2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)中的有限元方法考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)）1.有限元方法的基本思想源于變分原理，下列哪個原理是有限元方法中最常用的變分原理？（）A.最小勢能原理B.最大功原理C.最小余能原理D.最小曲率原理2.在有限元離散過程中，將求解域劃分為有限個單元的主要目的是？（）A.提高計算精度B.簡化數(shù)學(xué)模型C.使求解域有限化，便于構(gòu)造近似解D.減少計算量3.對于線性有限元方程KU=F，其中K是剛度矩陣，U是節(jié)點位移向量，F(xiàn)是節(jié)點載荷向量。下列說法正確的是？（）A.剛度矩陣K一定是奇異矩陣。B.剛度矩陣K一定是正定矩陣。C.剛度矩陣K的元素僅與單元的幾何形狀和材料屬性有關(guān)。D.如果采用直接法求解，K的帶寬與網(wǎng)格劃分無關(guān)。4.在一維線性有限元分析中，如果采用分段線性插值函數(shù)，則每個單元內(nèi)的場變量（如溫度、位移）可以表示為？（）A.場變量的精確值B.場變量的線性組合C.場變量的高次多項式D.場變量的指數(shù)函數(shù)5.有限元方法的收斂性是指當(dāng)網(wǎng)格加密（h趨于0）時，有限元的近似解Uh是否收斂于精確解U。收斂性通常要求近似解收斂于精確解的哪個量級？（）A.一階B.二階C.三階D.無窮階二、填空題（每空2分，共20分。請將答案填在橫線上）6.加權(quán)余量法是有限元方法的一種思想來源，其基本思想是用加權(quán)函數(shù)對控制方程（如微分方程）的余量進行某種意義上的______，從而得到代數(shù)方程組。7.在有限元分析中，形函數(shù)φ?(x)用于將節(jié)點變量U?與單元內(nèi)任意一點x的場變量u(x)聯(lián)系起來，它滿足的性質(zhì)是：在節(jié)點x?處φ?(x?)=______，在節(jié)點x?處（j≠i）φ?(x?)=______。8.對于二維等參數(shù)單元，其形函數(shù)通常采用______函數(shù)構(gòu)造，單元內(nèi)的位移場可以表示為節(jié)點位移的線性組合。9.在建立有限元方程的過程中，單元方程組裝成整體方程的主要依據(jù)是______原理和______原理。10.對于大型稀疏線性方程組KU=F，常用的直接求解方法有高斯消元法、LU分解等，而常用的迭代求解方法有雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法、______等。三、簡答題（每小題5分，共15分）11.簡述伽遼金（Galerkin）方法在有限元分析中的基本思想。12.什么是有限元方法的“分片插值”思想？為什么要采用這種思想？13.在有限元分析中，什么是單元的“形函數(shù)”？它需要滿足哪些基本性質(zhì)？四、計算題（每小題10分，共20分）14.考慮一根長度為L、截面積為A、楊氏模量為E的均勻桿，在右端受集中力F作用，左端固定。試用一維線性有限元方法（取兩個單元，即三個節(jié)點）對該桿的軸向位移進行離散分析。要求：a)建立節(jié)點位移變量和節(jié)點力向量的表示。b)推導(dǎo)單個線性單元的剛度矩陣k??。c)組裝整體剛度矩陣K和整體載荷向量F。d)（不要求求解）寫出代數(shù)方程組KU=F的具體形式。15.已知一個二維三角形常應(yīng)變單元的節(jié)點坐標分別為(0,0),(1,0),(0,1)，材料泊松比為ν，楊氏模量為E。試用形狀函數(shù)N?推導(dǎo)該單元的應(yīng)變矩陣B和剛度矩陣k。（提示：常應(yīng)變單元的應(yīng)變矩陣B是常數(shù)矩陣）五、證明題（10分）16.證明：對于一維線性單元，如果采用分段線性插值函數(shù)（形函數(shù)為N?），則由此推導(dǎo)出的有限元方法能夠得到精確解，即當(dāng)精確解是線性函數(shù)時，有限元解與精確解完全一致。試卷答案一、選擇題1.A解析思路：有限元方法最常用的是基于能量原理的變分方法，特別是最小勢能原理，用于求解彈性力學(xué)、熱傳導(dǎo)等問題。2.C解析思路：有限元的核心思想是將無限域問題離散為有限個子區(qū)域（單元）的問題，通過在單元內(nèi)構(gòu)造近似函數(shù)，將復(fù)雜問題簡化為在有限區(qū)域上求解更容易處理的代數(shù)方程組。3.B解析思路：對于線性彈性問題，在線性彈性假設(shè)下，剛度矩陣K是對稱正定矩陣。即使不滿足正定條件（如非結(jié)構(gòu)問題），它也是對稱矩陣。直接法求解涉及高斯消元，其帶寬與存儲結(jié)構(gòu)有關(guān)，但理論上矩陣本身不是帶寬無關(guān)。4.B解析思路：有限元采用形函數(shù)（插值函數(shù)）對單元內(nèi)的場變量進行插值，對于線性單元，形函數(shù)是線性的，因此場變量在單元內(nèi)是節(jié)點值的線性組合。5.B解析思路：有限元方法的收斂性理論通常要求近似解的誤差（如最大誤差、能量誤差）至少以h2的速度收斂于零，即二階收斂性。這是線性完全二次有限元保證的基本收斂階。二、填空題6.