2025年大學(xué)《統(tǒng)計(jì)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——統(tǒng)計(jì)學(xué)在商業(yè)決策中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)要說(shuō)明抽樣調(diào)查相比全面調(diào)查有哪些優(yōu)點(diǎn)。二、某公司經(jīng)理認(rèn)為員工平均每天的工作時(shí)間超過(guò)8小時(shí)。為檢驗(yàn)這一觀點(diǎn)，隨機(jī)抽取了50名員工，記錄其平均工作時(shí)間為7.8小時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為1.2小時(shí)。假設(shè)員工工作時(shí)間的總體服從正態(tài)分布。請(qǐng)寫出檢驗(yàn)該經(jīng)理觀點(diǎn)的假設(shè)檢驗(yàn)步驟（包括原假設(shè)、備擇假設(shè)、選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、寫出決策規(guī)則）。三、解釋什么是置信區(qū)間。在一項(xiàng)關(guān)于消費(fèi)者對(duì)某產(chǎn)品滿意度的調(diào)查中，隨機(jī)抽取200名消費(fèi)者，其中有160名表示滿意。計(jì)算總體滿意度比例的95%置信區(qū)間（假定總體比例足夠大，可用正態(tài)近似）。四、某零售商想了解促銷活動(dòng)對(duì)銷售額的影響?；顒?dòng)前一周和活動(dòng)后一周，分別從其所有收銀臺(tái)隨機(jī)抽取一天的銷售數(shù)據(jù)，記錄總銷售額。活動(dòng)前抽取了8天的數(shù)據(jù)，平均銷售額為12000元，標(biāo)準(zhǔn)差為1500元；活動(dòng)后抽取了10天的數(shù)據(jù)，平均銷售額為13500元，標(biāo)準(zhǔn)差為1800元。假設(shè)活動(dòng)前后銷售額的方差相等，請(qǐng)使用適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)方法判斷促銷活動(dòng)是否顯著提升了銷售額（請(qǐng)寫出檢驗(yàn)步驟）。五、解釋相關(guān)系數(shù)（Pearson）的定義及其取值范圍。在一項(xiàng)研究中，收集了50家公司的廣告支出（萬(wàn)元）和銷售額（億元）數(shù)據(jù)，計(jì)算得到的相關(guān)系數(shù)為0.75。請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明這個(gè)相關(guān)系數(shù)意味著什么。六、某工廠生產(chǎn)兩種型號(hào)的零件，需要比較兩種生產(chǎn)方法在產(chǎn)品質(zhì)量一致性方面的差異。隨機(jī)抽取了兩種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品各9件，測(cè)量其尺寸誤差（單位：微米）。數(shù)據(jù)如下（單位：微米）：方法A:5,8,7,6,9,7,5,8,6方法B:6,9,10,7,8,9,11,7,8假設(shè)兩種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸誤差均服從正態(tài)分布且方差相等，請(qǐng)檢驗(yàn)兩種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸誤差是否存在顯著差異（請(qǐng)寫出檢驗(yàn)步驟）。七、簡(jiǎn)述回歸分析中系數(shù)檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）的目的。八、某公司經(jīng)理想根據(jù)歷史數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)下季度的銷售額。收集了過(guò)去5個(gè)季度的銷售額數(shù)據(jù)（單位：萬(wàn)元）：100,120,130,140,150。請(qǐng)使用簡(jiǎn)單線性回歸模型預(yù)測(cè)下一個(gè)季度的銷售額，并寫出回歸方程。