2025年大學(xué)《應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)》專業(yè)題庫——貝葉斯統(tǒng)計與參數(shù)估計考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述貝葉斯統(tǒng)計的基本觀點，并說明它與經(jīng)典統(tǒng)計推斷的主要區(qū)別。二、設(shè)總體X服從均勻分布U(θ,θ+2)，其中θ未知，假設(shè)關(guān)于θ的先驗分布為U(0,10)，現(xiàn)獲得樣本觀測值x1,x2,...,xn，樣本獨立同分布。寫出θ的后驗分布的表達式。三、已知總體X的密度函數(shù)為f(x|θ)=θx^(θ-1),0<x<1,θ>0。假設(shè)θ的先驗分布為Gamma分布Ga(α,β)，即f(θ)=θ^(α-1)*(β/Γ(α))*exp(-βθ),θ>0。求θ的后驗分布。四、在習(xí)題三中，假設(shè)觀測到樣本x1=0.3,x2=0.7,x3=0.4(n=3)。若取先驗分布參數(shù)α=2,β=1，計算θ的后驗均值（貝葉斯估計量的一種）。五、設(shè)總體X~N(μ,σ^2)，σ^2已知。假設(shè)μ的先驗分布為N(0,τ^2)，即f(μ)=(1/sqrt(2πτ^2))*exp(-μ^2/(2τ^2))。獲得樣本x1,x2,...,xn，樣本獨立同分布。求μ的后驗分布。六、在習(xí)題五中，若σ^2=4，n=25，樣本均值為bar{x}，先驗參數(shù)τ=2。寫出μ的后驗分布的表達式，并求出μ的無偏貝葉斯估計量（后驗均值）。七、解釋什么是共軛先驗分布。舉例說明在什么情況下正態(tài)分布參數(shù)（均值未知，方差已知）的似然函數(shù)與先驗分布的共軛是什么分布。八、設(shè)總體X~Poisson(λ)，其中λ未知。假設(shè)λ的先驗分布為Gamma分布Ga(a,b)，即f(λ)=λ^(a-1)*(b^a/Γ(a))*exp(-bλ),λ>0。獲得樣本x1,x2,...,xn，樣本獨立同分布。證明λ的后驗分布仍然是Gamma分布，并寫出其參數(shù)。九、某項研究表明，某種疾病的患病率θ可能較低。研究者假設(shè)θ的先驗分布為Beta分布B(1,20)，即f(θ)=θ^0*(1-θ)^(20-1),0<θ<1。后來進行了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)隨機抽取的100人中有3人患病。根據(jù)此樣本信息，求θ的后驗均值。十、解釋貝葉斯風(fēng)險R(θ,δ貝葉斯)的定義。在比較貝葉斯估計量與矩估計量（如最大似然估計量）的優(yōu)劣時，通?？紤]哪個貝葉斯統(tǒng)計量？為什么？試卷答案一、貝葉斯統(tǒng)計認為參數(shù)是未知的隨機變量，并存在一個先驗分布來描述對其狀態(tài)的信念。統(tǒng)計推斷的目標是更新這種信念，得到后驗分布。貝葉斯推斷直接結(jié)合先驗信息和樣本信息得出后驗分布，從而做出推斷。經(jīng)典統(tǒng)計推斷（頻率派）通常假設(shè)參數(shù)是固定的未知常數(shù)，推斷基于樣本頻率性質(zhì)，關(guān)注點在于估計量或檢驗的長期行為（如一致性、漸近分布），而不直接賦予參數(shù)概率分布。二、由貝葉斯定理，后驗分布正比于似然函數(shù)乘以先驗分布。似然函數(shù)L(θ|x1,...,xn)=Πf(x_i|θ)=θ^(n*θ-1)*(Πx_i)^(θ-1)=θ^(n*θ-1)*(Πx_i)^(θ-1)。先驗分布f(θ)=(1/10)θ^1*exp(-θ/10)。后驗分布f(θ|X)∝L(θ|x1,...,xn)*f(θ)=θ^(n*θ-1)*(Πx_i)^(θ-1)*θ^1*exp(-θ/10)=θ^(n*θ)*(Πx_i)^(θ-1)*exp(-θ/10)。令c=(Πx_i)^(θ-1)，則f(θ|X)∝θ^(n*θ)*exp(-θ/10)。這是形如Γ(α,β)的密度函數(shù)，其中α=n+1，β=1/10。所以θ|X~Gamma(n+1,1/10)。三、同樣應(yīng)用貝葉斯定理，后驗分布正比于似然函數(shù)乘以先驗分布。似然函數(shù)L(θ|x1,...,xn)=Πθ*(x_i)^(θ-1)=θ^(n*θ)*(Πx_i)^(n*θ-1)。先驗分布f(θ)=θ^(α-1)*(β/Γ(α))*exp(-βθ)。后驗分布f(θ|X)∝L(θ|x1,...,xn)*f(θ)=θ^(n*θ)*(Πx_i)^(n*θ-1)*θ^(α-1)*(β/Γ(α))*exp(-βθ)=θ^(n*θ+α-1)*(β/Γ(α))*(Πx_i)^(n*θ-1)*exp(-βθ)。令c=(β/Γ(α))*(Πx_i)^(n*θ-1)，則f(θ|X)∝θ^(n*θ+α-1)*exp(-βθ)。這是形如Gamma(α+n,β)的密度函數(shù)。所以θ|X~Gamma(α+n,β)。四、由習(xí)題三知，θ|X~Gamma(α+n,β)。貝葉斯估計量通常取后驗均值。后驗均值E[θ|X]=(α+n)/β。將α=2,β=1,n=3代入，E[θ|X]=(2+3)/1=5。