2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)中的隨機(jī)穩(wěn)定性研究考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)與確定性動(dòng)力系統(tǒng)在穩(wěn)定性研究方面的主要區(qū)別。指出研究隨機(jī)穩(wěn)定性的主要理論工具。二、設(shè)X(t)是定義在概率空間(Ω,F,P)上的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)?？紤]隨機(jī)微分方程(SDE)：dx(t)=a(x(t))dt+b(x(t))dB(t),其中a(x)和b(x)是定義在R^n上的連續(xù)函數(shù)。解釋伊藤引理（It?'sLemma）在求解此SDE及其穩(wěn)定性分析中的作用。請(qǐng)寫出伊藤引理的具體形式。三、定義隨機(jī)Lyapunov函數(shù)。設(shè)V(x)是一個(gè)定義在R^n上的連續(xù)可微函數(shù)，滿足V(0)=0,V(x)>0(x≠0)。解釋如何利用隨機(jī)Lyapunov函數(shù)來(lái)判斷隨機(jī)微分方程dx(t)=f(x(t))dt+g(x(t))dB(t)的幾乎肯定（a.s.）穩(wěn)定性或隨機(jī)一致性穩(wěn)定性。請(qǐng)給出相應(yīng)的穩(wěn)定性判據(jù)（基于隨機(jī)Lyapunov函數(shù)）。四、解釋隨機(jī)平均定理（如Khasminskii定理或Kunita-Watanabe定理）在隨機(jī)穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用。當(dāng)研究一個(gè)具有快速隨機(jī)擾動(dòng)的慢系統(tǒng)時(shí)，隨機(jī)平均定理如何幫助我們簡(jiǎn)化問(wèn)題并分析其長(zhǎng)期行為？五、考慮隨機(jī)自治系統(tǒng)：dx(t)=f(x(t))dt+g(x(t))dB(t),其中f(0)=0,且g(0)=0。證明：如果存在一個(gè)關(guān)于x的連續(xù)可微函數(shù)V(x)滿足?V(x)?f(x)≤-λV(x)(對(duì)所有x≠0,λ>0為常數(shù)),并且dV(x)+λV(x)dx(t)≤0a.s.,那么系統(tǒng)在原點(diǎn)處是依概率（p）穩(wěn)定的。請(qǐng)說(shuō)明你的推理過(guò)程。六、設(shè)X(t)是隨機(jī)微分方程dx(t)=-x(t)dt+σdB(t)的解，其中σ>0為常數(shù)。計(jì)算X(t)的期望E[X(t)]和方差Var(X(t))。利用你的結(jié)果，討論該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的矩穩(wěn)定性（例如，均值穩(wěn)定性或方差穩(wěn)定性）。七、定義隨機(jī)穩(wěn)定性中的矩穩(wěn)定性（MomentsStability）和幾乎必然穩(wěn)定性（AlmostSureStability）。考慮一個(gè)隨機(jī)自治系統(tǒng)，解釋為什么矩穩(wěn)定性通常比幾乎必然穩(wěn)定性更弱（即，矩穩(wěn)定性成立不一定意味著幾乎必然穩(wěn)定性成立）？請(qǐng)給出一個(gè)理論上的例子或說(shuō)明。八、設(shè)V(x)是隨機(jī)微分方程dx(t)=-x(t)dt+0.1x(t)dB(t)的一個(gè)隨機(jī)Lyapunov函數(shù)，且滿足?V/?x(x)=x。假設(shè)V(x)=x^2/2。試用隨機(jī)Lyapunov方法證明該系統(tǒng)在原點(diǎn)處是隨機(jī)一致穩(wěn)定的。請(qǐng)完成詳細(xì)的計(jì)算和論證過(guò)程。試卷答案一、隨機(jī)擾動(dòng)引入了不確定性，使得系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡隨機(jī)變化，因此其長(zhǎng)期行為（如收斂性）分析更為復(fù)雜。穩(wěn)定性研究需要考慮概率意義下的收斂，如依概率收斂或矩收斂。主要理論工具包括伊藤引理、隨機(jī)積分、隨機(jī)微分方程解的存在唯一性理論、隨機(jī)Lyapunov函數(shù)理論、矩估計(jì)方法等。二、伊藤引理是求解隨機(jī)微分方程（SDE）的關(guān)鍵工具，它提供了計(jì)算隨機(jī)過(guò)程函數(shù)導(dǎo)數(shù)（或微分）的法則。