2025年大學(xué)《統(tǒng)計學(xué)》專業(yè)題庫——因子分析與主成分分析在統(tǒng)計學(xué)專業(yè)的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.下列關(guān)于主成分分析的說法中，正確的是（）。A.主成分分析能夠完全保留原始變量的所有信息。B.主成分分析的主要目的是發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的潛在因子結(jié)構(gòu)。C.主成分的方向是原始變量協(xié)方差（或相關(guān)）矩陣的特征向量。D.主成分分析適用于處理多變量數(shù)據(jù)中的多重共線性問題。2.在因子分析的初始因子載荷矩陣中，若某個變量對所有因子的載荷都接近于零，則說明（）。A.該變量與所有因子都有很強的線性關(guān)系。B.該變量本身的信息無法被任何因子很好地解釋。C.該變量是所有因子的公共度的貢獻者。D.需要對因子進行正交旋轉(zhuǎn)來改善該變量的載荷。3.確定主成分個數(shù)時常用的方法是（）。A.因子載荷法。B.累計貢獻率法。C.公共度法。D.特征值法。4.進行因子分析時，要求樣本量通常不應(yīng)少于（）。A.10。B.20。C.30。D.50。5.因子分析中，進行因子旋轉(zhuǎn)的目的是（）。A.提高因子模型的解釋力。B.增加因子的數(shù)量。C.使因子更具可解釋性。D.改善因子得分計算。二、填空題6.主成分分析是通過對原始變量進行線性組合，產(chǎn)生一組新的互不相關(guān)的變量的多元統(tǒng)計技術(shù)，新變量稱為__________，其方向是原始變量協(xié)方差（或相關(guān)）矩陣的最大特征值對應(yīng)的特征向量。7.因子分析的核心目標(biāo)是識別數(shù)據(jù)中能解釋多個原始變量變異性的潛在結(jié)構(gòu)，這些潛在結(jié)構(gòu)被稱為__________。8.因子載荷表示原始變量與__________之間的相關(guān)程度。9.在因子分析中，__________衡量了每個原始變量被所有因子共同解釋的方差比例。10.因子分析中常用的旋轉(zhuǎn)方法有__________和__________。三、簡答題11.簡述主成分分析的基本思想及其主要優(yōu)點。12.簡述因子分析與主成分分析的主要區(qū)別。13.在什么情況下，使用主成分分析比使用因子分析更合適？四、計算題14.假設(shè)通過計算得到某四個變量X1,X2,X3,X4的相關(guān)矩陣為：```ρ=|1.000.600.700.50||0.601.00-0.400.30||0.70-0.401.000.60||0.500.300.601.00|```試計算第一主成分的系數(shù)（線性組合系數(shù)）及其方差貢獻率（假定相關(guān)矩陣為協(xié)方差矩陣）。請解釋第一主成分可能代表的實際意義。15.某因子分析得到初始因子載荷矩陣（未旋轉(zhuǎn)）如下（部分?jǐn)?shù)據(jù)）：```變量F1F2X10.750.25X20.400.65X30.650.45X40.300.80X50.55-0.35```請問F1和F2可能分別代表什么？請說明理由。如果要求因子相互正交，你會建議采用哪種旋轉(zhuǎn)方法？為什么？五、解釋與分析題16.假設(shè)對某大學(xué)學(xué)生的幾個學(xué)習(xí)相關(guān)指標(biāo)（如：學(xué)習(xí)時間、出勤率、平時成績、期末成績）進行了主成分分析，得到如下主成分信息：*第一主成分：方差貢獻率60%，主要成分由“學(xué)習(xí)時間”和“期末成績”貢獻較大。*第二主成分：方差貢獻率25%，主要成分由“出勤率”和“平時成績”貢獻較大。請解釋這兩個主成分可能代表的含義。17.在一項市場調(diào)查中，研究者收集了消費者對某品牌手機的幾個評價維度數(shù)據(jù)（如：外觀設(shè)計、性能、價格、售后服務(wù)、易用性），并進行了因子分析（采用主成分法提取因子，進行了方差最大化正交旋轉(zhuǎn)）。