2025年大學《統(tǒng)計學》專業(yè)題庫——主成分回歸與廣義混合模型在統(tǒng)計學專業(yè)的應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題3分，共15分。請將正確選項字母填入括號內(nèi)）1.在主成分回歸（PCR）中，選擇主成分進行回歸的主要依據(jù)通常是（）。A.主成分的方差貢獻率B.主成分的載荷大小C.主成分與因變量的相關系數(shù)D.主成分之間的協(xié)方差2.廣義混合模型（GMM）的EM算法中，E步驟是指（）。A.計算后驗概率，得到關于參數(shù)的期望B.最大化似然函數(shù)，更新參數(shù)估計C.計算樣本與各成分的Mahalanobis距離D.選擇合適的模型成分數(shù)量3.對于一個包含多重共線性的回歸問題，主成分回歸（PCR）相比普通最小二乘法（OLS）的主要優(yōu)勢在于（）。A.能顯著提高模型的R2B.能有效降低回歸系數(shù)的標準誤C.能直接得到原始自變量的回歸系數(shù)D.對異常值不敏感4.在混合正態(tài)分布模型中，如果使用EM算法估計參數(shù)，其收斂速度通常受（）影響較大。A.樣本量的大小B.成分數(shù)量的多少C.初始參數(shù)的選擇D.以上都是5.下列關于廣義混合模型（GMM）說法正確的是（）。A.GMM只能用于連續(xù)型數(shù)據(jù)的建模B.GMM的EM算法總是能保證收斂到全局最優(yōu)解C.GMM是線性回歸模型的推廣D.GMM通過將多個分布進行混合，可以用來刻畫更復雜的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)二、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述主成分回歸（PCR）的基本思想及其主要步驟。2.請解釋EM算法在廣義混合模型（GMM）參數(shù)估計中的作用，并簡述其基本原理。3.在使用主成分回歸（PCR）進行分析時，可能存在哪些問題？如何進行模型診斷？4.對于一個需要構(gòu)建混合泊松回歸模型的實際問題，請簡述選擇該模型可能的原因以及需要滿足的假設條件。三、計算題（每題10分，共20分）1.假設通過主成分分析得到某數(shù)據(jù)集的前兩個主成分的載荷矩陣為：```P=[0.60.8][0.8-0.6]```且標準化后的數(shù)據(jù)矩陣（Z）的前兩行主成分得分為：```Z1=[1.5-0.52.0]Z2=[-1.00.8-1.2]```因變量y的值為[3,2,4]。(注意：此處數(shù)據(jù)僅為示意，非真實計算用)請計算基于這兩個主成分的線性組合的回歸系數(shù)（即β?*Z?+β?*Z?的系數(shù)β?,β?），假設β?=0.5,β?=0.7。2.假設使用EM算法估計一個包含兩個正態(tài)成分的混合模型，得到以下部分結(jié)果：*混合權重：π?=0.6,π?=0.4*第一個成分的均值：μ?=[1,2]，協(xié)方差矩陣Σ?=diag([0.5,0.3])*第二個成分的均值：μ?=[-1,-1]，協(xié)方差矩陣Σ?=diag([0.4,0.6])請計算樣本點[x?,x?]=[1.5,2.0]到兩個成分的Mahalanobis距離平方（不考慮權重）。四、應用建模題（15分）某研究收集了50個客戶的購買數(shù)據(jù)，包含年齡（Age）、收入（Income）和購買頻率（Frequency）三個變量。由于年齡和收入之間存在較強的多重共線性，且購買頻率可能呈現(xiàn)偏態(tài)分布，研究者考慮使用主成分回歸（PCR）或廣義混合模型（GMM，如混合正態(tài)分布或混合泊松回歸，假設Frequency為計數(shù)數(shù)據(jù)）進行分析，以預測客戶的購買頻率。請闡述：1.為什么研究者可能選擇PCR或GMM而不是直接使用多重共線性嚴重的普通最小二乘回歸？2.如果選擇PCR，請簡述分析步驟，包括主成分的選擇依據(jù)和如何進行回歸。3.如果選擇GMM（以混合泊松回歸為例），請簡述模型的基本形式和估計過程，并說明如何判斷模型擬合優(yōu)度。試卷答案一、選擇題1.A*解析：PCR通過主成分對自變量進行降維，選擇主成分的核心目的是保留盡可能多的信息，即主成分需要具有較大的方差貢獻率，以解釋原始變量的大部分變異。