2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)在智能社區(qū)建設(shè)中的作用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題2分，共20分）1.在一個(gè)智能社區(qū)中，某個(gè)公共設(shè)施的使用情況服從泊松分布，平均每天使用次數(shù)為3次?，F(xiàn)隨機(jī)觀察一天，該設(shè)施至少被使用1次的概率約為多少？2.某智能社區(qū)通過(guò)傳感器收集居民能耗數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)能耗數(shù)據(jù)近似服從正態(tài)分布。為了評(píng)估節(jié)能措施的效果，需要計(jì)算能耗數(shù)據(jù)的置信區(qū)間。如果樣本容量為100，樣本均值為200kWh，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為30kWh，那么95%置信區(qū)間大約是多少？3.在智能社區(qū)的交通管理中，需要設(shè)計(jì)一個(gè)排隊(duì)模型來(lái)優(yōu)化路口信號(hào)燈配時(shí)。假設(shè)某路口車輛到達(dá)服從指數(shù)分布，平均每2分鐘到達(dá)一輛車，車輛通過(guò)路口的時(shí)間服從均勻分布，介于1到3分鐘之間。該路口的TrafficIntensity(ρ)大約是多少？4.為提高智能社區(qū)的安全性，安裝了視頻監(jiān)控和入侵檢測(cè)系統(tǒng)。視頻監(jiān)控識(shí)別人臉的準(zhǔn)確率為98%，入侵檢測(cè)系統(tǒng)的準(zhǔn)確率為95%。假設(shè)一個(gè)人是入侵者的概率為1%，如果系統(tǒng)發(fā)出入侵警報(bào)，那么該人是真正入侵者的概率（即真陽(yáng)性率）大約是多少？5.某智能社區(qū)需要規(guī)劃一個(gè)無(wú)線網(wǎng)絡(luò)覆蓋方案。已知社區(qū)中心區(qū)域信號(hào)強(qiáng)度服從瑞利分布，平均信號(hào)強(qiáng)度為-80dBm。為了確保99%的用戶能獲得至少-90dBm的信號(hào)強(qiáng)度，需要設(shè)計(jì)多強(qiáng)的信號(hào)發(fā)射功率？6.在智能社區(qū)的能源管理中，需要根據(jù)天氣預(yù)報(bào)和實(shí)時(shí)能耗數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)未來(lái)負(fù)荷。以下哪種統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法最適合用于這種時(shí)間序列預(yù)測(cè)任務(wù)？7.線性回歸模型在智能社區(qū)數(shù)據(jù)分析中應(yīng)用廣泛。當(dāng)模型中出現(xiàn)多重共線性時(shí)，可能會(huì)導(dǎo)致什么問(wèn)題？8.在智能社區(qū)的數(shù)據(jù)加密中，RSA算法依賴于大素?cái)?shù)分解的困難性。如果已知兩個(gè)大素?cái)?shù)p和q，計(jì)算它們的乘積n=p*q相對(duì)容易，但根據(jù)n反推p和q被認(rèn)為是困難的。這種性質(zhì)體現(xiàn)了密碼學(xué)中的什么原理？9.圖論中的最短路徑算法在智能社區(qū)的哪些場(chǎng)景中有應(yīng)用？（多選）10.在機(jī)器學(xué)習(xí)模型評(píng)估中，過(guò)擬合是指什么情況？二、填空題（每題3分，共15分）1.在智能社區(qū)的資源分配問(wèn)題中，如果使用線性規(guī)劃模型，其目標(biāo)函數(shù)通常表示為_(kāi)_______的最大化或最小化。2.為了分析智能社區(qū)居民的出行模式，可以構(gòu)建一個(gè)________模型，節(jié)點(diǎn)代表社區(qū)內(nèi)的重要位置，邊代表可能的出行路徑及其耗時(shí)。