得到的因子載荷矩陣（部分?jǐn)?shù)據(jù)）如下：```變量F1F2外觀設(shè)計0.850.00性能0.400.78價格-0.700.20售后服務(wù)0.150.65易用性0.600.55```請解釋F1和F2可能分別代表哪些評價維度的組合？因子分析在此研究中有何價值？---試卷答案一、選擇題1.C2.B3.B4.C5.C二、填空題6.主成分7.公因子(或潛在因子)8.公因子(或潛在因子)9.公共度10.Varimax方差最大化旋轉(zhuǎn)(或正交旋轉(zhuǎn))三、簡答題11.基本思想：通過線性變換將原始的、可能相關(guān)的變量組合成一組新的、互不相關(guān)的綜合變量（主成分），這些新變量盡可能多地保留原始變量的變異信息。主要優(yōu)點：*降維：在減少變量的同時，盡可能保留原始數(shù)據(jù)的信息量，簡化數(shù)據(jù)分析。*消除共線性：新的主成分之間不相關(guān)，可以用于后續(xù)需要變量間獨立性假設(shè)的統(tǒng)計方法（如回歸分析）。*數(shù)據(jù)簡化：有助于識別數(shù)據(jù)中的主要變異方向。12.區(qū)別：*目標(biāo)不同：主成分分析旨在降維，保留數(shù)據(jù)變異信息；因子分析旨在解釋原始變量變異中由潛在共同因素（公因子）引起的部分。*輸出不同：主成分分析輸出的是主成分及其系數(shù)和方差貢獻率；因子分析輸出的是因子載荷、因子旋轉(zhuǎn)結(jié)果、因子得分的估計方法及因子解釋。*解釋不同：主成分是原始變量的線性組合，其本身可能缺乏直接解釋；因子通常被解釋為潛在的構(gòu)念或結(jié)構(gòu)。*計算方法不同：主成分分析基于協(xié)方差（或相關(guān)）矩陣的特征值和特征向量；因子分析有多種估計方法（如主成分法、最大似然法等）。13.使用主成分分析更合適的情況：*當(dāng)主要目的是數(shù)據(jù)降維，以簡化后續(xù)分析或可視化時。*當(dāng)原始變量間存在較強的相關(guān)性，但研究者不關(guān)心這些變量背后的潛在結(jié)構(gòu)或構(gòu)念時。*當(dāng)需要構(gòu)造一個綜合指標(biāo)來代表一組高度相關(guān)的變量，且指標(biāo)的有效性主要取決于其能解釋的原始變量的總變異時。*當(dāng)多重共線性問題是主要關(guān)注點，而數(shù)據(jù)潛在結(jié)構(gòu)并不需要深入探究時。四、計算題14.解：*計算相關(guān)矩陣的特征值和特征向量（此處假設(shè)已計算得到，實際計算過程略）：*特征值λ1≈2.39,λ2≈1.14,λ3≈0.29,λ4≈0.18*對應(yīng)的特征向量（單位化后）：*v1≈(0.447,0.243,0.447,0.243)T*v2≈(0.243,-0.873,0.243,0.873)T*v3≈(-0.816,-0.065,0.577,0.816)T*v4≈(0.000,0.408,-0.816,0.408)T*第一主成分的系數(shù)（線性組合系數(shù)）為v1：*a1=0.447,a2=0.243,a3=0.447,a4=0.243*第一主成分的方差貢獻率為λ1/(sum(λ))：*總特征值和=2.39+1.14+0.29+0.18=4.00*方差貢獻率=2.39/4.00=0.5975≈0.598(保留三位小數(shù))*解釋：第一主成分是原始變量X1,X2,X3,X4的線性組合：0.447*X1+0.243*X2+0.447*X3+0.243*X4。它解釋了原始變量總變異的59.85%。系數(shù)表明X1和X3對第一主成分的貢獻最大。這個主成分可能代表了一個綜合反映變量X1和X3信息的維度，例如可能代表了某種“能力”或“態(tài)度”的綜合指標(biāo)。15.解：*F1解釋：F1在變量X1、X3上有較高載荷（0.75,0.65），在變量X4、X5上有中等載荷（0.30,0.55），在變量X2上有較低載荷（0.40）。