2.A*解析：EM算法（Expectation-MaximizationAlgorithm）由兩個步驟組成：E步（ExpectationStep）計算在當前參數(shù)估計下，隱藏變量（如每個樣本屬于哪個成分的后驗概率）的期望；M步（MaximizationStep）基于E步計算的期望，重新最大化完整數(shù)據(jù)似然函數(shù)以更新參數(shù)。因此E步驟是計算后驗概率得到期望。3.B*解析：PCR通過降維消除了自變量間的線性相關關系，使得回歸系數(shù)的估計更加穩(wěn)定，標準誤通常會降低，從而提高了估計的精確性。它不能直接得到原始變量的系數(shù)，且對異常值依然敏感。4.D*解析：EM算法的收斂速度和性質(zhì)受多種因素影響，包括樣本量（樣本量大通常收斂更快更好）、成分數(shù)量（成分少通常易收斂）、以及初始參數(shù)的選擇（好的初始值有助于更快收斂到最優(yōu)解）。這三個因素都會影響收斂速度。5.D*解析：A錯，GMM可用于連續(xù)、離散等多種類型的數(shù)據(jù)。B錯，EM算法可能收斂到局部最優(yōu)解。C錯，GMM是針對分布混合問題，與線性回歸是不同范疇。D對，GMM通過組合多個簡單的分布成分來擬合復雜的數(shù)據(jù)分布。二、簡答題1.解析：PCR的基本思想是：當自變量之間存在嚴重的多重共線性時，直接進行最小二乘回歸會存在問題。為此，首先對原始自變量進行主成分分析（PCA），得到一組不相關的主成分。然后，將這些主成分作為新的“虛擬”自變量，只選擇那些能夠解釋大部分原始變量方差的主成分（通?；诶塾嫹讲钬暙I率），最后用這些選定的主成分對因變量進行回歸。其步驟通常包括：對自變量數(shù)據(jù)中心化；計算協(xié)方差矩陣或相關矩陣；進行特征值分解或使用SVD方法得到特征值和特征向量（即主成分方向/載荷）；計算主成分得分（原始數(shù)據(jù)乘以載荷）；選擇足夠多的主成分（如前k個方差最大的）；用選定的主成分得分和因變量進行普通最小二乘回歸。2.解析：EM算法在GMM參數(shù)估計中的作用是提供一種迭代方法來估計包含隱藏（不可觀測）分類信息的混合分布模型的參數(shù)。其基本原理是利用迭代的方式來逼近完整數(shù)據(jù)（即知道每個樣本屬于哪個組）的最大似然估計。算法包含兩個交替進行的步驟：E步（期望步）和M步（最大化步）。在E步，基于當前已知的參數(shù)估計，計算每個數(shù)據(jù)點屬于各個隱藏成分的后驗概率（即屬于每個組的期望比例）。在M步，將后驗概率視為“權重”，利用這些權重重新計算混合模型的參數(shù)（如各成分的均值、方差、混合權重等），使得在給定當前后驗概率的情況下，模型的似然函數(shù)達到最大化。重復進行E步和M步，直到參數(shù)估計值收斂或達到預設的迭代次數(shù)。3.解析：PCR模型可能存在的問題包括：主成分的解釋性可能較差，難以將主成分回歸系數(shù)回譯到原始變量的實際意義；選擇主成分數(shù)量的主觀性，不同的選擇可能導致模型結(jié)果差異；PCR是基于方差最大化的降維，可能丟失與因變量線性關系較弱但具有實際意義的信息；模型仍需進行診斷，如檢查PCR回歸模型的殘差是否滿足獨立性假設。模型診斷方法可能包括：檢查主成分解釋的方差比例是否足夠高；繪制主成分得分與因變量的散點圖，觀察是否存在線性關系；檢查PCR回歸模型的殘差圖，判斷是否存在模式（如非正態(tài)性、異方差、自相關）；如果原始數(shù)據(jù)量足夠大，可以比較PCR與直接處理原始變量的回歸結(jié)果。4.解析：選擇混合泊松回歸模型可能的原因包括：計數(shù)數(shù)據(jù)（如購買頻率Frequency）通常不服從單一的正態(tài)分布，可能存在多種產(chǎn)生機制，混合模型可以通過組合多個泊松分布（或泊松混合模型）來更好地刻畫這種復雜性；混合模型能夠識別并分離出具有不同計數(shù)行為（如高頻率購買者和低頻率購買者）的潛在客戶群體；通過估計不同成分的參數(shù)（如均值），可以更精細地理解不同客戶群體的特征?；旌喜此苫貧w模型的基本形式通常是p(y|x;θ)=Σπ_k*p(y|x;θ_k)，其中y是計數(shù)觀測值，x是解釋變量，θ是包含所有成分參數(shù)的向量（如各成分的λ_k均值），π_k是混合權重，k是成分索引。估計過程通常使用EM算法。需要滿足的假設條件可能包括：數(shù)據(jù)是由多個泊松過程混合而成；對于每個潛在成分，數(shù)據(jù)點在給定解釋變量x的條件下，仍服從泊松分布，其均值（λ_k）可能依賴于x；樣本是獨立同分布的。三、計算題1.解析：PCR回歸模型為y=β?+β?*Z?+β?*Z?+ε。這里假設截距β?不需要計算（或題目隱含β?=0）。回歸系數(shù)β?,β?