3.在使用機(jī)器學(xué)習(xí)進(jìn)行智能社區(qū)異常事件檢測(cè)時(shí)，如果將誤報(bào)（FalsePositive）率控制在5%，那么漏報(bào)（FalseNegative）率可能會(huì)如何變化（請(qǐng)描述一般趨勢(shì)）？4.描述一組智能社區(qū)傳感器數(shù)據(jù)分布形態(tài)的常用統(tǒng)計(jì)量包括均值、中位數(shù)、方差和________。5.在智能社區(qū)的網(wǎng)絡(luò)安全防護(hù)中，防火墻通常工作在________層。三、解答題（每題6分，共30分）1.某智能社區(qū)有兩個(gè)入口，每個(gè)入口的車輛通過(guò)時(shí)間服從獨(dú)立同分布的指數(shù)隨機(jī)變量，均值為2分鐘。為了減少排隊(duì)時(shí)間，社區(qū)考慮安裝一個(gè)智能道閘系統(tǒng)，該系統(tǒng)能將通過(guò)時(shí)間縮短到1.5分鐘。請(qǐng)計(jì)算在高峰時(shí)段（單位時(shí)間到達(dá)4輛車），安裝道閘系統(tǒng)前后，平均等待時(shí)間的變化。2.假設(shè)某智能社區(qū)內(nèi)一種常見(jiàn)疾病的發(fā)病率為0.1%。社區(qū)引入了一種新的快速檢測(cè)方法，該方法的真陽(yáng)性率（患病者檢測(cè)為陽(yáng)性的概率）為95%，假陽(yáng)性率（未患病者檢測(cè)為陽(yáng)性的概率）為5%。如果隨機(jī)抽取一人進(jìn)行檢測(cè)，結(jié)果為陽(yáng)性，那么該人確實(shí)患有這種疾病的概率是多少？3.在智能社區(qū)的能源管理中，需要根據(jù)歷史數(shù)據(jù)建立溫度與空調(diào)能耗的關(guān)系模型。收集到一組數(shù)據(jù)：當(dāng)室外溫度為15,18,20,23,25℃時(shí)，相應(yīng)的空調(diào)能耗（單位：kWh）為50,45,40,35,30。請(qǐng)計(jì)算簡(jiǎn)單線性回歸方程的斜率和截距。4.在智能社區(qū)中，某個(gè)區(qū)域的WiFi信號(hào)強(qiáng)度（單位：dBm）與距離中心點(diǎn)的距離（單位：米）近似滿足指數(shù)衰減關(guān)系。已知距離中心點(diǎn)10米處信號(hào)強(qiáng)度為-70dBm，請(qǐng)建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型描述信號(hào)強(qiáng)度S與距離d的關(guān)系。5.假設(shè)一個(gè)智能社區(qū)的安全系統(tǒng)由三個(gè)獨(dú)立的傳感器組成，每個(gè)傳感器的故障概率為0.05。系統(tǒng)設(shè)計(jì)為至少有兩個(gè)傳感器正常工作才能發(fā)出警報(bào)。請(qǐng)計(jì)算該安全系統(tǒng)正常工作的概率。四、綜合應(yīng)用題（每題15分，共30分）1.某智能社區(qū)計(jì)劃在一個(gè)公園內(nèi)設(shè)置多個(gè)充電樁。已知公園內(nèi)每天總充電需求（單位：輛·小時(shí)）服從正態(tài)分布，均值為200，標(biāo)準(zhǔn)差為30。每個(gè)充電樁的平均服務(wù)能力為10輛·小時(shí)/天。為了滿足至少95%的充電需求，需要設(shè)置多少個(gè)充電樁？（提示：可以使用正態(tài)分布的分位數(shù)）2.某智能社區(qū)通過(guò)分析居民健康數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)居民的日常步數(shù)與心率有較強(qiáng)的線性關(guān)系。收集到一組樣本數(shù)據(jù)（步數(shù)x，心率y）：（2000,75），（4000,80），（6000,85），（8000,90），（10000,95）。請(qǐng)：a.建立步數(shù)與心率之間的簡(jiǎn)單線性回歸模型。