2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——最優(yōu)化問(wèn)題的終極解決方案考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題1.在最優(yōu)化問(wèn)題中，目標(biāo)函數(shù)要最小化（或最大化），而________表示問(wèn)題求解的可行區(qū)域。2.對(duì)于一個(gè)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，如果某點(diǎn)處的梯度為零，且海森矩陣正定（或負(fù)定），則該點(diǎn)是一個(gè)________最小值（或最大值）點(diǎn)。3.拉格朗日乘子法主要用于求解________優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x,λ)并利用________條件尋找最優(yōu)解。4.KKT條件是約束優(yōu)化問(wèn)題中連接________和________的橋梁，對(duì)于可行且局部最優(yōu)的解，必須滿足這些條件。5.線性規(guī)劃問(wèn)題的對(duì)偶理論表明，原始問(wèn)題與其對(duì)偶問(wèn)題具有緊密聯(lián)系，如原始問(wèn)題的最優(yōu)值等于對(duì)偶問(wèn)題的________值，且兩者具有相同的________值。6.梯度下降法是一種常用的無(wú)約束優(yōu)化方法，其搜索方向是________的反方向，步長(zhǎng)選擇對(duì)算法的________有重要影響。7.在處理大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，由于其Hessian矩陣維度過(guò)高，牛頓法通常被其變種________所替代，后者僅使用梯度信息。8.對(duì)于非凸優(yōu)化問(wèn)題，局部最優(yōu)解可能不是________最優(yōu)解，因此尋找全局最優(yōu)解通常更具挑戰(zhàn)性。9.罰函數(shù)法通過(guò)在目標(biāo)函數(shù)中加入懲罰項(xiàng)來(lái)將約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列________優(yōu)化問(wèn)題，常用的懲罰項(xiàng)形式包括________和________。10.在多目標(biāo)優(yōu)化中，找到一個(gè)使所有目標(biāo)都達(dá)到最優(yōu)值的解通常是困難的，常用的優(yōu)化目標(biāo)包括________、________和________。二、計(jì)算題1.考慮無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題：`f(x,y)=x^2+2y^2-4x+4y`。(1)求函數(shù)的梯度?f(x,y)。(2)求函數(shù)的Hessian矩陣H(f)。(3)證明在點(diǎn)(1,-1)處，函數(shù)取得局部最小值。請(qǐng)說(shuō)明理由（需驗(yàn)證最優(yōu)性條件）。(4)若使用梯度下降法求解該問(wèn)題，初始點(diǎn)取(0,0)，學(xué)習(xí)率α=0.1，請(qǐng)寫(xiě)出前兩次迭代的新坐標(biāo)點(diǎn)。2.考慮約束優(yōu)化問(wèn)題：`minx^2+y^2`，約束條件為`x+y=1`。(1)使用拉格朗日乘子法求解該問(wèn)題的最優(yōu)解(x*,y*)和對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值。(2)請(qǐng)寫(xiě)出該問(wèn)題的KKT條件，并驗(yàn)證你所求得的最優(yōu)解滿足KKT條件。3.考慮線性規(guī)劃問(wèn)題：`max3x1+5x2`約束條件：`x1+x2<=4``2x1+x2<=5``x1,x2>=0`(1)寫(xiě)出該問(wèn)題的對(duì)偶問(wèn)題。(2)若已知該原始問(wèn)題的最優(yōu)解為x1=2,x2=3，目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為19，請(qǐng)根據(jù)對(duì)偶理論，直接寫(xiě)出其對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解及其對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值。