2025年大學《統(tǒng)計學》專業(yè)題庫——線性判別分析與最優(yōu)分類器理論考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述線性判別分析（LDA）的基本思想和目標。在應用LDA進行分類前，通常需要滿足哪些重要的基本假設？請解釋這些假設對LDA模型構建的意義。二、設一個二維數(shù)據(jù)集包含兩個類別C1和C2，每個類別各有n1和n2個樣本。已知類別C1的均值向量為μ1，協(xié)方差矩陣為Σ1；類別C2的均值向量為μ2，協(xié)方差矩陣為Σ2。請寫出總散布矩陣S_W和類間散布矩陣S_B的計算公式。在計算Fisher線性判別函數(shù)的投影方向w時，其目標是什么？該方向向量w應滿足什么樣的方程？三、在貝葉斯分類框架下，最優(yōu)分類器的決策規(guī)則是什么？請用后驗概率p(ωi|x)和先驗概率π(i)的表達式，推導出二分類問題（類別為0和1）的貝葉斯決策規(guī)則。假設兩類樣本服從多元正態(tài)分布N(μ0,Σ)和N(μ1,Σ)，且先驗概率相等（π(0)=π(1)=0.5），請寫出基于馬氏距離的最優(yōu)分類規(guī)則。四、定義虛警率（FalseAlarmRate,P_FA）和漏報率（FalseMissRate,P_MF）。對于一個給定的分類決策規(guī)則，其對應的貝葉斯錯誤率（BayesianErrorRate,BER）如何計算？哈特曼-韋克斯勒不等式（Hartmann-WeisslerBound）的內(nèi)容是什么？它說明了什么？五、Fisher線性判別分析（LDA）在什么條件下可以被認為是貝葉斯最優(yōu)分類器？請解釋原因。如果樣本不滿足LDA的類協(xié)方差矩陣相等的假設，通常會采用什么方法進行改進？該方法的基本思想是什么？六、比較貝葉斯分類器與最小錯誤分類率（MinimumClassificationError,MCE）分類器。在何種理想條件下，兩者是等價的？在現(xiàn)實應用中，尤其是在處理多類問題時，實現(xiàn)MCE最優(yōu)分類器通常面臨什么挑戰(zhàn)？七、已知某分類問題中有三個類別，分別為A、B和C。請分別寫出基于貝葉斯決策理論的最優(yōu)分類規(guī)則的表達式（要求寫出計算后驗概率所需的要素）。如果在計算過程中發(fā)現(xiàn)某類別的似然函數(shù)值非常接近于零，這對分類決策可能產(chǎn)生什么影響？請解釋。八、設線性判別分析（LDA）用于對二維數(shù)據(jù)進行分類。請解釋Fisher線性判別函數(shù)（FisherLinearDiscriminantFunction,FLDF）的幾何意義。給定一個待分類的樣本點x，如何利用FLDF對其進行分類？如果計算得到的FLDF值等于零，這通常意味著什么？試卷答案一、線性判別分析（LDA）的基本思想是通過投影將原始特征空間中的數(shù)據(jù)映射到一個新的特征空間（通常是低維空間），使得投影后同類樣本點盡可能靠近（類內(nèi)離散度最小），不同類樣本點盡可能遠離（類間離散度最大）。其目標是為不同類別找到一個最優(yōu)的分離超平面，以實現(xiàn)有效的分類。應用LDA前通常需要滿足以下基本假設：1.各類別樣本服從多元正態(tài)分布。2.各類別的協(xié)方差矩陣相等（即類間協(xié)方差矩陣為S_B，類內(nèi)協(xié)方差矩陣為S_W=Σi）。這些假設對LDA模型構建的意義在于：它們是推導Fisher線性判別函數(shù)和保證LDA在理論上（特別是當真實分布滿足這些假設時）達到最優(yōu)或近似最優(yōu)分類性能的基礎。違反這些假設會導致模型性能下降或結果不可靠。二、總散布矩陣S_W和類間散布矩陣S_B的計算公式如下：總散布矩陣：S_W=ΣiΣni(xi-μi)(xi-μi)T，其中μi是第i類的均值向量，xi是第i類的樣本點，Σni是第i類的樣本數(shù)量。類間散布矩陣：S_B=Σni(μi-μ)(μi-μ)T，其中μ是所有樣本的總體均值向量，μi是第i類的均值向量。