具體形式為：若X(t)是SDEdx(t)=a(x(t))dt+b(x(t))dB(t)的解，V(X(t))是關(guān)于X(t)的twicecontinuouslydifferentiablefunction，則W(t)=V(X(t))的微分形式為：dV(X(t))=(?V/?x)?dx(t)+(1/2)(?^2V/?x^2)?b(x(t))^2dt,其中“?”表示內(nèi)積。該引理允許我們將SDE的解代入函數(shù)V中，通過(guò)隨機(jī)分析和微積分運(yùn)算，研究V(X(t))的演化，進(jìn)而分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性等性質(zhì)。三、隨機(jī)Lyapunov函數(shù)V(x)是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，用于衡量系統(tǒng)狀態(tài)x偏離平衡點(diǎn)（通常是原點(diǎn)）的程度。通常要求V(0)=0且V(x)>0(x≠0)。利用隨機(jī)Lyapunov函數(shù)判斷穩(wěn)定性通?；谝韵滤枷耄喝绻到y(tǒng)能夠找到一個(gè)合適的V(x)，使得隨機(jī)動(dòng)力學(xué)過(guò)程{V(x(t))}是“減小”或“緩慢增大”的，則系統(tǒng)在原點(diǎn)附近是穩(wěn)定的。具體判據(jù)（以a.s.穩(wěn)定性為例）：1.存在連續(xù)可微函數(shù)V(x)滿足V(0)=0,V(x)>0(x≠0)，且?V(x)?f(x)≤0(對(duì)所有x)。2.SDEdV(x(t))+q(x)V(x(t))dx(t)≤0a.s.，其中q(x)≥0。若滿足上述條件（或類似條件，取決于具體定義和定理版本），則系統(tǒng)在原點(diǎn)處是幾乎肯定（a.s.）穩(wěn)定的。對(duì)于隨機(jī)一致性穩(wěn)定性，判據(jù)通常涉及系統(tǒng)能保持其狀態(tài)在概率意義下收斂到某個(gè)穩(wěn)定集，并且這個(gè)穩(wěn)定集的“大小”（如直徑）不隨時(shí)間增長(zhǎng)。四、隨機(jī)平均定理將一個(gè)包含快速隨機(jī)擾動(dòng)的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)近似為一個(gè)平均系統(tǒng)（可能是一個(gè)確定性系統(tǒng)或帶有慢變隨機(jī)系數(shù)的系統(tǒng)）。這使得原本難以分析的快速隨機(jī)系統(tǒng)，可以通過(guò)分析其慢平均部分的動(dòng)力學(xué)來(lái)研究其長(zhǎng)期行為。例如，Khasminskii定理可以處理帶有高頻噪聲的控制系統(tǒng)，通過(guò)引入慢時(shí)間平均，將系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究平均系統(tǒng)的不變測(cè)度或穩(wěn)定性。這極大地簡(jiǎn)化了分析，并揭示了隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)性能（如穩(wěn)定性）的凈效應(yīng)。五、證明：定義W(t)=V(x(t))。根據(jù)隨機(jī)微分方程，有dW(t)=?V(x(t))?dx(t)+(1/2)?^2V(x(t))?g(x(t))^2dt.代入dx(t)=f(x(t))dt+g(x(t))dB(t)和g(0)=0，得到dW(t)=?V(x(t))?f(x(t))dt+(1/2)?^2V(x(t))?g(x(t))^2dt+?V(x(t))?g(x(t))dB(t).利用條件?V(x)?f(x)≤-λV(x)和dV+λVdx(t)≤0，我們有dW(t)≤-λV(x(t))dt+(1/2)?^2V(x(t))?g(x(t))^2dt+?V(x(t))?g(x(t))dB(t).因?yàn)間(0)=0，?V(x(t))?g(x(t))是關(guān)于x的連續(xù)函數(shù)，當(dāng)x趨于0時(shí)，其極限為?V(0)?g(0)=0。因此，存在一個(gè)隨機(jī)變量M(t)（依賴于g(x(t))），使得dW(t)+λV(x(t))dt≤M(t)dB(t),且Var(M(t))≤(1/2)?^2V(x(t))?g(x(t))^2dt≤CV(x(t))dt(C為常數(shù))。由It?引理的逆向應(yīng)用或Girsanov定理等可知，上述形式表明W(t)=V(x(t))是關(guān)于時(shí)間t的鞅（或近似鞅，取決于C的值）。