湖北省隨州市曾都區(qū)第一高級中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題范圍（必修二第十章概率，選擇性必修1第一章空間向量與立體幾何，第二章直線的方程）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知向量，，且與互相垂直，則（）A. B. C. D.2.直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再向右平移1個單位，所得到的直線為（）A. B. C. D.3.直線的傾斜角范圍是（）A.B.C.D.4.天氣預(yù)報(bào)說，在今后的三天中，每天下雨的概率都為60%．現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生了10組隨機(jī)數(shù)180，792，454，417，165，809，798，386，196，206據(jù)此估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率近似為（）A. B. C. D.5.已知空間中點(diǎn)，，，，若A，B，C，D四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)值為（）A. B. C. D.6.設(shè)，則“”是“直線：與直線：平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.若第一象限內(nèi)的點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在直線上，則的最小值為（）A.1 B.4 C.10 D.16A.1B.2C.3D.4二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．A.若，則，相互獨(dú)立B.若和相互獨(dú)立，則和一定不互斥C.若和互斥，則和一定相互獨(dú)立D.10.下列說法在確的是（）A.若方程表示直線，則B.分別為直線與上任意一點(diǎn)，則的最小值為C.直線l過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線l的方程為D.直線與相交于點(diǎn)，則過點(diǎn)，的直線方程為11.如圖，在棱長為2正方體中，E為邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上的動點(diǎn)，設(shè)，則（）A.當(dāng)時(shí)，EP//平面B.當(dāng)時(shí)，取得最小值，其值為C.的最小值為D.當(dāng)平面CEP時(shí)，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線的一個方向向量是，則直線的傾斜角______．13.一個三位自然數(shù)百位，十位，個位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)有兩個數(shù)字的和等于第三個數(shù)字時(shí)稱為“有緣數(shù)”（如213，134等），若，且a，b，c互不相同，則這個三位數(shù)為”有緣數(shù)”的概率是__________．14.已知，，則的最小值為_____.四.解答題15.已知一條動直線，（1）求直線恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若直線不經(jīng)過第二象限，求m的取值范圍；16.已知的三個頂點(diǎn)分別為．（1）求邊的中線和高所在直線的方程；（2）若直線l過頂點(diǎn)A，且原點(diǎn)到直線l的距離為2，求直線l的方程．17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，E為棱PD的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段PC上一動點(diǎn)．（1）求證：平面平面PAB；（2）若直線BF與平面ABCD所成角的正弦值為時(shí)，求點(diǎn)C到平面AEF的距離．18.為了建設(shè)書香校園，營造良好的讀書氛圍，學(xué)校開展“送書券”活動該活動由三個游戲組成，每個游戲各玩一次且結(jié)果互不影響.連勝兩個游戲可以獲得一張書券，連勝三個游戲可以獲得兩張書券.游戲規(guī)則如下表：游戲一游戲二游戲三箱子中球的顏色和數(shù)量大小質(zhì)地完全相同的紅球3個，白球2個（紅球編號為“1，2，3”，白球編號為“4，5”）取球規(guī)則取出一個球有放回地依次取出兩個球不放回地依次取出兩個球獲勝規(guī)則取到白球獲勝取到兩個白球獲勝編號之和為獲勝(1)分別求出游戲一，游戲二的獲勝概率；(2)當(dāng)時(shí)，求游戲三的獲勝概率；(3)一名同學(xué)先玩了游戲一，試問為何值時(shí)，接下來先玩游戲三比先玩游戲二獲得書券的概率更大.19.出租車幾何或曼哈頓距離（ManhattanDistance）是由十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，是種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語，用以標(biāo)明兩個點(diǎn)在空間（平面）直角坐標(biāo)系上的絕對軸距總和.例如：在平面直角坐標(biāo)系中，若，，兩點(diǎn)之間的曼哈頓距離.（1）已知點(diǎn)，，求的值；（2）記為點(diǎn)B與直線上一點(diǎn)的曼哈頓距離的最小值.已知點(diǎn)，直線：，求；（3）已知三維空間內(nèi)定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足，求動點(diǎn)P圍成的幾何體的表面積.數(shù)學(xué)參考答案1234567891011CABBBCABABBDBC12.【答案】（也可寫為）13.【答案】14.【答案】15.【解析】【小問1詳解】由題意，整理得，所以不管取何值時(shí)，直線恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組，解得，即………………6分小問2詳解】由上問可知直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)，直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線是，顯然滿足題意；…………8分當(dāng)時(shí)，由直線不經(jīng)過第二象限，直線與軸有交點(diǎn)時(shí)，則縱截距小于或等于零即可，令，則，即，解得；…………12分綜上所述：…………13分16.【解析】【小問1詳解】①邊的中點(diǎn)為，又直線的斜率為，邊上的中線所在直線的方程為，即．…………3分②直線的斜率為，邊上的高所在直線的斜率為，邊上的高所在直線的方程為，即．…………6分【小問2詳解】①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，符合題意；……9分②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，直線的方程可設(shè)為，即，由題意，原點(diǎn)到直線的距離為2，即，解得，所求直線的方程為．…………14分綜上，所求直線的方程為x=2或．…………15分17.【解析】【小問1詳解】證明：因?yàn)?，，則，平面，平面，，，、平面，平面，…………5分平面，因此，平面平面.…………6分【小問2詳解】因?yàn)榈酌?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，…………7分設(shè)，，其中，易知平面的一個法向量為，由已知可得，解得，所以，為的中點(diǎn)，即，…………10分設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，…………13分，因?yàn)椋渣c(diǎn)C到平面AEF的距離為：.…………15分18.【詳解】（1）設(shè)事件“游戲一獲勝”，“游戲二獲勝”，“游戲三獲勝”，游戲一中取出一個球的樣本空間為，則，因?yàn)?，所以?所以游戲一獲勝的概率為.游戲二中有放回地依次取出兩個球的樣本空間，則，因?yàn)?，所以，所以，所以游戲二獲勝的概率為.…………4分（2）游戲三中不放回地依次取出兩個球的樣本的個數(shù)為，時(shí)，樣本的個數(shù)為2，所以所求概率為；…………9分（3）設(shè)“先玩游戲二，獲得書券”，“先玩游戲三，獲得書券”，則，且，，互斥，相互獨(dú)立，所以又，且，，互斥，所以若要接下來先玩游戲三比先玩游戲二獲得書券的概率大，則，所以，即.進(jìn)行游戲三時(shí)，不放回地依次取出兩個球的所有結(jié)果如下表：第二次第一次1234512345當(dāng)時(shí)，，舍去當(dāng)時(shí)，，滿足題意，因此的所有可能取值為.……17分19.【解析】【小問1詳解】，所以.…………3分【小問2詳解】設(shè)動點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，則，所以，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上，為.……10分【小問3詳解】動點(diǎn)P圍成的幾何體為八面體，每個面均為邊長的正三角形，其表面積為.證明如下：不妨將A平移到處