最小化解析思路：加權(quán)余量法（如伽遼金法）選擇加權(quán)函數(shù)與單元基函數(shù)一致，通過最小化加權(quán)余量的平方和或某種范數(shù)，得到加權(quán)余量方程，最終轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組。7.1,0解析思路：形函數(shù)的一個重要性質(zhì)是“局部支撐性”和“規(guī)范性”，即在第i個節(jié)點處，形函數(shù)值為1，在其它節(jié)點處（包括節(jié)點j）值為0。8.位移（或標量、向量）解析思路：二維等參數(shù)單元通常使用二次或更高次的插值函數(shù)（如雙線性、雙二次），這些函數(shù)需要是定義在二維區(qū)域上的函數(shù)，最常見的是位移場、溫度場或電位場等標量或向量場。9.局部-整體解析思路：單元方程組裝成整體方程的過程包括：首先在局部坐標系下建立單元方程（單元剛度矩陣k??和單元載荷向量f?），然后將單元節(jié)點與整體節(jié)點一一對應(yīng)，通過節(jié)點編號將所有單元方程累加（矩陣塊對角占位相加，非對角塊按節(jié)點連接累加），形成整體剛度矩陣K和整體載荷向量F。10.共軛梯度法（或其他迭代法如SOR）解析思路：雅可比和高斯-賽德爾是兩種最基本的迭代法。對于大型稀疏線性方程組，特別是對稱正定矩陣，共軛梯度法（CG）是一種高效的迭代求解方法。三、簡答題11.伽遼金方法的基本思想是：將求解域內(nèi)的控制方程（通常是微分方程形式的平衡方程或守恒方程）的余量（即方程不滿足的程度）與一個加權(quán)函數(shù)（通常選擇與近似解的基函數(shù)相同的函數(shù)）在求解域內(nèi)進行加權(quán)積分，使得加權(quán)余量的積分（或某種范數(shù)）為零。通過這種方式，將微分方程離散化為代數(shù)方程組。12.分片插值思想是將求解域劃分為有限個子區(qū)域（單元），在每個單元內(nèi)部使用相對簡單的插值函數(shù)（如線性函數(shù)、多項式函數(shù)）來近似描述未知場變量。這樣做的原因是：①整體域上構(gòu)造高階光滑插值函數(shù)可能非常復(fù)雜甚至不切實際；②分片構(gòu)造可以在每個小區(qū)域上使用簡單函數(shù)保證穩(wěn)定性，并且當(dāng)網(wǎng)格加密時，近似解能夠收斂到精確解；③計算上更容易實現(xiàn)。13.單元的形函數(shù)（或稱基函數(shù)、插值函數(shù)）是在單元內(nèi)部將節(jié)點處的待求變量（如位移、溫度）與單元內(nèi)任意一點的待求變量聯(lián)系起來的一種插值函數(shù)。它需要滿足以下基本性質(zhì)：①在單元的每一個節(jié)點上，形函數(shù)的值為1；②在單元內(nèi)部的任意一點，所有形函數(shù)的和為1；③形函數(shù)是連續(xù)的（至少一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，取決于單元類型）；④滿足分片插值思想的要求。四、計算題14.a)設(shè)節(jié)點位移向量為U=[u?,u?,u?]?，節(jié)點力向量為F=[F?,F?,F?]?，其中u?是左端（固定端）位移，u?是右端位移，F(xiàn)?=F是施加的載荷。b)單元剛度矩陣k??的推導(dǎo)基于虛功原理或最小勢能原理。對于線性單元，其貢獻與單元的應(yīng)變能有關(guān)。設(shè)單元長度為L/2，節(jié)點力為F/2。單個單元的剛度矩陣為k=(EA/L)*[1-1;-11]。將其擴展為整體剛度矩陣的塊K??,K??,K??,K??。c)組裝整體剛度矩陣K和整體載荷向量F：K=(EA/L)*[2-10;-12-1;0-11]F=[0;F;0]d)代數(shù)方程組KU=F的具體形式為：(EA/L)*[2-10;-12-1;0-11]*[u?;u?;u?]?=[0;F;0]?15.解析思路：常應(yīng)變單元的應(yīng)變矩陣B是一個常數(shù)矩陣。首先寫出節(jié)點位移表示的單元內(nèi)位移插值形式u(x,y)=Σ?N?(x,y)u?。然后根據(jù)應(yīng)變定義ε=B*U，對于二維問題，ε=[ε?,ε?,γ??]?=B*[u??,u??,u??;u??,u??,u??]?。由于是常應(yīng)變單元，B是常數(shù)矩陣。根據(jù)幾何關(guān)系，ε?=?u/?x=(u??-u??)/Δx，ε?=?u/?y=(u??-u??)/Δy，γ??=?u/?y+?u/?x=(u??+u??+u??+u??)/Δx。將節(jié)點坐標代入計算單元尺寸Δx,Δy。最終得到B矩陣，然后根據(jù)剛度矩陣k=t*B?*E*B計算單元剛度矩陣k。其中t是單元厚度。五、證明題16.證明思路：1.設(shè)精確解u(x)是線性函數(shù)，u(x)=α+βx。2.采用一維線性單元，形函數(shù)為N?(x)=1-x，N?(x)=x。單元節(jié)點在x=0和x=L處。3.單元內(nèi)位移場近似為u?(x)=N?(x)u?+N?(x)u?=(1-x)u?+xu?。4.若要有限元解與精確解一致，則需u?(0)=u(0)且u?(L)=u(L)。5.u?(0)=(1-0)u?+0*u?=u?。根據(jù)精確解u(x)=α+βx，u(0)=α，所以u?=α。6.u?(L)=(1-L)u?+L*u?=(1-L)α+Lu?。根據(jù)精確解u(x)=α+βx，u(L)=α+βL，所以