2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——大學(xué)數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)的勒讓德變換考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題（每空3分，共15分）1.勒讓德變換是將定義在區(qū)間上的函數(shù)變換為定義在區(qū)間上的函數(shù)的一種積分變換，其逆變換是將函數(shù)變換回函數(shù)。2.勒讓德多項(xiàng)式滿足的正交性條件是：在區(qū)間上正交，即當(dāng)時(shí)，有。3.勒讓德多項(xiàng)式的遞推關(guān)系式為：和。4.勒讓德多項(xiàng)式可以通過(guò)生成函數(shù)表示，即。5.設(shè)，則其勒讓德變換為。二、選擇題（每題3分，共15分）1.下列哪個(gè)函數(shù)是勒讓德多項(xiàng)式？A.B.C.D.2.勒讓德變換是將函數(shù)變換為的運(yùn)算，其中是勒讓德多項(xiàng)式。A.B.C.D.3.積分的值等于多少？（其中是勒讓德多項(xiàng)式）A.1B.0C.依賴的具體形式D.無(wú)法計(jì)算4.在求解球坐標(biāo)系下的拉普拉斯方程時(shí)，分離變量會(huì)導(dǎo)致出現(xiàn)哪個(gè)方程？A.簡(jiǎn)單諧振動(dòng)方程B.貝塞爾方程C.勒讓德方程D.柯西方程5.如果函數(shù)滿足，那么滿足什么條件？（其中是勒讓德多項(xiàng)式）A.在區(qū)間上平方可積B.在區(qū)間上具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)C.是偶函數(shù)D.是奇函數(shù)三、計(jì)算題（每題10分，共40分）1.利用勒讓德多項(xiàng)式的遞推關(guān)系式，證明：。2.計(jì)算函數(shù)在區(qū)間上的勒讓德變換。3.已知函數(shù)的勒讓德變換為，求原函數(shù)。4.求解積分：。四、證明題（10分）證明：勒讓德多項(xiàng)式滿足關(guān)系式。---試卷答案一、填空題1.[-1,1]；[-1,1]2.m≠n；03.(n+1)P???(x)-(2n+1)xP?(x)+nP???(x)=0；(n+1)P???(x)-(n+1)xP?(x)+nP???(x)=04.(1-x2)?1/?=Σ?=??∞(x2)?P?(x)/(2?n!)5.√(1-x2)二、選擇題1.B2.C3.B4.C5.A三、計(jì)算題1.證明思路：利用遞推關(guān)系式(n+1)P???(x)-(2n+1)xP?(x)+nP???(x)=0，令n=k和n=k-1，然后將兩式相減，消去P???(x)和P???(x)，即可得到所需證明的關(guān)系式。2.解析思路：直接利用勒讓德變換的定義式F(x)=∫?1dx∫??P?(x')f(x')dx'，將被積函數(shù)f(x')=x'乘以勒讓德多項(xiàng)式P?(x')進(jìn)行積分。根據(jù)勒讓德多項(xiàng)式的正交性和遞推關(guān)系，計(jì)算結(jié)果將只包含特定的n值的系數(shù)，通常得到F(x)=x。3.解析思路：利用逆勒讓德變換公式a?=∫??P?(x)F(x)dx，將已知的F(x)表達(dá)式代入積分，并利用勒讓德多項(xiàng)式的正交性，可以確定a?的值。然后將所有n的a?值代入逆變換的級(jí)數(shù)形式Σ?=??∞a?P?(x)來(lái)恢復(fù)原函數(shù)f(x)。4.解析思路：觀察被積函數(shù)，考慮使用勒讓德多項(xiàng)式的正交性∫??P?(x)P?(x)dx=0(m≠n)。將√(1-x2)寫作(1-x2)^(1/2)，嘗試與勒讓德多項(xiàng)式的形式P?(x)相關(guān)聯(lián)?？梢栽O(shè)m=1/2，利用正交性的積分結(jié)果為0，從而得到積分值為0（假設(shè)積分區(qū)間為[-1,1]且n取特定值如1/2符合正交性應(yīng)用條件，或者題目意圖是計(jì)算特定情況下的積分值，此處按標(biāo)準(zhǔn)正交性結(jié)論處理）。四、證明題證明思路：利用勒讓德多項(xiàng)式的生成函數(shù)(1-x2)?1/?=Σ?=??∞(