2025年大學(xué)《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——統(tǒng)計(jì)學(xué)對(duì)環(huán)境保護(hù)的推動(dòng)考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述描述性統(tǒng)計(jì)在環(huán)境監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)初步分析中的作用，并列舉至少三種常用的描述性統(tǒng)計(jì)量及其在環(huán)境保護(hù)中可能的應(yīng)用場(chǎng)景。二、假設(shè)某城市為了評(píng)估兩種不同的垃圾處理方法（方法A和方法B）對(duì)土壤中重金屬含量（單位：mg/kg）的影響，分別在采用兩種方法處理的區(qū)域隨機(jī)采集了10個(gè)土壤樣本，測(cè)得鉛（Pb）含量數(shù)據(jù)如下：方法A：15.2,14.8,16.1,15.5,14.9,15.3,15.0,14.7,15.6,15.1方法B：17.5,16.9,17.2,17.0,16.8,17.4,16.6,17.1,17.3,16.7請(qǐng)寫出運(yùn)用假設(shè)檢驗(yàn)分析兩種垃圾處理方法對(duì)土壤中鉛含量是否存在顯著差異的完整步驟，包括提出假設(shè)、選擇檢驗(yàn)方法、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（或p值）以及做出結(jié)論的依據(jù)。假設(shè)數(shù)據(jù)近似服從正態(tài)分布且方差相等。三、在研究某河流水體中溶解氧（DO）含量與水溫的關(guān)系時(shí)，收集了以下數(shù)據(jù)（單位：mg/L）：水溫（°C）：8,10,12,14,16,18,20溶解氧（mg/L）：9.5,10.2,10.8,11.5,12.0,12.6,13.0請(qǐng)計(jì)算水溫與溶解氧之間的Pearson相關(guān)系數(shù)，并解釋該系數(shù)的值說(shuō)明了水溫與溶解氧之間存在怎樣的線性關(guān)系強(qiáng)度和方向。若要預(yù)測(cè)水溫為15°C時(shí)的溶解氧含量，請(qǐng)簡(jiǎn)述使用簡(jiǎn)單線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)的步驟，并寫出回歸方程的表達(dá)式。四、某環(huán)保部門對(duì)某市工業(yè)區(qū)周邊空氣中的PM2.5濃度進(jìn)行了為期一周的監(jiān)測(cè)，每天在固定時(shí)間點(diǎn)采集樣本，得到以下數(shù)據(jù)（單位：μg/m3）：周一：35,38,42,36,39周二：40,43,45,41,44周三：37,40,38,39,41周四：36,37,35,38,40周五：39,42,40,43,41請(qǐng)分析這五天內(nèi)該區(qū)域PM2.5濃度的變化情況，并使用合適的統(tǒng)計(jì)方法檢驗(yàn)這五天的平均PM2.5濃度是否存在顯著差異。請(qǐng)簡(jiǎn)述分析步驟并說(shuō)明結(jié)論。五、為了評(píng)估某種新型空氣凈化技術(shù)（技術(shù)X）的效果，研究人員在實(shí)驗(yàn)室模擬了污染環(huán)境，將相同初始濃度的PM2.5氣體分別置于使用技術(shù)X和傳統(tǒng)技術(shù)（技術(shù)Y）的兩種凈化裝置中，每小時(shí)測(cè)量并記錄凈化后的PM2.5濃度（單位：μg/m3），數(shù)據(jù)如下：技術(shù)X（n=6）：18,15,17,16,19,14技術(shù)Y（n=6）：25,23,27,24,26,22請(qǐng)計(jì)算兩種凈化技術(shù)的平均PM2.5去除率，并進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，以判斷兩種技術(shù)的平均去除效果是否存在顯著差異。請(qǐng)說(shuō)明檢驗(yàn)的步驟和關(guān)鍵結(jié)論。六、某研究人員欲調(diào)查某地區(qū)居民對(duì)垃圾分類政策的支持程度，采用隨機(jī)抽樣方法抽取了200名居民進(jìn)行調(diào)查，其中支持垃圾分類的居民有150人。請(qǐng)計(jì)算樣本支持率的點(diǎn)估計(jì)值，并構(gòu)建該地區(qū)居民總體支持率的95%置信區(qū)間（假設(shè)支持率近似服從正態(tài)分布）。請(qǐng)寫出計(jì)算過(guò)程和區(qū)間表達(dá)式。七、假設(shè)一項(xiàng)研究表明，某地區(qū)河流水體中的鎘（Cd）濃度與上游某工業(yè)區(qū)廢水排放量之間存在線性相關(guān)關(guān)系，其簡(jiǎn)單線性回歸方程為`Cd濃度=0.5+0.08*排放量`。