湘贛粵名校2025-2026學年數學高二上期末檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A. B.C. D.2．正四棱錐中，，則直線與平面所成角的正弦值為A. B.C. D.3．已知直線l：過橢圓的左焦點F，與橢圓在x軸上方的交點為P，Q為線段PF的中點，若，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.4．圓與圓公切線的條數為（）A.1 B.2C.3 D.45．在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC與BD的交點為M，設＝，＝，＝，則＝（）A.++ B.+C.++ D.+6．兩圓與的公切線有（）A.1條 B.2條C.3條 D.4條7．某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的值是（）A. B.C. D.8．已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9．圓關于直線對稱，則的最小值是（）A. B.C. D.10．若，則的最小值為（）A.1 B.2C.3 D.411．已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，且，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件12．已知數列中，，()，則等于（）A. B.C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入運營．據市場分析，每輛客車營運的總利潤y（單位：10萬元）與營運年數x（）為二次函數的關系（如圖），則每輛客車營運年數為________時，營運的年平均利潤最大14．若直線與直線互相垂直，則___________.15．若函數在[1，3]單調遞增，則a的取值范圍___16．拋物線的焦點到準線的距離是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（1）解關于的不等式；（2）若不等式在上有解，求實數的取值范圍18．（12分）如圖，已知多面體，，，均垂直于平面，，，，（1）證明：平面；（2）求直線平面所成的角的正弦值19．（12分）設全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2-a≤x≤1+2a}，其中a∈R.（1）若“x∈A”是“x∈B”充分條件，求a的取值范圍；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要條件，求a的取值范圍.20．（12分）已知等差數列的前n項和為，且.（1）求數列的通項公式及；（2）設，求數列的前n項和.21．（12分）已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，橢圓上的動點到焦點的最大距離為.（1）求橢圓的標準方程；（2）過作一條不與坐標軸垂直的直線交橢圓于兩點，弦的中垂線交軸于，當變化時，是否為定值?若是，定值為多少?22．（10分）等差數列中，，（1）求數列的通項公式；（2）若滿足數列為遞增數列，求數列前項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】分析：根據離心率得a,c關系，進而得a,b關系，再根據雙曲線方程求漸近線方程，得結果.詳解：因為漸近線方程為，所以漸近線方程為，選A.點睛：已知雙曲線方程求漸近線方程：.2、C【解析】建立合適的空間直角坐標系，求出和平面的法向量，直線與平面所成角的正弦值即為與的夾角的余弦值的絕對值，利用夾角公式求出即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系.有圖知，由題得、、、.，，.設平面的一個法向量，則，，令，得，，.設直線與平面所成的角為，則.故選：C.【點睛】本題考查線面角的求解，利用向量法可簡化分析過程，直接用計算的方式解決問題，是基礎題.3、D【解析】由直線的傾斜角為，可得，結合，可推得是等邊三角形，可得，計算可得離心率【詳解】直線：過橢圓的左焦點，設橢圓的右焦點為，所以，又是的中點，是的中點，所以，又，所以，又，所以是等邊三角形，所以，又在橢圓上，所以，所以，所以離心率為，故選：4、D【解析】分別求出圓和圓的圓心和半徑，判斷出兩圓的位置關系可得到公切線的條數.【詳解】根據題意，圓即，其圓心為，半徑；圓即，其圓心為，半徑；兩圓的圓心距，所以兩圓相離，其公切線條數有4條；故選：D.5、B【解析】利用向量三角形法則、平行四邊形法則、向量共線定理即可得出【詳解】如圖所示，∵＝+，又＝，＝－，＝，∴＝+，故選：B6、D【解析】求得圓心坐標分別為，半徑分別為，根據圓圓的位置關系的判定方法，得出兩圓的位置關系，即可求解.【詳解】由題意，圓與圓，可得圓心坐標分別為，半徑分別為，則，所以，可得圓外離，所以兩圓共有4條切線.