五、由貝葉斯定理，后驗分布正比于似然函數(shù)乘以先驗分布。似然函數(shù)L(μ|X)∝Π(1/sqrt(2πσ^2))*exp(-(x_i-μ)^2/(2σ^2))=(1/(sqrt(2πσ^2))^n)*exp(-1/(2σ^2)*Σ(x_i-μ)^2)。先驗分布f(μ)=(1/sqrt(2πτ^2))*exp(-μ^2/(2τ^2))。后驗分布f(μ|X)∝L(μ|X)*f(μ)=exp(-1/(2σ^2)*Σ(x_i-μ)^2)*exp(-μ^2/(2τ^2))=exp(-1/(2σ^2)*[Σx_i^2-2μΣx_i+nμ^2])*exp(-1/(2τ^2)*μ^2)。合并指數(shù)項：=exp(-[1/(2σ^2)*Σx_i^2-2μ(Σx_i)/n+nμ^2/(2σ^2)+μ^2/(2τ^2)])=exp(-[1/(2σ^2)*Σx_i^2-(μ^2*[n/(2σ^2)+1/(2τ^2)])+μ*(2(Σx_i)/n)])。令A(yù)=Σx_i^2/n，B=Σx_i/n，C=n/(2σ^2)+1/(2τ^2)。則后驗分布f(μ|X)∝exp(-[A+μ^2*C-2μB])。這是形如N(μ后,τ后^2)的密度函數(shù)，其中μ后=-(-2B)/(2C)=B/C=(Σx_i/n)/[n/(2σ^2)+1/(2τ^2)]=(2σ^2*bar{x})/(nσ^2+τ^2)，τ后^2=1/C=1/[n/(2σ^2)+1/(2τ^2)]=(2σ^2τ^2)/(nσ^2+τ^2)。所以μ|X~N((2σ^2*bar{x})/(nσ^2+τ^2),(2σ^2τ^2)/(nσ^2+τ^2))。六、由習(xí)題五的結(jié)果，已知μ|X~N((2*4*bar{x})/(25*4+4),(2*4*2^2)/(25*4+4))，即μ|X~N((8bar{x})/(100+4),(16*4)/(100+4))，μ|X~N((8bar{x})/104,64/104)，μ|X~N((2bar{x})/26,16/26)。貝葉斯估計量通常取后驗均值。后驗均值E[μ|X]=(2bar{x})/26。七、共軛先驗分布是指選擇一個先驗分布，使得在給定似然函數(shù)的條件下，后驗分布與先驗分布屬于同一概率分布族。例如，在正態(tài)分布參數(shù)μ的估計問題中，若總體X~N(μ,σ^2)，σ^2已知，似然函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)。如果選擇μ的先驗分布為正態(tài)分布，即μ~N(μ0,τ^2)，那么根據(jù)貝葉斯定理推導(dǎo)（類似于習(xí)題五的過程），可以證明μ的后驗分布仍然是正態(tài)分布N(μ貝,τ后^2)，其中μ貝和τ后^2由先驗參數(shù)μ0,τ^2和樣本信息（樣本均值bar{x}）決定。因此，正態(tài)分布的先驗與正態(tài)似然函數(shù)構(gòu)成共軛，其共軛先驗是正態(tài)分布。八、由習(xí)題三知，Poisson分布的似然函數(shù)形式為θ^(n*θ)*(Πx_i)^(-n*θ)。先驗分布為Gamma(a,b)。后驗分布f(θ|X)∝L(θ|x1,...,xn)*f(θ)=θ^(n*θ)*(Πx_i)^(-n*θ)*θ^(a-1)*(b^a/Γ(a))*exp(-bθ)=θ^(n*θ+a-1)*(b^a/Γ(a))*(Πx_i)^(-n*θ)*exp(-bθ)。令c=(b^a/Γ(a))*(Πx_i)^(-n*θ)，則f(θ|X)∝θ^(n*θ+a-1)*exp(-bθ)。令α'=n*α+n，β'=b。則f(θ|X)∝θ^(α'θ-1)*exp(-β'θ)。這是形如Gamma(α',β')的密度函數(shù)。所以θ|X~Gamma(α'+n,β')=Gamma(nα+n,b)。九、θ的先驗分布為Beta(1,20)。樣本信息：n=100,觀測到的患病人數(shù)k=3。這相當(dāng)于從Beta分布中抽取了一個樣本，樣本量為n=100，其中成功次數(shù)k=3。根據(jù)Beta分布的再生性質(zhì)，如果X1,...,Xn是來自Beta(a,b)分布的獨立同分布樣本，那么ΣX_i~Beta(na,nb)。因此，θ的后驗分布為Beta(na+k,nb+n-k)。代入a=1,b=20,n=100,k=3，后驗分布為Beta(1*100+3,20*100+100-3)=Beta(103,1977)。后驗均值E[θ|X]=α'/(α'+β')=na+k/(na+k+nb+n-k)=(nα+k)/(nα+nβ+n)。代入數(shù)值：E[θ|X]=(100*1+3)/(100*1+100*20+100)=103/(100+2000+100)=103/2200。計算結(jié)果：103/2200=0.036818...。十、貝葉斯風(fēng)險R(θ,δ貝葉斯)是指對于給定的參數(shù)真值θ和貝葉斯估計量δ貝葉斯，損失函數(shù)L(θ,δ貝葉斯)的期望值，即R(θ,δ貝葉斯)=E_θ[L(θ,δ貝葉斯)]。它衡量了貝葉斯估計量在所有可能的參數(shù)值θ下的平均損失。在比較貝葉斯估計量（如后驗均值）與矩估計量（如MLE）或經(jīng)典估計