2025年大學(xué)《應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)》專業(yè)題庫——統(tǒng)計學(xué)在風(fēng)險評估中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述描述性統(tǒng)計在風(fēng)險評估中的主要作用。請列舉至少三種常用的描述性統(tǒng)計量，并簡要說明每種統(tǒng)計量在刻畫風(fēng)險特征時的具體含義。二、假設(shè)某銀行對貸款客戶的信用風(fēng)險進(jìn)行評估，收集了100名客戶的貸款余額（萬元）和違約概率（%）數(shù)據(jù)。經(jīng)過分析，發(fā)現(xiàn)貸款余額與違約概率之間存在正線性相關(guān)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)為0.65。請解釋該相關(guān)系數(shù)的意義，并說明其是否可以用于預(yù)測單個客戶的違約概率？為什么？三、為了評估某產(chǎn)品的新舊版本在可靠性方面的差異，隨機抽取了新舊版本各30個產(chǎn)品進(jìn)行壽命測試。得到新舊版本產(chǎn)品的平均壽命分別為10000小時和9500小時，標(biāo)準(zhǔn)差分別為1200小時和1100小時。請設(shè)檢驗水平α=0.05，判斷新舊版本產(chǎn)品的平均壽命是否存在顯著差異？請寫出檢驗的步驟，包括零假設(shè)與備擇假設(shè)、選擇檢驗方法、計算檢驗統(tǒng)計量值、確定拒絕域并做出統(tǒng)計決策。四、某保險公司希望評估不同年齡段（18-30歲，31-45歲，46-60歲）客戶的車輛保險索賠頻率。隨機抽取了1000名客戶，記錄了他們的年齡和是否在一年內(nèi)提出過車輛保險索賠（是=1，否=0）。部分整理后的數(shù)據(jù)如下：*18-30歲年齡段：總?cè)藬?shù)500，索賠人數(shù)60。*31-45歲年齡段：總?cè)藬?shù)300，索賠人數(shù)45。*46-60歲年齡段：總?cè)藬?shù)200，索賠人數(shù)25。請使用卡方檢驗（設(shè)檢驗水平α=0.05），判斷年齡與是否索賠之間是否存在關(guān)聯(lián)性？請寫出檢驗步驟。五、某投資組合包含兩種資產(chǎn)A和B，其預(yù)期收益率分別為12%和8%，標(biāo)準(zhǔn)差分別為15%和10%，兩者之間的相關(guān)系數(shù)為0.4。假設(shè)投資組合中資產(chǎn)A的比例為60%，資產(chǎn)B的比例為40%。請計算該投資組合的預(yù)期收益率和波動率（標(biāo)準(zhǔn)差）。六、某公司生產(chǎn)一種電子元件，為監(jiān)控生產(chǎn)過程的穩(wěn)定性，質(zhì)檢部門每小時隨機抽取5件產(chǎn)品檢測其壽命。假設(shè)元件壽命服從正態(tài)分布，已知標(biāo)準(zhǔn)差σ=50小時。連續(xù)監(jiān)測一周（按100小時計），發(fā)現(xiàn)平均壽命均值為980小時。請使用3σ控制圖判斷生產(chǎn)過程是否穩(wěn)定？請說明判斷依據(jù)。七、某商業(yè)銀行希望建立模型預(yù)測個人貸款的違約損失率（LGD）。他們收集了500個歷史貸款樣本的數(shù)據(jù)，包括貸款金額、借款人收入、信用評分等變量。銀行初步考慮使用多元線性回歸模型，其中因變量為LGD，自變量包括貸款金額（對數(shù)變換）、借款人收入（對數(shù)變換）和信用評分。請說明在使用該回歸模型進(jìn)行風(fēng)險評估時，需要注意哪些統(tǒng)計假設(shè)？如果某個自變量（如信用評分）的回歸系數(shù)估計結(jié)果不顯著，這可能意味著什么？請解釋。八、一家零售企業(yè)擔(dān)心周末銷售額過高導(dǎo)致庫存積壓風(fēng)險。他們收集了過去30個周末的銷售額數(shù)據(jù)。請簡要說明使用時間序列分析方法（如移動平均法或指數(shù)平滑法）評估周末銷售額風(fēng)險時，需要考慮哪些關(guān)鍵因素？