在計算Fisher線性判別函數(shù)的投影方向w時，其目標是在投影后最大化類間散布矩陣與類內(nèi)散布矩陣的比值（或等價地，最小化類內(nèi)散布，最大化類間散布），即最大化(wTS_Bw)/(wTS_Ww)。該方向向量w應滿足以下特征方程：S_Ww=λS_Bw，其中λ是S_W^(-1)S_B的特征值，w是相應的特征向量。三、在貝葉斯分類框架下，最優(yōu)分類器的決策規(guī)則是選擇后驗概率最大的類別，即對于待分類樣本x，如果p(ωi|x)>p(ωj|x)對所有j≠i成立，則將x分類到類別ωi。二分類問題（類別為0和1）的貝葉斯決策規(guī)則推導如下：決策規(guī)則：如果p(ω0|x)/p(ω1|x)>1，則判定x∈ω0；否則判定x∈ω1。根據(jù)貝葉斯定理，p(ωi|x)=[p(x|ωi)π(i)]/p(x)。由于p(x)對決策無影響，比較p(ωi|x)的大小等價于比較[p(x|ωi)π(i)]的大小。因此，決策規(guī)則可寫為：如果[p(x|ω0)π(0)]/[p(x|ω1)π(1)]>1，則x∈ω0；否則x∈ω1。假設兩類樣本服從多元正態(tài)分布N(μ0,Σ)和N(μ1,Σ)，且先驗概率相等（π(0)=π(1)=0.5），則似然函數(shù)p(x|ωi)∝|Σi|^(-1/2)exp[-0.5(x-μi)TΣi^(-1)(x-μi)]。由于Σ相同，可以忽略常數(shù)項和|Σ|^(-1/2)，比較的條件變?yōu)椋篬π(0)/π(1)]*exp[-0.5(x-μ0)TΣ^(-1)(x-μ0)]/exp[-0.5(x-μ1)TΣ^(-1)(x-μ1)]>1由于π(0)=π(1)，簡化為exp[-0.5(x-μ0)TΣ^(-1)(x-μ0)]>exp[-0.5(x-μ1)TΣ^(-1)(x-μ1)]兩邊取對數(shù)，得到(x-μ0)TΣ^(-1)(x-μ0)<(x-μ1)TΣ^(-1)(x-μ1)定義馬氏距離平方d(x,ωi)=(x-μi)TΣ^(-1)(x-μi)，則決策規(guī)則為：如果d(x,ω0)<d(x,ω1)，則x∈ω0；否則x∈ω1。這等價于尋找一個超平面，使得超平面一側(cè)的樣本主要來自ω0，另一側(cè)主要來自ω1。四、虛警率（FalseAlarmRate,P_FA）：當樣本真實類別為負類（假設為類別0）時，錯誤地將其分類為正類（假設為類別1）的概率。計算公式為P_FA=P(ω1|x∈ω0)。漏報率（FalseMissRate,P_MF）：當樣本真實類別為正類（假設為類別1）時，錯誤地將其分類為負類（假設為類別0）的概率。計算公式為P_MF=P(ω0|x∈ω1)。對于一個給定的分類決策規(guī)則，其對應的貝葉斯錯誤率（BayesianErrorRate,BER）是樣本被錯誤分類的總概率，即BER=P(錯誤分類)=P(ω1|x∈ω0)+P(ω0|x∈ω1)=P_FA+P_MF。哈特曼-韋克斯勒不等式（Hartmann-WeisslerBound）的內(nèi)容是：對于任意給定的分類決策規(guī)則，其貝葉斯錯誤率BER總是大于或等于虛警率P_FA和漏報率P_MF的最小值，即BER≥min(P_FA,P_MF)。它說明了任何分類器的性能（以貝葉斯錯誤率衡量）都不可能優(yōu)于其虛警率和漏報率中的較小者，這個較小者可以被視為該分類問題的一個理論性能下限。五、Fisher線性判別分析（LDA）在以下條件下可以被認為是貝葉斯最優(yōu)分類器：當所有類別樣本都服從多元正態(tài)分布，并且各類別的協(xié)方差矩陣相等時。原因在于，在這些理想條件下，F(xiàn)isher線性判別函數(shù)找到的投影方向能夠使得投影后的類內(nèi)散布最小，類間散布最大，從而使得基于后驗概率比（或馬氏距離）的貝葉斯決策規(guī)則達到最優(yōu)，其錯誤率正好等于哈特曼-韋克斯勒不等式給出的下界。如果樣本不滿足LDA的類協(xié)方差矩陣相等的假設，通常會采用馬氏判別分析（MahalanobisDiscriminantAnalysis,MDA）或稱為一般判別分析（GeneralDiscriminantAnalysis,GDA）進行改進。