2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——概率分布及其在醫(yī)療統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)，求λ的值。2.設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ,σ2)，Y=(X-μ)/σ服從什么分布？請(qǐng)說明理由。3.寫出χ2分布的定義，并說明其自由度對(duì)分布形狀的影響。二、1.某醫(yī)院急診室每小時(shí)到達(dá)的患者人數(shù)近似服從泊松分布，平均每小時(shí)到達(dá)3名患者。求：(1)一小時(shí)內(nèi)恰好到達(dá)5名患者的概率。(2)一小時(shí)內(nèi)到達(dá)的患者數(shù)不超過3名的概率。2.某項(xiàng)血液檢測指標(biāo)服從正態(tài)分布N(100,42)。隨機(jī)抽取一名患者，其檢測指標(biāo)值X超出正常范圍（即小于80或大于120）的概率是多少？三、1.某種疾病的發(fā)病率極低，據(jù)估計(jì)在人群中某一年內(nèi)發(fā)病的概率為0.0001?，F(xiàn)對(duì)10000人進(jìn)行篩查，求一年內(nèi)恰好有2人發(fā)病的概率。試用泊松分布近似計(jì)算，并說明理由。四、1.某臨床試驗(yàn)旨在比較新藥A與安慰劑B治療某種疾病的療效。隨機(jī)抽取100名患者，均分為兩組，分別接受藥物A和安慰劑B治療。記錄治療后病情改善情況，得到如下數(shù)據(jù)：*接受藥物A治療組：改善85人，未改善15人。*接受安慰劑B治療組：改善60人，未改善40人。試檢驗(yàn)在新藥A和安慰劑B的療效之間是否存在顯著差異。（假設(shè)病情改善人數(shù)服從二項(xiàng)分布，α=0.05）五、1.為了評(píng)估某地成年男性的平均身高，隨機(jī)抽取了25名成年男性，測得樣本均值為170cm，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為10cm。假設(shè)成年男性身高近似服從正態(tài)分布，試求該地成年男性平均身高的95%置信區(qū)間。2.某研究想比較兩種不同方法（方法1和方法2）制備的同一種藥物，其有效成分含量是否一致。隨機(jī)抽取10份樣品，用兩種方法分別測定，得到如下數(shù)據(jù)（單位：mg）：*方法1：98,102,96,105,100,99,97,103,101,100*方法2：97,101,100,98,99,102,96,104,97,100假設(shè)兩種方法測定的有效成分含量均服從正態(tài)分布，且方差相等，試檢驗(yàn)兩種方法的平均測定值是否存在顯著差異。（α=0.05）六、1.在一項(xiàng)關(guān)于某種遺傳病的研究中，觀察到1000個(gè)后裔，其中有160個(gè)表現(xiàn)出該遺傳病。以往經(jīng)驗(yàn)表明，該遺傳病為顯性遺傳，發(fā)病概率為0.1。試檢驗(yàn)根據(jù)本次觀察結(jié)果，是否可以認(rèn)為該遺傳病的實(shí)際發(fā)病概率顯著高于0.1？（α=0.01）七、1.某醫(yī)院想知道某項(xiàng)診斷測試的準(zhǔn)確性。對(duì)已確診的100名患者進(jìn)行該項(xiàng)測試，結(jié)果如下：確診為陽性的85人，確診為陰性的15人；其中非確診者中，測試結(jié)果為陰性的90人，測試結(jié)果為陽性的10人。(1)計(jì)算該項(xiàng)診斷測試的靈敏度（Sensitivity）和特異度（Specificity）。(2)解釋靈敏度和特異度各自的含義。八、1.為了研究吸煙與肺癌發(fā)病率的關(guān)系，調(diào)查了500名成年人，得到如下列聯(lián)表數(shù)據(jù)：||肺癌（患?。﹟未患肺癌（健康）|合計(jì)||:----------|:-----------|:---------------|:---------||吸煙者|a|b|a+b||不吸煙者|c|d|c+d||合計(jì)|a+c|b+d|500|假設(shè)吸煙與患肺癌之間沒有關(guān)聯(lián)，試用χ2檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)吸煙與肺癌發(fā)病率之間是否存在關(guān)聯(lián)。（α=0.05）試卷答案一、1.λ=2(解析：P(X=1)=λ^1*e^(-λ)/1!=λe^(-λ)；P(X=2)=λ^2*e^(-λ)/2!=λ2e^(-λ)/2。由P(X=1)=P(X=2)得λe^(-λ)=λ2e^(-λ)/2，化簡得λ=2)2.Y服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)(解析：根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，若X~N(μ,σ2)，則Z=(X-μ)/σ～N(0,1)。這里μ=μ,σ=σ，故Y=(X-μ)/σ～N(0,1))3.定義：若隨機(jī)變量X由n個(gè)獨(dú)立同分布的服從N(0,1)的隨機(jī)變量X?,...,Xn的平方和構(gòu)成，即X=X?2+...+Xn2，則稱X服從自由度為n的χ2分布，記為X～χ2(n)。自由度n影響分布形狀：n越小，分布越偏左，峰越低，尾端右側(cè)越長；n越大，分布越對(duì)稱，趨于正態(tài)分布。)二、1.(1)P(X=5)=(e^(-3)*3^5)/5!≈0.1008(解析：X~P(3)，P(X=k)=(e^(-λ)*λ^k)/k!，代入λ=3,k=5)(2)P(X≤3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=e^(-3)*(1+3+9/2+27/6)≈0.4232(解析：X~P(3)，計(jì)算P(X=0),P(X=1),P(X=2),P(X=3)的和?