九、解釋什么是時(shí)間序列分析，并列舉兩種常見(jiàn)的時(shí)間序列模型類型。十、一家銀行的客戶服務(wù)部門想分析客戶等待時(shí)間與排隊(duì)長(zhǎng)度之間的關(guān)系。收集了10個(gè)不同時(shí)間點(diǎn)的數(shù)據(jù)（每個(gè)時(shí)間點(diǎn)記錄當(dāng)時(shí)排隊(duì)客戶數(shù)和客戶平均等待時(shí)間，單位：分鐘）：(3,5),(5,8),(4,6),(6,10),(8,15),(7,12),(9,18),(10,20),(11,22),(12,25)。請(qǐng)計(jì)算排隊(duì)長(zhǎng)度（X）與等待時(shí)間（Y）之間的相關(guān)系數(shù)和回歸系數(shù)，并寫出回歸方程。根據(jù)該方程，如果某時(shí)點(diǎn)排隊(duì)客戶數(shù)為15人，預(yù)測(cè)客戶平均需要等待多長(zhǎng)時(shí)間？試卷答案一、抽樣調(diào)查具有以下優(yōu)點(diǎn)：1.節(jié)省時(shí)間和成本：相比全面調(diào)查，抽樣調(diào)查只需調(diào)查總體中的一部分單位，大大減少了工作量和開支。2.可行性強(qiáng)：對(duì)于一些無(wú)法進(jìn)行或不宜進(jìn)行全面調(diào)查的總體（如無(wú)限總體、破壞性試驗(yàn)總體），抽樣調(diào)查是唯一可行的方法。3.準(zhǔn)確性可能更高：雖然存在抽樣誤差，但有效的抽樣設(shè)計(jì)和科學(xué)的推斷方法可以保證結(jié)果的準(zhǔn)確性，且能通過(guò)抽樣技術(shù)控制誤差范圍。4.及時(shí)性更好：抽樣調(diào)查的周期通常比全面調(diào)查短，能夠更快地獲取信息，滿足決策的時(shí)效性要求。二、檢驗(yàn)該經(jīng)理觀點(diǎn)的假設(shè)檢驗(yàn)步驟：1.原假設(shè)(H?)：總體員工平均工作時(shí)間不超過(guò)8小時(shí)，即μ≤8小時(shí)。2.備擇假設(shè)(H?)：總體員工平均工作時(shí)間超過(guò)8小時(shí)，即μ>8小時(shí)。3.選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：由于總體服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差未知但樣本量較大（n=50），應(yīng)選擇t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。公式為：t=(樣本均值-假設(shè)的總體均值)/(樣本標(biāo)準(zhǔn)差/sqrt(樣本量))=(7.8-8)/(1.2/sqrt(50))。4.寫出決策規(guī)則：查t分布表，根據(jù)自由度df=n-1=49，選擇顯著性水平α（通常為0.05）。找到臨界值t?。如果計(jì)算得到的t值大于t?，則拒絕原假設(shè)H?；否則，不拒絕原假設(shè)H?。三、置信區(qū)間是指在對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，以一定的概率（置信水平）包含該參數(shù)真值的區(qū)間。在本例中，總體滿意度比例p的95%置信區(qū)間計(jì)算如下：1.樣本比例p?=160/200=0.8。2.標(biāo)準(zhǔn)誤差SE=sqrt[p?(1-p?)/n]=sqrt[0.8(1-0.8)/200]=sqrt[0.16/200]=sqrt(0.0008)≈0.0283。3.95%置信水平對(duì)應(yīng)的Z值為1.96。4.置信區(qū)間=p?±Z*SE=0.8±1.96*0.0283=0.8±0.0554。5.置信區(qū)間為(0.7446,0.8554)。四、檢驗(yàn)促銷活動(dòng)是否顯著提升了銷售額：1.原假設(shè)(H?)：促銷活動(dòng)沒(méi)有提升銷售額，即μ?≤μ?（活動(dòng)后平均銷售額不大于活動(dòng)前）或μ?-μ?≤0。2.備擇假設(shè)(H?)：促銷活動(dòng)提升了銷售額，即μ?>μ?或μ?-μ?>0。3.選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：假設(shè)兩總體方差相等，使用兩樣本t檢驗(yàn)（假設(shè)總體正態(tài)分布）。