三、證明題1.證明：對(duì)于任意的實(shí)向量x和對(duì)稱正定矩陣Q，函數(shù)`f(x)=x^TQx`是嚴(yán)格凸函數(shù)。2.設(shè)`x_k`是使用梯度下降法（學(xué)習(xí)率固定）生成的序列，`f(x)`是一個(gè)連續(xù)可微的凸函數(shù)。證明：如果`f(x_{k+1})>=f(x_k)`對(duì)所有的k成立，那么學(xué)習(xí)率α太大。四、綜合應(yīng)用題1.在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，常遇到支持向量機(jī)（SVM）中的參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題。假設(shè)我們要最小化以下?lián)p失函數(shù)（簡(jiǎn)化形式）：`f(w,b)=1/2||w||^2+C*sum_{iinS}loss(y_i,w^Tx_i+b)`其中w是權(quán)重向量，b是偏置，x_i是第i個(gè)樣本點(diǎn)，y_i是其標(biāo)簽（±1），S是誤分類樣本的集合，loss是損失函數(shù)（如hinge損失`max(0,1-y_i(w^Tx_i+b))`），C是正則化參數(shù)。(1)分析該優(yōu)化問(wèn)題的性質(zhì)（如是否為凸優(yōu)化問(wèn)題？）。(2)針對(duì)該問(wèn)題，簡(jiǎn)述一種可能的優(yōu)化方法（不必詳細(xì)推導(dǎo)，說(shuō)明思路即可），并說(shuō)明C參數(shù)的作用。(3)如果損失函數(shù)采用平方損失`sum_{iinS}(y_i-w^Tx_i-b)^2`，問(wèn)題變?yōu)榍蠼庖粋€(gè)線性方程組。請(qǐng)簡(jiǎn)述如何求解，并說(shuō)明與原問(wèn)題（hinge損失）的主要區(qū)別。2.在工程設(shè)計(jì)中，我們需要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為V的圓柱形罐體，要求其表面積（包括上下底面和側(cè)面）最小。設(shè)罐體高度為h，半徑為r。(1)建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型（包括目標(biāo)函數(shù)和約束條件）。(2)分析該模型是否為凸優(yōu)化問(wèn)題。(3)若通過(guò)解析方法求解得到最優(yōu)半徑和最優(yōu)高度，請(qǐng)討論在什么條件下解析解是唯一的？如果解析解不唯一或不存在，可能的原因是什么？在這種情況下，可以考慮使用哪些優(yōu)化算法來(lái)尋找“最優(yōu)”的設(shè)計(jì)方案？試卷答案一、填空題1.約束區(qū)域（或可行域）2.局部3.線性規(guī)劃；KKT（或Karush-Kuhn-Tucker）4.最優(yōu)性條件；可行性條件5.最??；最優(yōu)值6.梯度；收斂性7.擬牛頓法（或DFP、BFGS）8.全局9.無(wú)約束；障礙函數(shù)；增廣拉格朗日10.精確帕累托最優(yōu)；近似帕累托最優(yōu)；折衷解二、計(jì)算題1.(1)梯度?f(x,y)=(2x-4,4y+4)。(2)Hessian矩陣H(f)=[[2,0],[0,4]]。(3)點(diǎn)(1,-1)處，梯度?f(1,-1)=(2*1-4,4*(-1)+4)=(-2,0)。Hessian矩陣H(f)=[[2,0],[0,4]]，其特征值為2和4，均為正，故H(f)正定。因此，在(1,-1)處，函數(shù)取得嚴(yán)格局部最小值。(4)迭代公式：x_{k+1}=x_k-α?f(x_k)。k=0,x_0=(0,0)，?f(0,0)=(4,4)，x_1=(0,0)-0.1*(4,4)=(-0.4,-0.4)。k=1,x_1=(-0.4,-0.4)，?f(-0.4,-0.4)=(2*(-0.4)-4,4*(-0.4)+4)=(-4.8,2.4)，x_2=(-0.4,-0.4)-0.1*(-4.8,2.4)=(-0.4+0.48,-0.4-0.24)=(0.08,-0.64)。2.(1)令`g(x,y)=x+y-1`，則拉格朗日函數(shù)L(x,y,λ)=x^2+y^2+λ(x+y-1)。求偏導(dǎo)并令其為零：?L/?x=2x+λ=0=>λ=-2x?L/?y=2y+λ=0=>λ=-2y?L/?λ=x+y-1=0由λ=-2x=-2y得x=y。代入約束x+y=1，得x=y=1/2。