故選：D.7、B【解析】模擬程序運行后,可得到輸出結果,利用裂項相消法即可求出答案.【詳解】模擬程序運行過程如下:0),判斷為否,進入循環(huán)結構,1),判斷為否,進入循環(huán)結構,2),判斷為否,進入循環(huán)結構,3),判斷為否,進入循環(huán)結構,……9),判斷為否,進入循環(huán)結構,10),判斷為是,故輸出,故選:B.【點睛】本題主要考查程序框圖,考查裂項相消法,難度不大.一般遇見程序框圖求輸出結果時,常模擬程序運行以得到結論.8、A【解析】根據平面向量垂直的性質，結合平面向量數量積的坐標表示公式、充分性、必要性的定義進行求解判斷即可.詳解】當時，有，顯然由，但是由不一定能推出，故選：A9、C【解析】先求出圓的圓心坐標，根據條件可得直線過圓心，從而可得，然后由，展開利用均值不等式可得答案.【詳解】由圓可得標準方程為，因為圓關于直線對稱，該直線經過圓心，即，，，當且僅當，即時取等號，故選：C.10、D【解析】由基本不等式求解即可.【詳解】，當且僅當時，取等號.即所求最小值.故選：D11、B【解析】根據垂直關系的性質可判斷.【詳解】由題，，則或，若，則或或與相交，故充分性不成立；若，則必有，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.12、D【解析】由已知條件可得，，…，即是周期為3的數列，即可求.【詳解】由題設，知：，，，…，∴是周期為3的數列，而的余數為1，∴.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】首先根據題意得到二次函數的解析式為，再利用基本不等式求解的最大值即可.【詳解】根據題意得到：拋物線的頂點為，過點，開口向下，設二次函數的解析式為，所以，解得，即，則營運的年平均利潤，當且僅當，即時取等號故答案為：5.14、4【解析】由直線垂直的性質求解即可.【詳解】由題意得，解得.故答案為：15、【解析】由在區(qū)間上恒成立來求得的取值范圍.【詳解】依題意在區(qū)間上恒成立，在上恒成立，所以.故答案為：16、4【解析】由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦點到準線的距離就是p，所以焦點到準線的距離為4.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當時，或；當時，；當時，或（2）【解析】（1）由題意得對的值進行分類討論可得不等式的解集；（2）將條件轉化為，，再利用基本不等式求最值可得的取值范圍；【小問1詳解】，即，所以，所以，①當時不等式的解為或，②當時不等式的解為，③當時不等式的解為或，綜上：原不等式的解集為當時或，當時，當時或【小問2詳解】不等式在上有解，即在上有解，所以在上有解，所以，因為，所以，當且僅當，即時取等號，所以.18、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由已知條件可得，，則，，再利用線面垂直的判定定理可證得結論；（2）如圖，過點作，交直線于點，連接，可證得平面，從而是與平面所成的角，然后在求解即可【詳解】（1）證明：由，，，，得，所以，由由，，，，得，由，得，由，得，所以，故，又，因此平面（2）解如圖，過點作，交直線于點，連接由平面，平面，得平面平面，由，得平面，所以是與平面所成的角由，，得，，所以，故因此，直線與平面所成的角的正弦值是【點睛】關鍵點點睛：此題考查線面垂直的判定和線面角的求法，解題的關鍵是通過過點作，交直線于點，連接，然后結合條件可證得是與平面所成的角，從而在三角形中求解即可，考查推理能力和計算能力，屬于中檔題19、（1）（2）【解析】（1）由“”是“”的充分條件，可得，從而可得關于的不等式組，解不等式組可得答案；（2）“”是“”的必要條件，可得，然后分和兩種情況求解即可【小問1詳解】由題意得到A＝[1，5]，由“x∈A”是“x∈B”的充分條件可得A?B，則，解得，故實數a的取值范圍是.【小問2詳解】由“x∈A”是“x∈B”的必要條件可得B?A，當時，2-a＞1+2a，即a＜時，滿足題意，當時，即a≥時，則，解得≤a≤1.綜上a≤1，故實數a的取值范圍是.20、（1）（2）【解析】（1）設等差數列的公差為，根據已知條件可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，利用等差數列的通項公式可求得數列的通項公式，利用等差數列前n項和公式求出；（2）求得，利用裂項相消法即可求得.【小問1詳解】設等差數列的公差為，由，解得，所以，故數列的通項公式，；【小問2詳解】由（1）可得，所以，所以.21、（1）（2）是，【解析】(1)由拋物線方程求出其焦點坐標，結合橢圓的幾何性質列出，的方程，解方程求，由此可得橢圓方程，(2)聯立直線橢圓橢圓方程，求出弦的長和其中垂線方程，再計算，由此完成證明.【小問1詳解】拋物線的交點坐標為（1，0），，又，又，∴，橢圓的標準方程為.【小問2詳解】設直線的斜率為，則直線的方程為，聯立消元得到，顯然，，∴，又的中點坐標為，直線的中垂線的斜率為∴直線的中垂線方程為，令，，（常數）