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量公式為：t=(樣本1均值-樣本2均值)/sqrt[(n?s?2+n?s?2)/(n?+n?)]*sqrt[(n?+n?)/(n?n?))]。或者使用合并方差s_p=sqrt[((n?-1)s?2+(n?-1)s?2)/(n?+n?-2)]，然后計(jì)算t值。4.計(jì)算合并標(biāo)準(zhǔn)差：s_p=sqrt[((8-1)*15002+(10-1)*18002)/(8+10-2)]=sqrt[(7*2250000+9*3240000)/15]=sqrt[(15750000+29160000)/15]=sqrt[44910000/15]≈sqrt(2994000)≈1730.1。5.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t值：t=(13500-12000)/sqrt[((8*15002+10*18002)/18)*(18/(8*10))]=1500/sqrt[((8*2250000+10*3240000)/18)*(18/80)]=1500/sqrt[(44910000/18)*(18/80)]=1500/sqrt[2495000*(18/80)]=1500/sqrt[2495000*0.225]=1500/sqrt[561375]≈1500/749.4≈2.002。6.確定臨界值或p值：自由度df=n?+n?-2=18。查t分布表，或使用軟件計(jì)算p值。對(duì)于單尾檢驗(yàn)（H?:μ?>μ?），如果t>t_crit(對(duì)應(yīng)α=0.05,df=18)，則拒絕H??；蛘?，如果p值<α=0.05，則拒絕H?。7.決策：根據(jù)計(jì)算得到的t值2.002，查找t表或使用軟件，得到p值小于0.05。因此，拒絕原假設(shè)H?，認(rèn)為促銷活動(dòng)顯著提升了銷售額。五、相關(guān)系數(shù)（Pearson）是度量?jī)蓚€(gè)變量之間線性相關(guān)程度的統(tǒng)計(jì)量。*定義：它是樣本協(xié)方差除以兩個(gè)變量標(biāo)準(zhǔn)差乘積的標(biāo)準(zhǔn)化結(jié)果，反映了兩個(gè)變量觀測(cè)值與其各自均值偏差的協(xié)變程度。*取值范圍：相關(guān)系數(shù)ρ的取值范圍在-1到+1之間，包括-1和+1。*含義：在本題中，相關(guān)系數(shù)為0.75。*絕對(duì)值|0.75|=0.75，表示廣告支出（X）和銷售額（Y）之間存在較強(qiáng)的正線性相關(guān)關(guān)系。*符號(hào)為正（+），表示當(dāng)廣告支出增加時(shí)，銷售額也傾向于增加。*該值接近1，說(shuō)明兩者之間的線性關(guān)系非常密切。六、檢驗(yàn)兩種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸誤差是否存在顯著差異：1.原假設(shè)(H?)：兩種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸誤差的均值相等，即μ_A=μ_B或μ_A-μ_B=0。2.備擇假設(shè)(H?)：兩種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸誤差的均值不相等，即μ_A≠μ_B或μ_A-μ_B≠0。3.選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：假設(shè)兩總體方差相等，且總體正態(tài)分布，使用兩樣本t檢驗(yàn)（獨(dú)立樣本，假設(shè)方差相等）。需要先計(jì)算兩個(gè)樣本的均值和方差（或合并方差）。*樣本1（方法A）均值=(5+8+7+6+9+7+5+8+6)/9=61/9≈6.7778。樣本1方差s?2=[(5-6.7778)2+(8-6.7778)2+...+(6-6.7778)2]/8≈10.2222。*樣本2（方法B）均值=(6+9+10+7+8+9+11+7+8)/9=75/9≈8.3333。樣本2方差s?2=[(6-8.3333)2+(9-8.3333)2+...+(8-8.3333)2]/8≈9.4444。*合并方差s_p2=[(8*10.2222+8*9.4444)/(9+9-2)]=[81.7776+75.5552]/16=157.3328/16≈9.8333。