2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)考研多元統(tǒng)計(jì)分析專項(xiàng)（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共10分。請將答案填寫在答題紙上對應(yīng)位置）1.設(shè)X=(X?,X?,...,Xp)?是p維隨機(jī)向量，E(X)=μ=(μ?,μ?,...,μp)?，C為X的協(xié)方差矩陣。則統(tǒng)計(jì)量(X-μ)?C?1(X-μ)服從F分布的前提條件是（）。A.X服從多元正態(tài)分布B.X的各分量X?服從正態(tài)分布，i=1,2,...,pC.C是非奇異的D.X的各分量相互獨(dú)立2.在主成分分析中，某主成分的方差解釋了總方差的15%，該主成分的方差貢獻(xiàn)率是（）。A.0.15B.15%C.0.85D.1.153.設(shè)從p維正態(tài)總體N(μ,Σ)中抽取一個(gè)樣本，樣本量為n，樣本均值為x?。要檢驗(yàn)假設(shè)H?:μ=μ?(μ?為已知向量)，通常使用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是（）。A.t=x?-μ?/(s/√n)（s為樣本標(biāo)準(zhǔn)差）B.t=x?-μ?/(s_p/√n)（s_p為樣本偏度）C.F=ns_p^2/Σ?（Σ?為組內(nèi)平方和矩陣）D.F=(n-1)s^2/Σ（s^2為樣本方差，Σ為總體協(xié)方差矩陣）4.在因子分析中，因子載荷a??表示（）。A.第k個(gè)因子對第i個(gè)變量的線性影響程度B.第i個(gè)變量在第k個(gè)因子上的標(biāo)準(zhǔn)化得分C.第i個(gè)變量與第k個(gè)因子的相關(guān)系數(shù)D.因子分析的樣本相關(guān)系數(shù)矩陣中的元素5.下列聚類方法中，屬于劃分聚類方法的是（）。A.系統(tǒng)聚類B.K-均值聚類C.層次聚類D.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)聚類二、填空題（每小題2分，共10分。請將答案填寫在答題紙上對應(yīng)位置）6.設(shè)X?,X?,...,X?是來自二維正態(tài)分布N(μ?,μ?,σ?2,σ?2,ρ)的樣本，其中ρ為相關(guān)系數(shù)。統(tǒng)計(jì)量t=(x??-μ?)/[s?*sqrt(1-ρ2)]*sqrt(n)服從______分布，自由度為______。7.在主成分分析中，若原始變量X?,X?,...,Xp的相關(guān)系數(shù)矩陣R的特征值為λ?,λ?,...,λp(λ?≥λ?≥...≥λp≥0)，則第k個(gè)主成分的方差貢獻(xiàn)率為______。8.設(shè)X是p維隨機(jī)向量，Y是q維隨機(jī)向量，要研究X與Y之間的線性相關(guān)關(guān)系，可以采用______分析方法。9.在因子分析中，若因子載荷矩陣A經(jīng)過正交旋轉(zhuǎn)后變?yōu)锳'，則A'中元素a'??的統(tǒng)計(jì)意義與旋轉(zhuǎn)前相比，其______性質(zhì)通常增強(qiáng)。10.設(shè)X=(X?,X?)?服從二維正態(tài)分布N((1,0)?,Σ)，其中Σ=σ?2I?+ρσ?σ?((1-ρ)I?)，I?和I?分別為1階和2階單位矩陣。則X?和X?的相關(guān)系數(shù)ρ=______。三、計(jì)算題（共50分）11.（10分）設(shè)從三維正態(tài)分布N(μ,Σ)中抽取一個(gè)樣本，樣本量為4，樣本均值為(1,2,3)?，樣本協(xié)方差矩陣為Σ?=[[2,-1,1],[-1,3,0],[1,0,4]]。（1）求總體均值向量μ的無偏估計(jì)量；（2）求馬氏距離統(tǒng)計(jì)量D2=(μ-x?)?Σ??1(μ-x?)在假設(shè)H?:μ=(0,0,0)?下的觀測值。12.（10分）對變量X?,X?,X?進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理（均值為0，方差為1）后，其相關(guān)系數(shù)矩陣R為R=[[1,0.6,-0.7],[0.6,1,0.5],[-0.7,0.5,1]]。（1）求前兩個(gè)主成分的方差貢獻(xiàn)率和累計(jì)方差貢獻(xiàn)率；（2）求第一個(gè)主成分的系數(shù)向量（載荷向量）。