b.計(jì)算該模型的決定系數(shù)R2，并簡(jiǎn)要解釋其含義。c.如果某居民某天的步數(shù)為7000步，請(qǐng)預(yù)測(cè)其大致的心率。試卷答案一、選擇題1.1-e^(-3)≈0.95022.(194.9,205.1)3.1.5/(1+1.5)=0.64.P(入侵者|警報(bào))=P(警報(bào)|入侵者)P(入侵者)/P(警報(bào))=0.98*0.01/(0.98*0.01+0.05*0.99)≈0.1655.需要信號(hào)強(qiáng)度≥-90dBm。P(S≥-90)=1-P(S<-90)=1-(S/μ)^(2)*erf((S-μ)/sqrt(2*σ^2))，其中μ=-80,σ=10,S=-90。計(jì)算得概率約為0.00135，需要發(fā)射功率使得P(S≥-90)≥0.99，或等效地，S的均值μ需要顯著高于-90，具體數(shù)值需通過(guò)仿真或查表確定，通常需要遠(yuǎn)高于-80dBm，例如-60dBm左右。6.ARIMA模型（自回歸積分滑動(dòng)平均模型）或LSTM（長(zhǎng)短期記憶網(wǎng)絡(luò)）7.模型系數(shù)估計(jì)不穩(wěn)定，預(yù)測(cè)結(jié)果不可靠8.困難性原理（HardnessAssumption）9.社區(qū)網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃、交通流量分析、設(shè)施布局優(yōu)化10.模型對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)過(guò)度，泛化能力差二、填空題1.總效益/總成本或目標(biāo)函數(shù)值2.圖論/網(wǎng)絡(luò)流/優(yōu)化3.可能增加/顯著增加（因?yàn)閷⒏嗳苏`判為異常，導(dǎo)致需要更多資源確認(rèn)）4.線性相關(guān)系數(shù)/協(xié)方差5.網(wǎng)絡(luò)層/OSI3層三、解答題1.系統(tǒng)無(wú)道閘時(shí)，到達(dá)率λ=4輛/分鐘，服務(wù)率μ=1/2=0.5輛/分鐘，交通強(qiáng)度ρ=λ/μ=2。平均等待時(shí)間Wq=ρ/(μ(1-ρ))=2/(0.5(1-2))=-4分鐘（物理意義無(wú)解，說(shuō)明系統(tǒng)已癱瘓）。系統(tǒng)有道閘時(shí)，服務(wù)率μ'=1/1.5≈0.667輛/分鐘，交通強(qiáng)度ρ'=λ/μ'≈4/0.667≈6。平均等待時(shí)間Wq'=ρ'/(μ'(1-ρ'))=6/(0.667(1-6))≈-1.1分鐘（物理意義無(wú)解，說(shuō)明系統(tǒng)已癱瘓）。注意：此題模型假設(shè)和計(jì)算結(jié)果可能與現(xiàn)實(shí)不完全符合，主要考察基本排隊(duì)論公式應(yīng)用。更合理的模型可能是M/M/1/∞或M/G/1，這里簡(jiǎn)化處理。假設(shè)題目意圖是計(jì)算穩(wěn)定狀態(tài)下的平均等待，則無(wú)道閘時(shí)Wq=8分鐘，有道閘時(shí)Wq'=2分鐘。變化量為8-2=6分鐘。2.使用貝葉斯定理：P(患病|陽(yáng)性)=P(陽(yáng)性|患病)P(患病)/P(陽(yáng)性)。P(陽(yáng)性)=P(陽(yáng)性|患病)P(患病)+P(陽(yáng)性|未患病)P(未患病)=0.95*0.01+0.05*0.99=0.0595。P(患病|陽(yáng)性)=(0.95*0.01)/0.0595≈0.1613.計(jì)算均值：x?=(15+18+20+23+25)/5=21。計(jì)算y?=(50+45+40+35+30)/5=40。計(jì)算斜率b:b=Σ(xi-x?)(yi-y?)/Σ(xi-x?)2=[(15-21)(50-40)+(18-21)(45-40)+(20-21)(40-40)+(23-21)(35-40)+(25-21)(30-40)]/[(15-21)2+(18-21)2+(20-21)2+(23-21)2+(25-21)2]=[-6*10-3*5+0*0-2*(-5)+4*(-10)]/[36+9+1+4+16]=[-60-15+0+10-40]/66=-105/66=-35/22≈-1.59。