最優(yōu)解為(x*,y*)=(1/2,1/2)。此時(shí)f(x*,y*)=(1/2)^2+(1/2)^2=1/4。對(duì)偶問(wèn)題：max-λ約束條件：-x-y<=-1；-2x<=-1；-2y<=-1；x,y>=0。由-2x<=-1和-2y<=-1得x>=1/2,y>=1/2。由-x-y<=-1得x+y>=1。結(jié)合x(chóng),y>=0，對(duì)偶可行解滿足x,y>=1/2且x+y>=1。設(shè)x=y=1/2，滿足約束，此時(shí)-λ=-(2*(1/2))=-1。若x,y>1/2且x+y=1，則x=y=1/2是唯一解。對(duì)偶最優(yōu)解為λ*=-1，對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值為-1。原問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為1/4，符合對(duì)偶理論。(2)KKT條件：i)可行性：x+y=1,x,y>=0。ii)梯度條件：?f(x,y)+λ?g(x,y)=0=>(2x,2y)+λ(1,1)=0=>(2x+λ,2y+λ)=0=>λ=-2x,λ=-2y=>x=y。iii)對(duì)偶可行性：λ>=0。驗(yàn)證：(1/2,1/2)滿足x+y=1,x=1/2,y=1/2>=0。λ=-2*(1/2)=-1，不滿足λ>=0。因此，(1/2,1/2,-1)不滿足KKT條件。這表明KKT條件只是必要條件，不充分（對(duì)于非凸問(wèn)題）。但此問(wèn)題為凸規(guī)劃，(1/2,1/2)確實(shí)是最優(yōu)解，且KKT條件在此處應(yīng)被滿足。這里計(jì)算出的λ=-1表明點(diǎn)(1/2,1/2)是非最優(yōu)的，或說(shuō)明在求解過(guò)程中可能存在錯(cuò)誤。重新審視，若我們找到x=1/2,y=1/2，則λ=-2*(1/2)=-1。此時(shí)?f=(2x,2y)=(1,1)，λ?g=(-1,-1)。?f+λ?g=(1-1,1-1)=(0,0)，梯度條件滿足。約束x=1/2,y=1/2也滿足。對(duì)偶可行性λ=-1不滿足。這確實(shí)表明KKT條件不是必要條件，而是充分必要條件僅在凸問(wèn)題中成立。對(duì)于此凸問(wèn)題，點(diǎn)(1/2,1/2)是最優(yōu)解，KKT條件應(yīng)被滿足。之前的計(jì)算?f+λ?g=(0,0)是正確的，但λ=-1與λ>=0矛盾。這說(shuō)明(1/2,1/2)不是最優(yōu)解。重新檢查最優(yōu)解計(jì)算，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤。最優(yōu)解應(yīng)在邊界上，如(0,1)。f(0,1)=1。檢查(0,1)：?f(0,1)=(0,4)+(-1,0)=(0,4)，?g(0,1)=(1,1)，?f+λ?g=(0,4)+λ(1,1)=(λ,4+λ)。令其為零，得λ=0,4+λ=0，無(wú)解。檢查(1,0)：?f(1,0)=(2,-4)+(-1,0)=(1,-4)，?g(1,0)=(1,1)，?f+λ?g=(1,-4)+λ(1,1)=(1+λ,-4+λ)。令其為零，得λ=-1,-4+λ=0，無(wú)解。檢查(4,0)：?f(4,0)=(8,0)+(-1,0)=(7,0)，?g(4,0)=(1,1)，?f+λ?g=(7,0)+λ(1,1)=(7+λ,λ)。令其為零，得λ=-7,λ=0，無(wú)解。檢查(0,4)：?f(0,4)=(0,8)+(-1,0)=(0,8)，?g(0,4)=(1,1)，?f+λ?g=(0,8)+λ(1,1)=(λ,8+λ)。令其為零，得λ=0,8+λ=0，無(wú)解。檢查邊界點(diǎn)(1,0)和(0,1)，發(fā)現(xiàn)均不滿足KKT條件?？磥?lái)之前的結(jié)論有誤。重新審視原問(wèn)題f(x,y)=x^2+y^2,g(x,y)=x+y-1=0。最優(yōu)解應(yīng)在邊界x+y=1上。將y=1-x代入f，得f(x)=x^2+(1-x)^2=2x^2-2x+1。求導(dǎo)f'(x)=4x-2=0，得x=1/2,y=1/2。此時(shí)f(1/2,1/2)=1/4。檢查邊界點(diǎn)(1,0)和(0,1)：f(1,0)=1,f(0,1)=1。因此，全局最優(yōu)解為(x*,y*)=(1/2,1/2)，最優(yōu)值f(x*,y*)=1/4。KKT條件是充分必要條件。需要驗(yàn)證(1/2,1/2)滿足KKT。?f=(2x,2y),?g=(1,1)。?f+λ?g=(2x+λ,2y+λ)=0=>λ=-2x,λ=-2y=>x=y。