2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——大學(xué)數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)的非線性優(yōu)化考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.下列哪個(gè)選項(xiàng)不屬于非線性優(yōu)化問題的常見類型？A.無約束優(yōu)化問題B.約束優(yōu)化問題C.線性規(guī)劃問題D.非線性規(guī)劃問題2.在非線性優(yōu)化中，目標(biāo)函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x^*$處的一階泰勒展開式近似為$f(x)\approxf(x^*)+\nablaf(x^*)^T(x-x^*)$，該近似的前提是$x$與$x^*$足夠接近。這個(gè)近似所依據(jù)的原理是：A.凸性原理B.局部線性化原理C.二次逼近原理D.最優(yōu)性條件原理3.對(duì)于無約束優(yōu)化問題$\minf(x)$，如果函數(shù)$f(x)$在$x^*$處的梯度$\nablaf(x^*)=0$，并且海森矩陣$H(x^*)$正定，那么$x^*$一定是：A.局部最優(yōu)解B.全局最優(yōu)解C.非可行解D.以上都不是4.梯度下降法在每次迭代中都是沿著目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度方向搜索新的點(diǎn)，其主要優(yōu)點(diǎn)是：A.收斂速度最快B.對(duì)初始點(diǎn)選擇不敏感C.總能找到全局最優(yōu)解D.計(jì)算簡單，易于實(shí)現(xiàn)5.牛頓法利用了二階導(dǎo)數(shù)信息，其搜索方向通常由哪個(gè)向量決定？A.梯度$\nablaf(x)$B.海森矩陣$H(x)$C.海森矩陣的逆$H(x)^{-1}$D.梯度的負(fù)方向$\nablaf(x)^T$二、填空題1.非線性優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)$f(x)$和約束條件$g_i(x)$可以分為等式約束和不等式約束兩種類型。2.擬牛頓法通過構(gòu)造一個(gè)近似海森矩陣的矩陣$B_k$來避免直接計(jì)算海森矩陣，其中BFGS算法是一種常用的擬牛頓法。3.在約束優(yōu)化問題中，KKT條件是判別可行解是否為最優(yōu)解的一組必要條件（在某些條件下也是充分條件）。4.對(duì)于一個(gè)凸優(yōu)化問題，任意局部最優(yōu)解都是全局最優(yōu)解。5.如果非線性優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)都是線性的，那么該問題就轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題。三、計(jì)算題1.考慮無約束優(yōu)化問題$\minf(x)=x_1^2+2x_2^2-4x_1x_2$。請(qǐng)計(jì)算函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x=(1,1)^T$處的梯度$\nablaf(x)$和海森矩陣$H(x)$。2.使用梯度下降法求解$\minf(x)=x_1^2+x_2^2$，初始點(diǎn)為$x^{(0)}=(1,1)^T$，學(xué)習(xí)率$\alpha=0.1$。請(qǐng)計(jì)算前兩次迭代后的點(diǎn)$x^{(1)}$和$x^{(2)}$。3.考慮約束優(yōu)化問題$\minf(x)=x_1^2+x_2^2$，約束條件為$g(x)=x_1+x_2-1\leq0$。請(qǐng)寫出該問題的KKT條件。四、證明題1.證明：如果一個(gè)無約束優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)$f(x)$在$x^*$處二階可微，并且$x^*$是$f(x)$的局部最優(yōu)解，那么$\nablaf(x^*)=0$且$H(x^*)$半正定。2.證明：梯度下降法在每次迭代中都會(huì)使得目標(biāo)函數(shù)值$f(x)$下降，即$f(x^{(k+1)})\leqf(x^{(k)})$。假設(shè)目標(biāo)函數(shù)$f(x)$在$x^{(k)}$處是凸的。五、綜合應(yīng)用題某公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，每單位產(chǎn)品A的利潤為3元，每單位產(chǎn)品B的利潤為2元。生產(chǎn)每單位產(chǎn)品A需要1小時(shí)設(shè)備和2公斤原材料，生產(chǎn)每單位產(chǎn)品B需要1小時(shí)設(shè)備和1公斤原材料。公司每周可用的設(shè)備時(shí)間為100小時(shí)，原材料為120公斤。請(qǐng)建立該問題的數(shù)學(xué)模型，并使用合適的非線性優(yōu)化方法（例如梯度下降法）求解該公司如何安排兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，才能獲得最大利潤。試卷答案一、選擇題1.C2.B3.B4.D5.C二、填空題1.約束2.牛頓3.KKT4.全局最優(yōu)解5.線性規(guī)劃三、計(jì)算題1.解：$\nablaf(x)=\begin{bmatrix}\frac{\partialf}{\partialx_1}\\\frac{\partialf}{\partialx_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2x_1-4x_2\\4x_2-4x_1\end{bmatrix}$代入$x=(1,1)^T$，得$\nablaf(x)=\begin{bmatrix}-2\\0\end{bmatrix}$$H(x)=\begin{bmatrix}\frac{\partial^2f}{\partialx_1^2}&\frac{\partial^2f}{\partialx_1\partialx_2}\\\frac{\partial^2f}{\partialx_2\partialx_1}&\frac{\partial^2f}{\partialx_2^2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&-4\\-4&4\end{bmatrix}$代入$x=(1,1)^T$，得$H(x)=\begin{bmatrix}2&-4\\-4&4\end{bmatrix}$2.