計(jì)算截距a:a=y?-b*x?=40-(-35/22)*21=40+35*21/22=40+735/22=(880+735)/22=1615/22≈73.41?；貧w方程：y≈-1.59x+73.414.指數(shù)衰減模型：S=S?*e^(-k*d)。已知d=10時(shí)S=-70，d=0（假設(shè)中心點(diǎn)）時(shí)S=S?。S?=-70/e^(-k*10)。無(wú)法僅憑一個(gè)點(diǎn)確定k，需要兩個(gè)點(diǎn)或額外信息。如果補(bǔ)充一個(gè)距離d?和信號(hào)強(qiáng)度S?，可以解出k和S?。例如，假設(shè)d?=20,S?=-75，則-75=S?*e^(-k*20)，聯(lián)立求解S?和k。這里只給出模型形式。更常見(jiàn)的模型可能是S=S?-k*d，當(dāng)d=10時(shí)S=-70，d=0時(shí)S=S?，所以S?=-70，模型為S=-70-k*d。同樣，僅一個(gè)點(diǎn)無(wú)法確定k。5.每個(gè)傳感器正常工作的概率為1-0.05=0.95。系統(tǒng)正常工作需要至少兩個(gè)傳感器正常工作?？梢允褂醚a(bǔ)事件：系統(tǒng)不正常工作的概率是所有傳感器都失效，或只有1個(gè)傳感器失效。P(不正常)=P(全部失效)+P(恰一個(gè)失效)=(0.05)^3+C(3,1)*(0.95)*(0.05)^2=0.000125+3*0.95*0.0025=0.000125+0.007125=0.00725。系統(tǒng)正常工作的概率=1-P(不正常)=1-0.00725=0.99275四、綜合應(yīng)用題1.需求超過(guò)供應(yīng)的概率P(Demand>Supply)=P(Demand>10*N)。設(shè)需求X~N(200,302)。需要計(jì)算P(X>10*N)≥0.95。即P(X≤10*N)≤0.05。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，Z對(duì)應(yīng)于0.05的左側(cè)分位數(shù)約為-1.645。標(biāo)準(zhǔn)化：-1.645=(10*N-200)/30。解得10*N=200-1.645*30=200-49.35=150.65。N=150.65/10=15.065。因?yàn)槌潆姌稊?shù)量必須是整數(shù)，且需要滿足至少95%的需求，所以需要向上取整。需要設(shè)置16個(gè)充電樁。2.a.計(jì)算均值：x?=6000,y?=85。計(jì)算斜率b:b=Σ(xi-x?)(yi-y?)/Σ(xi-x?)2=[(2000-6000)(75-85)+(4000-6000)(80-85)+(6000-6000)(85-85)+(8000-6000)(90-85)+(10000-6000)(95-85)]/[(2000-6000)2+(4000-6000)2+(6000-6000)2+(8000-6000)2+(10000-6000)2]=[(-4000)*(-10)+(-2000)*(-5)+0*0+2000*5+4000*10]/[16000000+4000000+0+4000000+16000000]=[40000+10000+0+10000+40000]/36000000=70000/36000000=7/3600=7/3600。計(jì)算截距a:a=y?-b*x?=85-(7/3600)*6000=85-7*6=85-42=43。回歸方程：y=43+(7/3600)x。b.計(jì)算R2:R2=[b*Σ(xi-x?)(yi-y?)]2/[Σ(xi-x?)2*Σ(yi-y?)2]。Σ(yi-y?)2=[(75-85)2+(80-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(95-85)2]=100+25+0+25+100=250。R2=[(7/3600)*7