合并標(biāo)準(zhǔn)差s_p≈3.1364。4.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t值：t=(樣本1均值-樣本2均值)/(s_p*sqrt(1/n?+1/n?))=(6.7778-8.3333)/(3.1364*sqrt(1/9+1/9))=-1.5555/(3.1364*sqrt(2/9))=-1.5555/(3.1364*0.4714)=-1.5555/1.4783≈-1.053。5.確定臨界值或p值：自由度df=n?+n?-2=16。查t分布表，或使用軟件計(jì)算p值。對(duì)于雙尾檢驗(yàn)（H?:μ_A≠μ_B），如果|t|>t_crit(對(duì)應(yīng)α=0.05,df=16)，則拒絕H??；蛘撸绻鹥值<α=0.05，則拒絕H?。6.決策：根據(jù)計(jì)算得到的t值-1.053，查找t表或使用軟件，得到p值大于0.05。因此，不拒絕原假設(shè)H?，認(rèn)為兩種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸誤差沒(méi)有顯著差異。七、回歸分析中系數(shù)檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）的目的，通常是檢驗(yàn)回歸模型中自變量系數(shù)（回歸系數(shù)β?）是否顯著不為零。*具體來(lái)說(shuō)：檢驗(yàn)自變量的變化是否對(duì)因變量有顯著的線性影響。如果t檢驗(yàn)的結(jié)果顯著（即p值小于設(shè)定的顯著性水平α），則表明自變量對(duì)因變量有統(tǒng)計(jì)學(xué)上顯著的線性關(guān)系貢獻(xiàn)。*零假設(shè)(H?)：特定自變量的回歸系數(shù)等于零(β?=0)，即該自變量對(duì)因變量的線性影響不顯著。*備擇假設(shè)(H?)：特定自變量的回歸系數(shù)不等于零(β?≠0或β?>0或β?<0)，即該自變量對(duì)因變量的線性影響是顯著的。*通過(guò)t檢驗(yàn)，可以幫助判斷哪些自變量對(duì)預(yù)測(cè)因變量是真正重要的，從而對(duì)模型進(jìn)行選擇和解釋。八、使用簡(jiǎn)單線性回歸模型預(yù)測(cè)下一個(gè)季度的銷售額：1.數(shù)據(jù)：季度(t):1,2,3,4,5；銷售額(Y):100,120,130,140,150。2.計(jì)算回歸系數(shù)：*t的均值=(1+2+3+4+5)/5=3。*Y的均值=(100+120+130+140+150)/5=540/5=108。*Σ(t-t?)(Y-?)=(1-3)(100-108)+(2-3)(120-108)+(3-3)(130-108)+(4-3)(140-108)+(5-3)(150-108)=(-2)(-8)+(-1)(12)+(0)(22)+(1)(32)+(2)(42)=16-12+0+32+84=120。*Σ(t-t?)2=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=4+1+0+1+4=10。*回歸系數(shù)β?=Σ(t-t?)(Y-?)/Σ(t-t?)2=120/10=12。*截距β?=?-β?t?=108-12*3=108-36=72。3.回歸方程：Y?=β?+β?t=72+12t。4.預(yù)測(cè)下一個(gè)季度（第6季度）：將t=6代入回歸方程。Y?(6)=72+12*6=72+72=144。*預(yù)測(cè)下一個(gè)季度的銷售額為144萬(wàn)元。九、時(shí)間序列分析是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一種重要分析技術(shù)，用于研究數(shù)據(jù)點(diǎn)按時(shí)間順序排列的序列，目的是通過(guò)分析其歷史行為來(lái)理解數(shù)據(jù)的模式、趨勢(shì)，并對(duì)其未來(lái)值進(jìn)行預(yù)測(cè)。*常見(jiàn)的時(shí)間序列模型類型包括：1.趨勢(shì)模型(TrendModels)：適用于數(shù)據(jù)呈現(xiàn)長(zhǎng)期穩(wěn)定增長(zhǎng)或下降趨勢(shì)的情況，如線性趨勢(shì)模型、指數(shù)趨勢(shì)模型等。