13.（15分）設(shè)某研究收集了5個(gè)樣品，每個(gè)樣品測量了3個(gè)變量X?,X?,X?，數(shù)據(jù)（已中心化）如下（單位略）：1:(1,2,3)2:(2,1,1)3:(3,3,4)4:(0,1,0)5:(-1,-1,-2)（1）用離差平方和法估計(jì)總體的協(xié)方差矩陣Σ；（2）若要對該數(shù)據(jù)進(jìn)行K-均值聚類，試確定一個(gè)合適的初始聚類中心（請說明理由并寫出具體中心坐標(biāo)）；（無需執(zhí)行完整聚類過程）14.（15分）對變量X?,X?,X?進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理后，其相關(guān)系數(shù)矩陣R如第12題所示。假設(shè)存在兩個(gè)因子F?,F?，滿足標(biāo)準(zhǔn)化回歸模型，因子載荷矩陣A為A=[[0.8,0.6],[0.6,0.5],[-0.7,0.3]]。（1）求因子F?,F?的方差；（2）若因子間不相關(guān)，求因子得分系數(shù)矩陣B；（提示：B=A*(Σ'/h')?，其中Σ'為因子載荷矩陣的協(xié)方差矩陣，h'?2=1-V'?2，V'?2為共同度）四、證明題（共20分）15.（10分）證明：若X是p維隨機(jī)向量，C是p×p維非奇異矩陣，則統(tǒng)計(jì)量Q=(X-μ)?C(X-μ)的分布與X的分布類型無關(guān)（即Q服從F分布的條件僅與C和樣本量有關(guān)，而與X的具體分布形式無關(guān)，假設(shè)Q服從F分布的條件已滿足）。16.（10分）證明：主成分分析中計(jì)算出的主成分之間是正交（不相關(guān)）的。試卷答案一、選擇題1.A2.B3.D4.A5.B二、填空題6.t,n-17.λ?/(λ?+λ?+...+λp)8.典型相關(guān)9.解釋10.ρ三、計(jì)算題11.（1）μ?=x?=(1,2,3)?（2）Σ??1=[[0.8333,0.3333,-0.1667],[0.3333,0.6667,0.1667],[-0.1667,0.1667,0.2500]]μ?=(0,0,0)?D2=(μ-x?)?Σ??1(μ-x?)=(x?-μ?)?Σ??1(x?-μ?)D2=(1,2,3)?*[[0.8333,0.3333,-0.1667],[0.3333,0.6667,0.1667],[-0.1667,0.1667,0.2500]]*(1,2,3)?D2=(1,2,3)?*[[0.8333,1.0000,0.5000],[1.0000,1.6667,0.5000],[0.5000,0.5000,0.7500]]*(1,2,3)?D2=(1,2,3)?*(2.5000,4.3333,2.7500)?D2=1*2.5+2*4.3333+3*2.7500=2.5+8.6666+8.2500=19.416612.（1）|R-λI|=0=>λ?=2.5,λ?=1.1244,λ?=-0.6244λ?+λ?+λ?=3方差貢獻(xiàn)率：w?=λ?/3=2.5/3≈0.8333;w?=λ?/3=1.1244/3≈0.3748累計(jì)方差貢獻(xiàn)率：w?=0.8333;w?+w?=0.8333+0.3748≈1.2081（2）第一個(gè)主成分的系數(shù)向量（載荷向量）為特征值λ?=2.5對應(yīng)的特征向量u?=(0.6325,0.6325,-0.4268)?（需先求特征向量并歸一化）13.（1）Σ?=[5/4]*[(1-1)/2+(2-1)/2+(3-1)/2,(1-1)/2+(2-1)/2+(3-1)/2,(1-1)/2+(2-1)/2+(3-1)/2;(1-1)/2+(2-1)/2+(3-1)/2,(1-1)/2+(1-1)/2+(3-1)/2,(1-1)/2+(1-1)/2+(3-1)/2;(1-1)/2+(2-1)/2+(3-1)/2,(1-1)/2+(1-1)/2+(3-1)/2,(1-1)/2+(1-1)/2+(4-1)/2]Σ?=[5/4]*[[0,0,0],[0,1,1],[0,1,2]]Σ?=[[0,0,0],[0,5/4,5/4],[0,5/4,5/2]]Σ?=[[0,0,0],[0,1.25,1.25],[0,1.25,2.5]]（2）選擇距離較遠(yuǎn)的樣品作為初始中心。樣品1與樣品3的歐氏距離d(1,3)=sqrt((1-3)2+(2-3)2+(3-4)2)=sqrt(4+1+1)=sqrt(6)≈2.4495。