與使用回歸模型預(yù)測銷售額風(fēng)險相比，時間序列分析有哪些優(yōu)勢和局限性？試卷答案一、描述性統(tǒng)計通過集中趨勢（如均值、中位數(shù)）和離散程度（如方差、標(biāo)準(zhǔn)差）的度量，能夠直觀地展示風(fēng)險數(shù)據(jù)的基本特征和分布狀況，為風(fēng)險評估提供初步判斷依據(jù)。常用的描述性統(tǒng)計量包括：1.均值（Mean）：反映風(fēng)險指標(biāo)（如損失金額、違約率）的平均水平。但均值易受極端值影響。2.標(biāo)準(zhǔn)差（StandardDeviation）：衡量風(fēng)險指標(biāo)的波動程度或離散大小，標(biāo)準(zhǔn)差越大，風(fēng)險波動越劇烈。3.分位數(shù)（Quantiles,如quartiles）：如四分位數(shù)，可以揭示風(fēng)險分布的不同層級，識別風(fēng)險分布的偏態(tài)和尾部風(fēng)險。這些統(tǒng)計量幫助風(fēng)險管理者了解風(fēng)險的大小、集中度和散布范圍。二、相關(guān)系數(shù)0.65表示貸款余額與違約概率之間存在中等強度的正線性相關(guān)關(guān)系。這意味著通常情況下，貸款余額越高，客戶的違約概率也傾向于越高。但是，相關(guān)系數(shù)僅描述了兩個變量之間的線性關(guān)系強度和方向，并不能建立因果關(guān)系。它不能直接用于預(yù)測單個客戶的違約概率，因為單個客戶的違約受多種復(fù)雜因素影響，且存在隨機性。此外，相關(guān)關(guān)系不等于函數(shù)關(guān)系，無法通過一個變量的值精確推斷另一個變量的值。三、1.零假設(shè)H?：μ?=μ?（兩個總體的平均壽命無顯著差異）備擇假設(shè)H?：μ?≠μ?（兩個總體的平均壽命存在顯著差異）2.選擇檢驗方法：由于比較兩個獨立總體的均值，且總體標(biāo)準(zhǔn)差未知但樣本量較大（n?=30,n?=30），可采用兩獨立樣本t檢驗。3.計算檢驗統(tǒng)計量：*首先計算樣本均值差：??-??=10000-9500=500*計算合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差（s_pooled）或使用各樣本標(biāo)準(zhǔn)差（若假設(shè)方差相等）：這里假設(shè)使用各樣本標(biāo)準(zhǔn)差更直接（注意：嚴(yán)格來說應(yīng)先檢驗方差齊性）。s?=1200,s?=1100。*計算標(biāo)準(zhǔn)誤差（SE）：SE=√[(s?2/n?)+(s?2/n?)]=√[(12002/30)+(11002/30)]=√[48000+41000]/30=√89000/30≈544.31/30≈18.14*計算t統(tǒng)計量：t=(??-??)/SE=500/18.14≈27.544.確定拒絕域并做出決策：*檢驗水平α=0.05，雙側(cè)檢驗，自由度df≈min(n?-1,n?-1)=min(29,29)=29。*查t分布表或使用計算器，t_(0.025,29)≈2.045。*拒絕域為|t|>2.045。*計算得到的t統(tǒng)計量值27.54遠(yuǎn)大于臨界值2.045。*決策：拒絕零假設(shè)H?。有充分證據(jù)表明新舊版本產(chǎn)品的平均壽命存在顯著差異。四、1.零假設(shè)H?：年齡與是否索賠之間無關(guān)聯(lián)性（即不同年齡段的索賠比例相同）。備擇假設(shè)H?：年齡與是否索賠之間有關(guān)聯(lián)性（即不同年齡段的索賠比例不同）。2.計算期望頻數(shù)：*總索賠人數(shù)=60+45+25=130*總未索賠人數(shù)=500+300+200-130=670*期望頻數(shù)E??=(500*130)/1000=65,E??=(500*670)/1000=335*E??=(300*130)/1000=39,E??=(300*670)/1000=201*E??=(200*130)/1000=26,E??