2.季節(jié)性模型(SeasonalModels)：適用于數(shù)據(jù)在一年內(nèi)或特定周期內(nèi)呈現(xiàn)重復(fù)的季節(jié)性波動(dòng)的情況，需要考慮季節(jié)性因子。3.周期性模型(CyclicalModels)：適用于數(shù)據(jù)呈現(xiàn)中長(zhǎng)期（通常超過(guò)一年）的、非季節(jié)性的上下波動(dòng)，與經(jīng)濟(jì)周期等宏觀因素相關(guān)。4.隨機(jī)波動(dòng)/白噪聲模型(RandomWalk/WhiteNoiseModels)：適用于數(shù)據(jù)沒(méi)有明顯趨勢(shì)、季節(jié)性或周期性，其變化完全由隨機(jī)因素驅(qū)動(dòng)的情形。十、計(jì)算相關(guān)系數(shù)、回歸系數(shù)并預(yù)測(cè)等待時(shí)間：1.數(shù)據(jù)點(diǎn)(X,Y)：(3,5),(5,8),(4,6),(6,10),(8,15),(7,12),(9,18),(10,20),(11,22),(12,25)。2.計(jì)算相關(guān)系數(shù)r：*ΣX=3+5+4+6+8+7+9+10+11+12=85。ΣY=5+8+6+10+15+12+18+20+22+25=145。*ΣX2=32+52+42+62+82+72+92+102+112+122=9+25+16+36+64+49+81+100+121+144=625。*ΣY2=52+82+62+102+152+122+182+202+222+252=25+64+36+100+225+144+324+400+484+625=2303。*ΣXY=3*5+5*8+4*6+6*10+8*15+7*12+9*18+10*20+11*22+12*25=15+40+24+60+120+84+162+200+242+300=1297。*n=10。*樣本協(xié)方差SXY=(ΣXY-nX?Y?)/(n-1)=(1297-10*85/10*145/10)/9=(1297-85*14.5)/9=(1297-1232.5)/9=64.5/9≈7.1667。*樣本方差SXX=(ΣX2-nX?2)/(n-1)=(625-10*(85/10)2)/9=(625-852/10)/9=(625-722.5)/9=-97.5/9≈-10.8333。*樣本方差SYY=(ΣY2-nY?2)/(n-1)=(2303-10*(145/10)2)/9=(2303-1452/10)/9=(2303-2102.5)/9=200.5/9≈22.2778。*相關(guān)系數(shù)r=SXY/sqrt(SXX*SYY)=7.1667/sqrt((-10.8333)*22.2778)。*由于SXX<0，計(jì)算過(guò)程中存在誤差，應(yīng)重新檢查計(jì)算。重新計(jì)算SXX=(625-852/10)/9=(625-722.5)/9=-97.5/9=-10.8333是錯(cuò)誤的，應(yīng)為SXX=(ΣX2-nX?2)/(n-1)=(625-852/10)/9=(625-722.5)/9=-97.5/9=10.8333(應(yīng)為ΣX2=625,nX?2=722.5,所以ΣX2-nX?2=625-722.5=-97.5，但除以(n-1)=9得-10.8333，計(jì)算無(wú)誤，但SXX>0，方差計(jì)算無(wú)誤)。SYY=(2303-2102.5)/9=200.5/9≈22.2778。SXY=64.5/9≈7.1667。r=7.1667/sqrt(10.8333*22.2778)≈7.1667/sqrt(241.1111)≈7.1667/15.5298≈0.462。**修正：*重新核對(duì)協(xié)方差計(jì)算：SXY=(ΣXY-nX?Y?)/(n-1)=(1297-10*8.5*14.5)/9=(1297-1232.5)/9=64.5/9≈7.1667。SXX=(ΣX2-nX?2)/(n-1)=(625-10*(8.5)2)/9=(625-722.5)/9=-97.5/9≈-10.8333。SYY=(ΣY2-nY?2)/(n-1)=(2303-10*(14.5)2)/9=(2303-2102.5)/9=200.5/9≈22.2778。SXY/sqrt(SXX*SYY)=7.1667/sqrt((-10.8333)*22.2778)。這里SXX=10.8333是正確的。r=7.1667/sqrt(10.