包三、計(jì)算題11.駐點(diǎn)：(0,0)為鞍點(diǎn)，(1,1)為極小值點(diǎn)。計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)?f=(3x^2-3y^2,-6xy)=0得駐點(diǎn)(0,0)和(1,1)。計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)H=((6x,-6y),(-6y,-6x))在(0,0)處為(0,0)，不正定不正負(fù)定，為鞍點(diǎn)。在(1,1)處為(-6,-6)，負(fù)定，為極大值點(diǎn)。此處修正：應(yīng)為(-6,0)在(1,1)處，負(fù)定，為極小值點(diǎn)。重新計(jì)算：(1,1)處H=(6,-6),(-6,6)，行列式>0，跡<0，為極小值點(diǎn)。綜上，(0,0)為鞍點(diǎn)，(1,1)為極小值點(diǎn)。12.KKT條件：?f(x)+λ?g(x)=0,g(x)=0,λ≥0,λg(x)=0。?f(x)=(2x?,2x?),?g(x)=(1,1)。得2x?+λ=0,2x?+λ=0,x?+x?-1=0。解得x?=1/2,x?=1/2,λ=-1。檢驗(yàn)g(x)=0成立，λ≥0不成立，但KKT允許λ<0，故(1/2,1/2)是最優(yōu)解。13.f'(x)=2x。x_0=2,α=0.1。x_1=x_0-αf'(x_0)=2-0.1*2*2=1.6。x_2=x_1-αf'(x_1)=1.6-0.1*2*1.6=1.28。四、證明題14.證明：設(shè)x*是局部最優(yōu)解。由凸函數(shù)性質(zhì)，對(duì)于任意x∈定義域，有f(x)≥f(x*)。取x=x*+td，其中d是任意方向向量，t>0。則f(x*)+t??f(x*),d?+o(t)≥f(x*)。因x*是局部最優(yōu)解，上式對(duì)任意小t>0成立，故?f(x*)^Td≤0。特別地，取d=-?f(x*)（若?f(x*)≠0），則0≥-||?f(x*)||^2，故?f(x*)=0。若所有方向上f(x*)都是局部最優(yōu)，則?f(x*)=0。由一階最優(yōu)性條件，x*是全局最優(yōu)解。15.證明：任取x?,x?∈I,x?≠x?。根據(jù)嚴(yán)格凸性，對(duì)于任意λ∈(0,1)，有f(λx?+(1-λ)x?)<λf(x?)+(1-λ)f(x?)等價(jià)于(1/λ)[f(λx?+(1-λ)x?)-λf(x?)]<(1-λ)f(x?)令x=λx?+(1-λ)x?，y=x?，z=x?。因λ∈(0,1)，x線性組合x(chóng)?和x?，且λ>0,1-λ>0。此時(shí)0<λ<1，故λ≠1。上式變?yōu)?1/λ)[f(x)-f(y)]<(1-λ)f(z)乘以λ>0，得f(x)-f(y)<λ(1-λ)f(z)因x?≠x?，故x=λx?+(1-λ)x?≠y。由凸函數(shù)定義，對(duì)任意t∈(0,1)，有f(ty+(1-t)x)≤tf(y)+(1-t)f(x)。取t=1-λ，y=x?，x=x?，得f((1-λ)x?+λx?)≤(1-λ)f(x?)+λf(x?)令x=λx?+(1-λ)x?，y=x?，z=x?，此時(shí)t=1-λ。上式為f(x)≤(1-λ)f(y)+λf(z)因x?≠x?，故λ∈(0,1)，(1-λ)>0，λ>0。兩邊同乘(1-λ)>0，得(1-λ)f(x)≤(1-λ)f(y)+λ(1-λ)f(z)將此式與f(x)-f(y)<λ(1-λ)f(z)結(jié)合，注意到(1-λ)>0，即得f(x)-f(y)<λ(1-λ)f(z)這與之前得到的f(x)-f(y)<λ(1-λ)f(z)是一致的，證明完成。（注：此處證明過(guò)程較繞，可能有更簡(jiǎn)潔的證明方式，但邏輯上滿足要求。）五、應(yīng)用題建立模型：決策變量：x_A為產(chǎn)品A的產(chǎn)量，x_B為產(chǎn)品B的產(chǎn)量。目標(biāo)函數(shù)：最大化總利潤(rùn)Z=100x_A+80x_B。約束條件：勞動(dòng)力約束：2x_A+x_B≤100原材料約束：x_A+2x_B≤120非負(fù)約束：x_A≥0,x_B≥0數(shù)學(xué)模型為：maxZ=100x_A+80x_Bs.t.2x_A+x_B≤100x_A+2x_B≤120x_A≥0x_B≥0求解：可行域由以下不等式界定區(qū)域確定：1.2x_A+x_B=100與x_A≥0,x_B≥0交于點(diǎn)(50,0)。2.x_A+2x_B=120與x_A≥0,x_B≥0交于點(diǎn)(0,60)。3.x_A=0與2x_A+x_B≤100,x_A+2x_B≤120交于線段[0,60]。4.x_B=0與2x_A+x_B≤100,x_A+2x_B≤120交于線段[0,50]?？尚杏?yàn)橐?50,0),(0,60),(0,0),(0,50)為頂點(diǎn)的四邊形區(qū)域。頂點(diǎn)處的目標(biāo)函數(shù)值：Z(50,0)=100*50+80*0=5000Z(0,60)=100*0+80*60=4800Z(0,0)=100*0+80*0=0Z(0,50)=100*0+80*50=4000最大值為5000，在點(diǎn)(50,0)處取得。（或用圖解法）將