=(200*670)/1000=1343.計算檢驗統(tǒng)計量卡方值：*χ2=[(60-65)2/65]+[(335-335)2/335]+[(45-39)2/39]+[(201-201)2/201]+[(25-26)2/26]+[(134-134)2/134]*χ2=[25/65]+[0/335]+[36/39]+[0/201]+[1/26]+[0/134]*χ2≈0.385+0+0.923+0+0.038+0≈1.3464.確定拒絕域并做出決策：*檢驗水平α=0.05，自由度df=(行數(shù)-1)×(列數(shù)-1)=(3-1)×(2-1)=2。*查χ2分布表，χ2_(0.05,2)≈5.991。*拒絕域為χ2>5.991。*計算得到的χ2統(tǒng)計量值1.346小于臨界值5.991。*決策：不拒絕零假設(shè)H?。沒有足夠證據(jù)表明年齡與是否索賠之間存在關(guān)聯(lián)性。五、1.計算投資組合預(yù)期收益率（E(Rp)）：E(Rp)=w?E(R?)+w?E(R?)=0.6×12%+0.4×8%=7.2%+3.2%=10.4%2.計算投資組合波動率（σp）：σp=√[w?2σ?2+w?2σ?2+2w?w?ρ??σ?σ?]σp=√[(0.62×15%2)+(0.42×10%2)+2×0.6×0.4×0.4×15%×10%]σp=√[(0.36×0.0225)+(0.16×0.01)+(2×0.6×0.4×0.4×0.15×0.10)]σp=√[0.0081+0.0016+0.00192]σp=√[0.01162]≈0.1078或10.78%六、使用3σ控制圖判斷生產(chǎn)過程穩(wěn)定性?？刂茍D中心線（CL）為目標(biāo)值或歷史平均值980小時。上控制限（UCL）=CL+3σ=980+3×50=1080小時。下控制限（LCL）=CL-3σ=980-3×50=880小時。判斷依據(jù)是：如果所有樣本點的均值（這里是每小時抽樣的5件產(chǎn)品的平均壽命）均落在控制限內(nèi)，且點之間沒有非隨機模式（如連續(xù)多點在中心線一側(cè)、趨勢上升/下降、異常點等），則認(rèn)為生產(chǎn)過程處于統(tǒng)計控制狀態(tài)，即穩(wěn)定。根據(jù)題目描述，所有監(jiān)測的小時平均值均為980小時，該值在中心線980小時處。雖然題目未給出具體點圖形態(tài)，但若所有點均圍繞中心線波動且無突破界限點，則可判斷過程穩(wěn)定。如果某個點超出控制限，或出現(xiàn)非隨機模式，則表明過程可能存在異常，不穩(wěn)定。七、在使用多元線性回歸模型進(jìn)行LGD風(fēng)險評估時，需要注意以下統(tǒng)計假設(shè)：1.線性關(guān)系假設(shè)：因變量（LGD）與自變量之間呈線性關(guān)系。2.誤差獨立性假設(shè)：模型誤差項ε_i相互獨立。3.同方差性假設(shè)：誤差項ε_i的方差（Var(ε_i)）恒定，不隨自變量值變化。4.正態(tài)性假設(shè)：誤差項ε_i服從正態(tài)分布N(0,σ2)。如果某個自變量（如信用評分）的回歸系數(shù)估計結(jié)果不顯著（p值大于顯著性水平α，如0.05），這可能意味著：1.該自變量對LGD的解釋能力較弱，即信用評分變化對LGD的影響不顯著。2.該自變量與LGD之間可能不存在線性關(guān)系。3.模型中可能存在多重共線性，即該自變量與其他自變量高度相關(guān)，導(dǎo)致其系數(shù)估計不穩(wěn)定且不顯著。4.樣本量不足或測量誤差可能導(dǎo)致無法檢測到顯著關(guān)系。八、使用時間序列分析方法（如移動平均法或指數(shù)平滑法）評估周末銷售額風(fēng)險時，需要考慮以下關(guān)鍵因素：1.數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性：時間序列是否存在趨勢、季節(jié)性或周期性波動，可能需要差分或季節(jié)調(diào)整使其平穩(wěn)。2.模型選擇：根據(jù)數(shù)據(jù)特性（如平滑度、趨勢性）選擇合適的模型（簡單移動平均、加權(quán)