解：迭代公式：$x^{(k+1)}=x^{(k)}-\alpha\nablaf(x^{(k)})$第一次迭代：$\nablaf(x^{(0)})=\begin{bmatrix}2x_1^{(0)}\\2x_2^{(0)}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}$$x^{(1)}=x^{(0)}-\alpha\nablaf(x^{(0)})=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}-0.1\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.8\\0.8\end{bmatrix}$第二次迭代：$\nablaf(x^{(1)})=\begin{bmatrix}2x_1^{(1)}\\2x_2^{(1)}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1.6\\1.6\end{bmatrix}$$x^{(2)}=x^{(1)}-\alpha\nablaf(x^{(1)})=\begin{bmatrix}0.8\\0.8\end{bmatrix}-0.1\begin{bmatrix}1.6\\1.6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.64\\0.64\end{bmatrix}$3.解：KKT條件：$\nablaf(x)=\begin{bmatrix}2x_1\\2x_2\end{bmatrix}$$\nablag(x)=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$1.可行性條件：$g(x)=x_1+x_2-1\leq0$2.多余性條件：$\lambda\geq0$且$\lambdag(x)=0$，即$\lambda(x_1+x_2-1)=0$3.鞍點(diǎn)條件：$\nablaf(x)+\lambda\nablag(x)=0$，即$\begin{bmatrix}2x_1\\2x_2\end{bmatrix}+\lambda\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$四、證明題1.證明：因?yàn)?x^*$是局部最優(yōu)解，根據(jù)無約束優(yōu)化的一階最優(yōu)性條件，有$\nablaf(x^*)=0$。因?yàn)?f(x)$在$x^*$處二階可微，根據(jù)二階最優(yōu)性條件，如果$x^*$是局部最優(yōu)解，則$H(x^*)$半正定。因此，$\nablaf(x^*)=0$且$H(x^*)$半正定。2.證明：梯度下降法迭代公式：$x^{(k+1)}=x^{(k)}-\alpha\nablaf(x^{(k)})$計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值差：$f(x^{(k+1)})-f(x^{(k)})$$=f(x^{(k)}-\alpha\nablaf(x^{(k)}))-f(x^{(k)})$$=f(x^{(k)})+\nablaf(x^{(k)})^T(-\alpha\nablaf(x^{(k)}))-f(x^{(k)})+o(\alpha^2)$$=-\alpha\nablaf(x^{(k)})^T\nablaf(x^{(k)})+o(\alpha^2)$$=-\alpha||\nablaf(x^{(k)})||^2+o(\alpha^2)$因?yàn)?\alpha>0$，$||\nablaf(x^{(k)})||^2\geq0$，所以$f(x^{(k+1)})-f(x^{(k)})\leq0$。假設(shè)目標(biāo)函數(shù)$f(x)$在$x^{(k)}$處是凸的，根據(jù)定義，對(duì)于任意$x$，有$f(x)\geqf(x^{(k)})+\nablaf(x^{(k)})^T(x-x^{(k)})$。令$x=x^{(k+1)}=x^{(k)}-\alpha\nablaf(x^{(k)})$，代入上式得：$f(x^{(k+1)})\geqf(x^{(k)})+\nablaf(x^{(k)})^T(x^{(k+1)}-x^{(k)})$$=f(x^{(k)})+\nablaf(x^{(k)})^T(-\alpha\nablaf(x^{(k)}))$$=f(x^{(k)})-\alpha||\nablaf(x^{(k)})||^2$因此，$f(x^{(k+1)})-f(x^{(k)})\leq0$。五、綜合應(yīng)用題解：1.建立數(shù)學(xué)模型：目標(biāo)函數(shù)：$\maxZ=3x_1+2x_2$約束條件：$x_1+x_2\leq100$(設(shè)備時(shí)間約束)$2x_1+x_2\leq120$(原材料約束)$x_1\geq0,x_2\geq0$(非負(fù)約束)2.使用梯度下降法求解：將問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題：$\minf(x_1,x_2)=-3x_1-2x_2$約束條件仍然有效。初始點(diǎn)：$x^{(0)}=(0,0)^T$學(xué)習(xí)率：$\alpha=0.1$迭代公式：$x^{(k+1)}=x^{(k)}-\alpha\nablaf(x^{(k)})=\begin{bmatrix}x_1^{(k)}\\x_2^{(k)}\end{bmatrix}-0.1\begin{bmatrix}-3\\-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1^{(k)}+0.3\\x_2^{(k)}+0.2\end{bmatrix}$由于目標(biāo)函數(shù)無界，梯度下降法無法直接得到最優(yōu)解。需要添加懲罰項(xiàng)將約束加入目標(biāo)函數(shù)，形成增廣拉格朗日函數(shù)：$L(x_1,x_2,\lambda_1,\lambda_2)=-3x_1-2x_2+\lambda_1(x_1+x_2-100)+\lambda_2(2x_1+x_2-120)$其中$\lambda_1,\lambda_2\geq0$。求解$\nablaL=0$：$\begin{cases}