約束x+y=1=>2x=1=>x=1/2,y=1/2。?f(1/2,1/2)+(λ=-1)?g(1/2,1/2)=(1,1)+(-1,-1)=(0,0)。梯度條件滿足。約束x=1/2,y=1/2滿足。對(duì)偶可行性λ=-1>=0滿足。因此，點(diǎn)(1/2,1/2,-1)滿足所有KKT條件，是問(wèn)題的最優(yōu)解。之前的錯(cuò)誤在于認(rèn)為邊界點(diǎn)(1,0)或(0,1)可能最優(yōu)，但實(shí)際上x(chóng)+y=1上的點(diǎn)x^2+(1-x)^2在x=1/2時(shí)取得最小值。故最優(yōu)解為(1/2,1/2)。3.(1)對(duì)偶問(wèn)題：最大化：w1*(-1)+w2*(-5)+w3*(-4)+w4*(-5)(或-w1-5w2-4w3-5w4)約束條件：w1+2w2>=3w1+w2<=4w3>=2w4>=5w1,w2,w3,w4>=0(或?qū)懗蒻in-w1*1-w2*5-w3*2-w4*5s.t.-w1-2w2<=-3-w1-w2<=-4w3>=2w4>=5w1,w2,w3,w4>=0)(2)根據(jù)對(duì)偶理論：原問(wèn)題最優(yōu)解x1=2,x2=3，對(duì)應(yīng)w1=3,w2=4。原問(wèn)題最優(yōu)值19。對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解w1*=3,w2*=4。對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)值也為19。三、證明題1.證明：設(shè)x,z為定義域內(nèi)任意兩點(diǎn)，x!=z。函數(shù)f(x)-f(z)=(x-z)^TQ(x-z)=||x-z||^2>0(因?yàn)镼正定，||x-z||^2>=0且僅在x=z時(shí)等于0)。令c=(x-z)^TQ(x-z)/||x-z||^2，則c>0。由凸函數(shù)定義，f(tx+(1-t)z)<=tf(x)+(1-t)f(z)對(duì)所有tin[0,1]成立。令t=1/2，得f((x+z)/2)<=(1/2)f(x)+(1/2)f(z)。令g(t)=f(tx+(1-t)z)-tf(x)-(1-t)f(z)。則g(1/2)<=0。又g(0)=f(z)-f(z)=0，g(1)=f(x)-f(x)=0。g(t)在[0,1]上連續(xù)，由介值定理，存在tin(0,1)使得g(t)=0。即存在tin(0,1)使得f(tx+(1-t)z)=tf(x)+(1-t)f(z)。結(jié)合c=(x-z)^TQ(x-z)/||x-z||^2>0，可知對(duì)于任意x!=z，總有tin(0,1)使得f(tx+(1-t)z)>tf(x)+(1-t)f(z)。這表明f(x)是嚴(yán)格凸函數(shù)。2.證明：梯度下降法的迭代更新為x_{k+1}=x_k-α?f(x_k)?？紤]函數(shù)值變化：f(x_{k+1})-f(x_k)=f(x_k-α?f(x_k))-f(x_k)。由泰勒展開(kāi)，f(x_k-α?f(x_k))<=f(x_k)-α?f(x_k)^T?f(x_k)=f(x_k)-α||?f(x_k)||^2。因此，f(x_{k+1})<=f(x_k)-α||?f(x_k)||^2。若f(x_{k+1})>=f(x_k)恒成立，則-α||?f(x_k)||^2>=0。由于α>0且||?f(x_k)||^2>=0，這意味著||?f(x_k)||^2=0對(duì)所有k成立，即?f(x_k)=0對(duì)所有k成立。但f(x)是連續(xù)可微的凸函數(shù)，?f(x_k)=0僅在全局最小值點(diǎn)處成立。若僅k=0時(shí)?f(x_0)=0，則x_0即為全局最小值點(diǎn)，后續(xù)迭代無(wú)需進(jìn)行。若存在k>0使得?f(x_k)!=0，則||?f(x_k)||^2>0，導(dǎo)致-α||?f(x_k)||^2<0，與f(x_{k+1})>=f(x_k)矛盾。因此，唯一可能是α||?f(x_k)||^2=0對(duì)所有k成立，即α=0或?f(x_k)=0對(duì)所有k成立。α=0顯然不是有效的學(xué)習(xí)率。故必然?f(x_k)=0對(duì)所有k成立，即序列x_k收斂到全局最小值點(diǎn)。這與f(x_{k+1})>=f(x_k)對(duì)所有k成立矛盾，除非α過(guò)小或f(x_k)本身變化非常緩慢。更直接地，若f(x_{k+1})>=f(x_k)且α固定，則α||?f(x_k)||^2<=0。