結(jié)合變量含義（假設(shè)X1-X5分別為學(xué)習(xí)時間、出勤率、平時成績、期末成績、課堂參與度），F(xiàn)1可能代表“學(xué)業(yè)成就/努力”因子，因為它與反映學(xué)業(yè)表現(xiàn)的X1（學(xué)習(xí)時間）、X3（平時成績）和X4（期末成績）正相關(guān)。*F2解釋：F2在變量X2（出勤率）、X4（期末成績）、X5（課堂參與度）上有較高載荷（0.65,0.80,0.55），在變量X1（學(xué)習(xí)時間）、X3（平時成績）上有較低載荷。F2可能代表“參與度/表現(xiàn)”因子，因為它與反映學(xué)習(xí)參與和最終表現(xiàn)（期末成績）的X2、X4、X5正相關(guān)，但與學(xué)習(xí)投入時間X1、平時成績X3關(guān)聯(lián)較弱。*旋轉(zhuǎn)建議：題目要求因子相互正交，即要求因子之間不相關(guān)。因子分析中，默認(rèn)的旋轉(zhuǎn)方法（如最大似然法）得到的因子往往是相關(guān)的。為了獲得正交的因子結(jié)構(gòu)，必須進行正交旋轉(zhuǎn)。常用的正交旋轉(zhuǎn)方法包括Varimax（方差最大化旋轉(zhuǎn)）和Promax（斜旋轉(zhuǎn)，但結(jié)果理論上可正交化）。Varimax旋轉(zhuǎn)能將因子結(jié)構(gòu)簡化，使每個因子上的載荷更集中，得到更“純粹”的因子，且旋轉(zhuǎn)后因子仍保持正交。因此，推薦采用Varimax方差最大化旋轉(zhuǎn)。選擇Varimax是因為它直接滿足“正交”的要求，并有助于解釋性。五、解釋與分析題16.解：*第一主成分：貢獻率60%，主要成分是“學(xué)習(xí)時間”和“期末成績”。這表明這兩個變量共同解釋了該數(shù)據(jù)集中大部分的變異。該主成分可能代表了學(xué)生的“整體學(xué)業(yè)表現(xiàn)或投入度”，其中“期末成績”是核心指標(biāo)，“學(xué)習(xí)時間”作為重要貢獻者，暗示了學(xué)習(xí)時間可能與期末成績正相關(guān)，或者共同指向了一種有效的學(xué)習(xí)投入模式。*第二主成分：貢獻率25%，主要成分是“出勤率”和“平時成績”。該主成分解釋了剩余變異的一部分。它可能代表了學(xué)生的“學(xué)習(xí)習(xí)慣或過程表現(xiàn)”，其中“出勤率”反映了課堂參與，“平時成績”反映了持續(xù)的努力或課堂學(xué)習(xí)效果。這兩個變量共同作用，可能區(qū)分了那些課堂參與度高且平時表現(xiàn)好的學(xué)生。*總結(jié)：兩個主成分可能將學(xué)生的學(xué)業(yè)表現(xiàn)分解為兩個主要方面：一是最終的學(xué)業(yè)成就（由學(xué)習(xí)時間和期末成績共同代表），二是學(xué)習(xí)過程中的參與和持續(xù)表現(xiàn)（由出勤率和平時成績共同代表）。17.解：*F1解釋：F1在變量“外觀設(shè)計”上具有非常高載荷（0.85），而在其他變量上載荷很小或接近于零。這表明F1主要是由“外觀設(shè)計”這一個維度驅(qū)動的因子。因此，F(xiàn)1可以解釋為“外觀偏好”因子。高載荷說明消費者對“外觀設(shè)計”的評價差異主要可以用F1來解釋。*F2解釋：F2在變量“性能”上具有非常高載荷（0.78），在變量“售后服務(wù)”上有中等載荷（0.65），在變量“易用性”上也有中等載荷（0.55），但在“價格”上有負(fù)載荷（-0.20）。這表明F2主要反映了產(chǎn)品的內(nèi)在質(zhì)量和用戶體驗。高載荷的“性能”和“售后服務(wù)”指向產(chǎn)品的核心功能和保障，“易用性”也屬于用戶體驗范疇。負(fù)載荷的“價格”說明，對于這個特定的F2因子，較高的“性能”、“售后服務(wù)”和“易用性”可能伴隨著相對較高的價格預(yù)期，或者價格是這些高質(zhì)量屬性的一個衡量標(biāo)準(zhǔn)（盡管是反向關(guān)系）。因此，F(xiàn)2可以解釋為“產(chǎn)品價值/質(zhì)量體驗”因子。*因子分析價值：該因子分析有助于市場研究者理解消費者評價的潛在維度。通過提取出