該方法的基本思想是放棄類協(xié)方差矩陣相等的假設，分別計算或估計每一類的協(xié)方差矩陣，然后使用類似LDA的方法構建判別函數(shù)，但這里的投影方向會因類而異，或者采用其他更復雜的非線性方法來處理協(xié)方差矩陣的差異。六、貝葉斯分類器是基于樣本的后驗概率進行分類，其目標是使分類錯誤的風險（通常用期望損失或錯誤率表示）最小化。最小錯誤分類率（MCE）分類器直接以最小化分類錯誤次數(shù)（或錯誤率）為目標進行分類。在理想條件下，即當先驗概率、類條件密度函數(shù)以及損失函數(shù)都已知且滿足特定條件時（例如，對于連續(xù)數(shù)據(jù)，類條件密度為正態(tài)分布且協(xié)方差矩陣已知，且允許無限小的損失），貝葉斯分類器確實能達到最小錯誤分類率。此時，貝葉斯分類器選擇后驗概率最大的類別，就等同于選擇了在零損失下錯誤率最小的類別。在現(xiàn)實應用中，實現(xiàn)MCE最優(yōu)分類器通常面臨以下挑戰(zhàn)：1.類條件密度函數(shù)形式未知或難以確定：現(xiàn)實世界的數(shù)據(jù)往往不滿足多元正態(tài)分布等假設。2.參數(shù)估計困難：即使假設了某種分布形式，也需要大量的樣本來準確估計其參數(shù)（如均值和協(xié)方差），尤其是在高維情況下，可能出現(xiàn)維數(shù)災難。3.計算復雜度高：計算所有樣本點的后驗概率可能非常耗時，特別是對于高維數(shù)據(jù)或復雜的密度函數(shù)。4.損失函數(shù)選擇困難：理想的損失函數(shù)往往未知，通常采用等錯誤率（EqualErrorRate,EER）或最小錯誤率（MinimumErrorRate,MER）作為次優(yōu)目標，但這并不等同于嚴格的最小錯誤分類率。七、基于貝葉斯決策理論的最優(yōu)分類規(guī)則是：對于待分類樣本x，計算其屬于每個類別的后驗概率p(ωi|x)，然后選擇后驗概率最大的類別，即選擇ω=argmax_ip(ωi|x)。對于三個類別A、B和C，最優(yōu)分類規(guī)則的表達式為：如果p(A|x)>p(B|x)且p(A|x)>p(C|x)，則x∈A；如果p(B|x)>p(A|x)且p(B|x)>p(C|x)，則x∈B；如果p(C|x)>p(A|x)且p(C|x)>p(B|x)，則x∈C。如果在計算過程中發(fā)現(xiàn)某類別的似然函數(shù)值p(x|ωi)非常接近于零，這會導致該類別的后驗概率p(ωi|x)[∝p(x|ωi)π(i)]也非常?。ǔ瞧渌悇e的先驗概率或似然值也極?。＿@通常意味著：1.分類器傾向于將樣本歸入其他類別：樣本x很可能被錯誤地分類到似然值更大或后驗概率更接近最大的其他類別。2.模型對異常值或極端樣本敏感：如果該類別的真實樣本在x所在區(qū)域非常稀少，其密度函數(shù)在該點的值本身就可能很小。3.決策邊界可能不穩(wěn)定：由于某一類別的判別力（似然貢獻）極弱，微小的變化可能導致分類決策發(fā)生劇烈改變。這表明該類別的樣本分布可能非常集中，或者模型參數(shù)的估計存在問題。八、Fisher線性判別函數(shù)（FLDF）的幾何意義是：它衡量了待分類樣本點x在投影方向w上的位置。對于二維數(shù)據(jù)，w是一個垂直于類間散布方向（即各類重心連線方向）的單位向量，指向類重心差異最大的方向。FLDF的值可以看作是樣本點x在以w為方向的“Fisher線”上的坐標（或距離）。正值通常表示樣本點傾向于屬于FLDF較大的那一類（根據(jù)其計算方式），負值則傾向于屬于另一類。給定一個待分類的樣本點x，利用FLDF進行分類的步驟通常是：1.計算LDA得到的Fisher線性判別函數(shù)（FLDF）的表達式f(x)=wTx+w0（其中w是投影方向向量，w0是常數(shù)項）。2.計算樣本點x的FLDF值f(x)。3.將f(x)與零進行比較：如果f(x)>0，則根據(jù)FLDF的構