由于α>0，必有||?f(x_k)||^2<=0，即||?f(x_k)||=0。因此?f(x_k)=0對(duì)所有k>=0成立，x_k立即收斂到最小值點(diǎn)。若此條件不滿足，說(shuō)明f(x_{k+1})>=f(x_k)不成立。此處的嚴(yán)格性要求α不能太大。更準(zhǔn)確的表述是：若f(x_{k+1})>=f(x_k)對(duì)所有k成立，則學(xué)習(xí)率α太大，導(dǎo)致步長(zhǎng)不足以收斂。四、綜合應(yīng)用題1.(1)該優(yōu)化問(wèn)題是凸優(yōu)化問(wèn)題。目標(biāo)函數(shù)`f(w,b)=1/2||w||^2+C*sum_{iinS}loss(y_i,w^Tx_i+b)`。其中`1/2||w||^2`是關(guān)于w的嚴(yán)格凸函數(shù)，`sum_{iinS}loss(y_i,w^Tx_i+b)`在S上是關(guān)于w的凸函數(shù)（因?yàn)閔ingeloss是凸函數(shù)，且和保持凸性）。C是正實(shí)數(shù)，凸函數(shù)的C倍仍為凸函數(shù)。因此，目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于(w,b)的嚴(yán)格凸函數(shù)。約束`x_iinS`是一個(gè)集合約束，不影響目標(biāo)函數(shù)的凸性。(2)針對(duì)該問(wèn)題，一種可能的優(yōu)化方法是序列二次規(guī)劃（SQP）。SQP方法在每一步構(gòu)建一個(gè)二次近似模型，并求解相應(yīng)的二次規(guī)劃子問(wèn)題。對(duì)于此問(wèn)題，二次規(guī)劃子問(wèn)題可能包含二次目標(biāo)函數(shù)（來(lái)自目標(biāo)函數(shù)的二次部分和懲罰項(xiàng)的二次近似）和線性約束（來(lái)自KKT條件中的線性部分）。SQP方法結(jié)合了牛頓法在二次問(wèn)題上快速收斂的優(yōu)點(diǎn)和內(nèi)點(diǎn)法的處理約束的能力。C參數(shù)的作用是正則化參數(shù)，它控制著對(duì)誤分類樣本的懲罰程度。C越大，模型越傾向于將誤分類樣本正確分類，可能導(dǎo)致模型復(fù)雜度增加，過(guò)擬合風(fēng)險(xiǎn)增大；C越小，模型越寬松，允許更多誤分類，可能導(dǎo)致模型欠擬合。選擇C需要通過(guò)交叉驗(yàn)證等方法確定。(3)如果損失函數(shù)采用平方損失`sum_{iinS}(y_i-w^Tx_i-b)^2`，問(wèn)題變?yōu)閌min1/2||w||^2+(1/2)sum_{iinS}(y_i-w^Tx_i-b)^2`，約束為`x_iinS`。目標(biāo)函數(shù)變?yōu)殛P(guān)于(w,b)的嚴(yán)格凸函數(shù)。此時(shí)問(wèn)題變?yōu)榍蠼庖粋€(gè)線性方程組：對(duì)每個(gè)x_iinS，令`g_i(w,b)=w^Tx_i+b-y_i`，則`sum_{iinS}g_i(w,b)^2`的梯度為`?(sumg_i^2)=2*sum_ig_i*?g_i=2*sum_i(w^Tx_i+b-y_i)*(x_i,1)^T`。令梯度為零，得`(sum_i(w^Tx_i+b-y_i)*x_i,sum_i(w^Tx_i+b-y_i))=0`。將S中的點(diǎn)代入，得到一個(gè)關(guān)于w和b的線性方程組。如果S中的點(diǎn)線性無(wú)關(guān)，則此方程組有唯一解。與原問(wèn)題（hinge損失）的主要區(qū)別在于：平方損失函數(shù)在誤分類點(diǎn)處對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響與分類錯(cuò)誤的“程度”（即y_i-w^Tx_i-b的絕對(duì)值）成正比，而hinge損失只考慮錯(cuò)誤分類（即y_i-w^Tx_i-b<0）且影響與錯(cuò)誤程度成線性關(guān)系。平方損失對(duì)異常值更敏感，可能導(dǎo)致模型過(guò)擬合；hinge損失相對(duì)魯棒。此外，平方損失問(wèn)題總是存在唯一解（若S非空），而hinge損失問(wèn)題可能有多個(gè)解或需要使用數(shù)值方法求解。2.(1)數(shù)學(xué)優(yōu)化模型：最大化（或最小化）表面積A=2πrh+2πr^2約束條件：體積V=πr^2h=1(或h=V/(πr^2)=1/(πr^2))(使用V=1進(jìn)行優(yōu)化)s.t.h