；蚶?-P(X≥4)=1-[P(X=4)+P(X=5)+...]=1-e^(-3)*(3^4/4!+3^5/5!+...)≈0.4232)2.P(X<80或X>120)=1-P(80≤X≤120)=1-[Φ((120-100)/4)-Φ((80-100)/4)]=1-[Φ(2.5)-Φ(-2.5)]=1-(2Φ(2.5)-1)=2(1-Φ(2.5))≈0.0104(解析：X~N(100,16)，首先將邊界值標(biāo)準(zhǔn)化為Z分?jǐn)?shù)，利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表或函數(shù)計(jì)算累積概率，最后根據(jù)區(qū)間概率性質(zhì)計(jì)算.)三、1.λ=np=10000*0.0001=1。P(X=2)=(e^(-1)*1^2)/2!≈0.1839(解析：發(fā)病率極低，樣本量大，可用泊松分布近似二項(xiàng)分布。n=10000,p=0.0001，λ=np=1。計(jì)算P(X=2)=(e^(-λ)*λ^2)/2!)四、1.H?：新藥A與安慰劑B的療效無顯著差異（即兩組改善率相同）。H?：新藥A與安慰劑B的療效有顯著差異。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：χ2=[(85-75)2/75]+[(15-25)2/25]+[(60-75)2/75]+[(40-25)2/25]=4+4+4+16=28查χ2分布表，自由度df=(2-1)×(2-1)=1，α=0.05的臨界值為χ2?.05(1)=3.841。因?yàn)?8>3.841，所以拒絕H?。結(jié)論：在新藥A和安慰劑B的療效之間存在顯著差異。五、1.μ的95%置信區(qū)間：樣本均值為170，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=10，樣本量n=25，自由度df=n-1=24。查t分布表，t_(0.025,24)≈2.064。置信區(qū)間=170±(2.064*10/√25)=170±4.128=(165.872,174.128)cm。2.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：t=(x??-x??)/√(s_p2(1/n?+1/n?))，其中s_p2=[(n?-1)s?2+(n?-1)s?2]/(n?+n?-2)。s?2=[(98-101)2+(102-101)2+...+(100-101)2]/9=26/9，s?2=[(97-100)2+(101-100)2+...+(100-100)2]/9=27/9。s_p2=[(9*26/9+9*27/9)/18]=(26+27)/9=53/9。s_p=√(53/9)≈2.415。t=(98.6-99.0)/√[(53/9)(1/10+1/10)]=-0.4/√(53/90)≈-0.4/0.769=-0.521。查t分布表，df=18，α=0.05的雙側(cè)臨界值為t_(0.025,18)≈2.101。因?yàn)閨-0.521|<2.101，所以不拒絕H?。結(jié)論：兩種方法的平均測定值之間沒有顯著差異。六、1.H?：實(shí)際發(fā)病概率p=0.1。H?：實(shí)際發(fā)病概率p>0.1。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：z=(p?-p)/√(p(1-p)/n)，其中p?=160/1000=0.16，n=1000。z=(0.16-0.1)/√(0.1*0.9/1000)=0.06/√(0.00009)=0.06/0.00966≈6.206。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，α=0.01的單側(cè)臨界值為z?.01≈2.33。因?yàn)?.206>2.33，所以拒絕H?。結(jié)論：可以認(rèn)為該遺傳病的實(shí)際發(fā)病概率顯著高于0.1。七、1.(1)靈敏度(Sensitivity)=真陽性率=TP/(TP+FN)=85/(85+15)=85/100=0.85。特異度(Specificity)=真陰性率=TN/(TN+FP)=90/(90+10)=90/100=0.90。(2)靈敏度表示的是確診患者中被測試出陽性的比例，反映了測試發(fā)現(xiàn)實(shí)際患病者的能力。特異度表示的是健康者中被測試出陰性的比例，反映了測試排除實(shí)際健康者的能力。八、1.H?：吸煙與肺癌發(fā)病率無關(guān)聯(lián)。H?：吸煙與肺癌發(fā)病率有關(guān)聯(lián)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：χ2=Σ(觀測頻數(shù)-期望頻數(shù))2/期望頻數(shù)。期望頻數(shù)E=(行合計(jì)*列合計(jì))/總合計(jì)。E??=(a+c)*(a+b)/500,E??=(a+b)*(b+d)/500,E??=(c+d)*(a+c)/500,E??=(c+d)*(b+d)/500。χ2=[(a-E??)2/E??+(b-E??)2/E??+(c-E??)2/E??+(d-E??)2/E??]。代入a=85,b=15,c=90,d=40，計(jì)算各項(xiàng)期望頻數(shù)：E??=(85+90)*(85+15)/500=175*100/500=35；E??=(85+15)*(15+40)/500=100*55/500=11；E??=(90+40)*(85+15)/500=130*100/500=26；E??=(90+40)*(15+40)/500=130*55/500=14.3。χ2=[(85-