根據(jù)Girsanov定理和鞅的停止定理，如果W(t)是鞅，則其期望E[W(T)]=E[W(0)]=0（T為足夠大的時(shí)間）。這意味著E[V(x(T))]=0，結(jié)合V(x)的非負(fù)性和連續(xù)性，可得x(T)以1的概率趨于0。因此，系統(tǒng)在原點(diǎn)處是依概率（a.s.）穩(wěn)定的。六、計(jì)算期望：E[x(t)]=E[x(0)]+E[∫_0^t(-x(s)+σdB(s))ds]=0+E[∫_0^t-x(s)ds]+E[∫_0^tσdB(s)]=0+(-1)∫_0^tE[x(s)]ds+0（由It?引理和E[B(s)]=0）令μ(t)=E[x(t)]，則dμ(t)=-μ(t)dt,解此常微分方程得μ(t)=μ(0)e^(-t)=0(因?yàn)閤(0)=0)。所以E[x(t)]=0。計(jì)算方差：Var(x(t))=E[x(t)^2]-(E[x(t)])^2=E[x(t)^2]。使用伊藤引理，令V(x)=x^2/2，則d(x^2/2)=xdx+(σ^2/2)dt=-x^2dt+xdx+(σ^2/2)dt=-x^2dt+σ^2/2dt（因?yàn)閐x=-xdt+σdB）。所以d(x^2/2)=-x^2dt+(σ^2/2)dt。兩邊取期望E[d(x^2/2)]=E[-x^2dt]+E[(σ^2/2)dt]。由E[d(x^2/2)]=dE[x^2/2]=dVar(x)，得到dVar(x)=-Var(x)dt+(σ^2/2)dt。這是一個(gè)關(guān)于Var(x)的一階線性常微分方程，解為Var(x(t))=Var(x(0))e^(-t)=0(因?yàn)閤(0)=0)。討論矩穩(wěn)定性：均值穩(wěn)定性：由于E[x(t)]=0對(duì)所有t成立，系統(tǒng)是均值穩(wěn)定的。方差穩(wěn)定性：由于Var(x(t))=0對(duì)所有t成立，系統(tǒng)也是方差穩(wěn)定的。因此，該系統(tǒng)在原點(diǎn)處既是均值穩(wěn)定的，也是方差穩(wěn)定的，屬于矩穩(wěn)定性的一種特殊情況（完全穩(wěn)定性）。七、隨機(jī)穩(wěn)定性中的矩穩(wěn)定性是指系統(tǒng)解的某個(gè)矩（如均值或方差）收斂到0或某個(gè)有限值。例如，均值穩(wěn)定性要求E[x(t)]→0(t→∞)。幾乎必然穩(wěn)定性是指系統(tǒng)解的狀態(tài)軌跡本身幾乎肯定收斂到平衡點(diǎn)（如原點(diǎn)）。即，P(x(t)→0,t→∞)=1。一個(gè)系統(tǒng)可能滿足矩穩(wěn)定性但不滿足幾乎必然穩(wěn)定性。例如，考慮一個(gè)隨機(jī)過(guò)程x(t)=sin(t)/sqrt(t)，其均值E[x(t)]=0對(duì)所有t成立（由正弦函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性），因此是均值穩(wěn)定的。但是，x(t)的振幅隨t增大而衰減，但并不收斂到0，而是“振蕩衰減”。對(duì)于任何ε>0，存在無(wú)限多個(gè)t使得|x(t)|≥ε（盡管概率很小），因此x(t)不會(huì)幾乎必然收斂到0。這說(shuō)明，矩穩(wěn)定性關(guān)注的是統(tǒng)計(jì)平均意義上的收斂，而幾乎必然穩(wěn)定性關(guān)注的是軌跡本身在概率1意義下的收斂。八、證明：計(jì)算隨機(jī)微分：dV(x(t))=?V/?x(x(t))dx(t)+(1/2)?^2V/?x^2(x(t))b(x(t))^2dt=x(t)(-x(t)dt+0.1x(t)dB(t))+(1/2)(1)(0.1x(t))^2dt=-x(t)^2dt+0.1x(t)^2dB(t)+0.005x(t)^2dt=-0.995x(t)^2dt+0.1x(t)^2dB(t).需要驗(yàn)證dV(x(t))+q(x)V(x(t))dx(t)≤0。假設(shè)q(x)=1，則dV(x(t))+V(x(t))dx(t)=(-0.995x(t)^2dt+0.1x(t)^2dB(t))+(x^2/2)(-xdt+0.1xdB(t))=-0.995x^2dt+0.1x^2dB(t)-(1/2)x^3dt+0.05x^3dB(t)=(-0.995x^2-0.5x^3)dt+(0.1x^2+0.05x^3)dB(t).我們需要此表達(dá)式≤0。觀察上式，第二項(xiàng)是關(guān)于B(t)的隨機(jī)項(xiàng)，不影響期望的“非正性”。要使整個(gè)表達(dá)式在概率意義上非正，其漂移項(xiàng)（dt系數(shù)）必須非正。漂移項(xiàng)為(-0