的估計可以通過將主成分得分代入線性回歸模型得到。已知β?=0.5,β?=0.7，主成分得分矩陣（Z）的前兩行為：Z?=[1.5-0.52.0]Z?=[-1.00.8-1.2]因變量y=[3,2,4]。代入模型：對于第一個樣本：3=β?+0.5*(1.5)+0.7*(-1.0)=β?+0.75-0.7=β?+0.05對于第二個樣本：2=β?+0.5*(-1.0)+0.7*(0.8)=β?-0.5+0.56=β?+0.06對于第三個樣本：4=β?+0.5*(2.0)+0.7*(-1.2)=β?+1.0-0.84=β?+0.16（注意：此處數(shù)據(jù)構(gòu)造使得β?=0.06，β?=0.5，β?=0.7的解恰好滿足所有樣本點。實際計算中不會如此巧合。）現(xiàn)在計算基于Z?和Z?的線性組合的系數(shù)β?*Z?+β?*Z?：β?*Z?=0.5*[1.5-0.52.0]=[0.75-0.251.0]β?*Z?=0.7*[-1.00.8-1.2]=[-0.70.56-0.84]線性組合=[0.75-0.251.0]+[-0.70.56-0.84]=[0.050.310.16]這個結(jié)果[0.05,0.31,0.16]即為β?*Z?+β?*Z?的值。2.解析：Mahalanobis距離平方計算公式為D2=(x-μ)?Σ?1(x-μ)，其中x是樣本點，μ是均值向量，Σ是協(xié)方差矩陣，Σ?1是協(xié)方差矩陣的逆。對于第一個成分：μ?=[1,2],Σ?=diag([0.5,0.3])=[[0.5,0],[0,0.3]]Σ??1=diag([1/0.5,1/0.3])=[[2.0,0],[0,3.33...]]x=[1.5,2.0]x-μ?=[1.5-1,2.0-2]=[0.5,0]D?2=[0.5,0]*[[2.0,0],[0,3.33...]]*[0.5;0]=0.5*2.0*0.5+0*3.33...*0=0.5對于第二個成分：μ?=[-1,-1],Σ?=diag([0.4,0.6])=[[0.4,0],[0,0.6]]Σ??1=diag([1/0.4,1/0.6])=[[2.5,0],[0,1.66...]]x-μ?=[1.5-(-1),2.0-(-1)]=[2.5,3.0]D?2=[2.5,3.0]*[[2.5,0],[0,1.66...]]*[2.5;3.0]=2.52*2.5+3.02*1.66...=6.25*2.5+9.0*1.66...=15.625+15.0=30.625因此，Mahalanobis距離平方分別為D?2=0.5和D?2=30.625。四、應用建模題1.解析：研究者可能選擇PCR的原因是原始自變量年齡（Age）和收入（Income）之間存在較強的多重共線性，這會導致普通最小二乘回歸（OLS）的系數(shù)估計不穩(wěn)定、方差增大，難以解釋單個自變量的獨立影響。PCR通過主成分分析將Age和Income轉(zhuǎn)化為不相關的主成分，消除了共線性問題，可以進行回歸分析，得到更穩(wěn)定、更可靠的系數(shù)估計（盡管失去了原始變量的解釋）。研究者可能選擇GMM（如混合正態(tài)分布或混合泊松回歸）的原因是購買頻率（Frequency）作為因變量，可能不滿足普通OLS回歸的假設（如正態(tài)性、同方差性）。特別是如果Frequency是計數(shù)數(shù)據(jù)，可能存在偏態(tài)、零膨脹或超過泊松過程假設的過度離散。GMM可以通過混合多個分布（如混合正態(tài)分布可以更好地擬合非對稱數(shù)據(jù)，混合泊松分布可以直接處理計數(shù)數(shù)據(jù)的不同生成機制）來更靈活地捕捉Frequency的分布特征，從而提高模型擬合精度，并可能識別出具有不同購買行為模式的客戶群體。2.解析：如果選擇PCR進行分析：1.對50個客戶的Age和Income數(shù)據(jù)進行中心化（均值為0）。2.計算Age和Income的協(xié)方差矩陣或相關矩陣。3.對協(xié)方差矩陣/相關矩陣進行特征值分解，得到特征值和對應的特征向量（即主成分載荷）。4.計算每個樣本點的主成分得分：Score=Z*P?，其中Z是中心化數(shù)據(jù)矩陣，P是載荷矩陣。5.計算每個主成分的方差貢獻率（特征值/總特征值）和累計方差貢獻率。6.選擇累計方差貢獻率達到某個閾值（如85%或90%）的前k個主成分。選擇標準通常基于解釋方差的大小。7.使用選定的k個主成分得分作為新的自變量，將它們與因變量Frequency進行普通最小二乘回歸（OLS），得到回歸系數(shù)。8.進行模型診斷，檢查殘