樣品4與樣品5的歐氏距離d(4,5)=sqrt((-1-0)2+(-1-1)2+(-2-0)2)=sqrt(1+4+4)=sqrt(9)=3。樣品2與樣品3的距離d(2,3)≈1.8708。樣品4與樣品3的距離d(4,3)≈2.6458。樣品5與樣品3的距離d(5,3)≈3.6056。樣品3與其他樣品距離較大，樣品4與樣品5距離也較遠(yuǎn)?？蛇x樣品3和樣品4或樣品3和樣品5作為初始中心。若選樣品3(3,3,4)和樣品4(0,1,0)為中心。14.（1）因子方差：h?2=1-V'?2,V'?2=0.6*(0.8)2+0.5*(0.6)2+(-0.7)*(0.7)2=0.3848h?2=1-0.3848=0.6152;h?2=1-0.3848=0.6152F?方差σ?2=h?2*Var(F?)=0.6152*Var(F?);F?方差σ?2=h?2*Var(F?)=0.6152*Var(F?)因子不相關(guān)，Var(F?+F?)=Var(F?)+Var(F?)=1=>σ?2+σ?2=1σ?2=0.6152/2=0.3076;σ?2=0.6152/2=0.3076（2）A=[[0.8,0.6],[0.6,0.5],[-0.7,0.3]]Σ'=A*A?=[[0.8,0.6],[0.6,0.5],[-0.7,0.3]]*[[0.8,0.6,-0.7],[0.6,0.5,0.3]]Σ'=[[1.04,0.78,-0.58],[0.78,0.61,-0.36],[-0.58,-0.36,0.58]]h'=[0.6152,0.6152],h'?2=h?2Σ'/h'=[[1.04/0.6152,0.78/0.6152,-0.58/0.6152],[0.78/0.6152,0.61/0.6152,-0.36/0.6152],[-0.58/0.6152,-0.36/0.6152,0.58/0.6152]]Σ'/h'=[[1.6908,1.2674,-0.9400],[1.2674,0.9898,-0.5842],[-0.9400,-0.5842,0.9400]]B=A*(Σ'/h')?=[[0.8,0.6],[0.6,0.5],[-0.7,0.3]]*[[1.6908,1.2674,-0.9400],[1.2674,0.9898,-0.5842]]B=[[2.0312,1.7560,-1.4140],[1.5384,1.3543,-0.9681],[-1.8376,-1.4105,0.8140]]四、證明題15.Q=(X-μ)?C(X-μ)=(X?-μ?)C(X-μ)=X?CX-X?Cμ-μ?CX+μ?Cμ因?yàn)镃是對稱矩陣(C?=C)，且C是非奇異的，所以Cμ=Cμ?Q=X?CX-2μ?CX+μ?Cμ在H?:μ=μ?下，Q=X?Cμ?-2μ??CX+μ??Cμ?=(X?-μ??)Cμ?-2μ??CX+μ??Cμ?=X?Cμ?-μ??CX-μ??CX+μ??Cμ?=X?C(μ?-μ?)-2μ??CX+μ??Cμ?=X?C(0)-2μ??CX+μ??Cμ?=-2μ??CX+μ??Cμ?Q=-2μ??CX+μ??Cμ?=-2μ??CX+μ??Cμ?=-2μ??CX+μ??Cμ?Q=X?C(X-μ?)/(σ2)=X?C(X-μ?)/(σ2)(假設(shè)σ2已知)令Z=CX/σ，則Z服從N(0,I?)（因?yàn)閄服從N(μ?,Σ)，且C可逆，變換后仍為正態(tài)分布，協(xié)方差矩陣為CΣC?/σ2=C2/σ2=I?）Q=(X-μ?)?C?(CX/σ)=(X-μ?)?σ2Z?Z=σ2Z?ZZ?Z=(CX/σ)?(CX/σ)=X?C?(CX)/σ2=X?ΣC?/σ2=X?Σ?1ΣX=X?XQ=σ2*Z?Z=σ2*X?XQ/(pσ2)=(X?X)/(pσ2)=[(X/(σ√p))?]*(X/(σ√p))=(X'?)*(X'/√p)=(X'/√p)?*(X'/√p)=(X'/√p)?(X'/√p)令W=X'/√p，則W服從N(0,I?)Q/(pσ2)=W?W=tr(W?W)=tr(WW?)=tr(I?)=pQ/(pσ2)服從χ2(p)Q/(pσ2)=F(1,n-1)（因?yàn)镼服從F分布，自由度為1和n-1）Q=pσ2*F(1,n-1)所以Q服從F(1,n-1)分布，其分布與X的具體分布類型無關(guān)，僅與C和樣本量有關(guān)。16.設(shè)原始變量為X=(X?,X?,...,Xp)?，相關(guān)系數(shù)矩陣為R=[r??]。標(biāo)準(zhǔn)化后的變量為X'=(X?',X?',...,Xp')?，其中X?'=(X?-E(X?))/SD(X?)。標(biāo)準(zhǔn)化后，E(X'?')=0,Var(X'?')=1,Cov(X'