請(qǐng)解釋回歸系數(shù)`0.08`的含義。若該工業(yè)區(qū)的廢水排放量預(yù)計(jì)將增加10%，請(qǐng)根據(jù)此回歸方程預(yù)測(cè)鎘濃度的變化幅度，并簡(jiǎn)述這一預(yù)測(cè)所基于的假設(shè)及其潛在的不確定性。試卷答案一、描述性統(tǒng)計(jì)通過(guò)計(jì)算和整理數(shù)據(jù)，概括環(huán)境監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的特征，如集中趨勢(shì)（均值、中位數(shù)）、離散程度（方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差）和分布形態(tài)（偏度、峰度），幫助初步了解環(huán)境狀況，識(shí)別異常值，為后續(xù)推斷分析提供基礎(chǔ)。應(yīng)用場(chǎng)景包括：計(jì)算年平均氣溫、月均降雨量；分析不同區(qū)域污染物濃度的分布差異；比較不同年份水體富營(yíng)養(yǎng)化指標(biāo)的變化趨勢(shì)等。二、1.提出假設(shè)：*H?：兩種方法處理后的土壤鉛含量均值相等(μ_A=μ_B)*H?：兩種方法處理后的土壤鉛含量均值不等(μ_A≠μ_B)2.選擇檢驗(yàn)方法：由于比較兩個(gè)獨(dú)立樣本的均值，且假設(shè)數(shù)據(jù)近似正態(tài)分布且方差相等，選擇獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)（EqualVariancesAssumed）。3.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：*計(jì)算樣本均值：`bar(X)_A=(15.2+...+15.1)/10=15.25`,`bar(X)_B=(17.5+...+16.7)/10=17.0`*計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差：`s_A=sqrt[sum(X_A-bar(X)_A)2/(n_A-1)]≈0.516`,`s_B=sqrt[sum(X_B-bar(X)_B)2/(n_B-1)]≈0.603`*計(jì)算合并方差估計(jì)：`s_p2=[(n_A-1)s_A2+(n_B-1)s_B2]/(n_A+n_B-2)≈0.309`*計(jì)算合并標(biāo)準(zhǔn)差：`s_p=sqrt(0.309)≈0.556`*計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量：`t=(bar(X)_A-bar(X)_B)/(s_p*sqrt(1/n_A+1/n_B))=(15.25-17.0)/(0.556*sqrt(1/10+1/10))≈-3.162`4.確定p值或臨界值：自由度`df=n_A+n_B-2=18`。對(duì)于雙尾檢驗(yàn)，查t分布表或使用軟件，得到p值非常小（p<0.01）。5.做出結(jié)論：由于p值小于顯著性水平α（通常α=0.05），拒絕原假設(shè)H?。有充分證據(jù)表明兩種垃圾處理方法對(duì)土壤中鉛含量存在顯著差異。三、1.計(jì)算Pearson相關(guān)系數(shù)r：*計(jì)算各項(xiàng)之和：`sum(X)=98`,`sum(Y)=83.6`,`sum(X2)=1304`,`sum(Y2)=918.92`,`sum(XY)=1124.8`*計(jì)算離差平方和與離差積和：`sum(X2)-n(bar(X))2=1304-7*(98/7)2=1304-1372/7=1304-196=1108`,`sum(Y2)-n(bar(Y))2=918.92-7*(83.6/7)2=918.92-5856.96/49=918.92-119.224=799.696`,`sum(XY)-n(bar(X)bar(Y))=1124.8-7*(98/7)*(83.6/7)=1124.8-1372*83.6/49=1124.8-114.88=1009.92`*計(jì)算r：`r=(sum(XY)-n(bar(X)bar(Y)))/sqrt[(sum(X2)-n(bar(X))2)*(sum(Y2)-n(bar(Y))2)]=1009.92/sqrt(1108*799.696)≈1009.92/sqrt(886529.328)≈1009.92/941.558≈0.972`2.解釋r值：Pearson相關(guān)系數(shù)r≈0.972，接近1，表明水溫與溶解氧之間存在很強(qiáng)的正線性相關(guān)關(guān)系。即水溫升高，溶解氧含量也隨之顯著升高。四、1.分析變化情況：計(jì)算五天的日均值分別為：周一38.0,周二42.4,周三39.0,周四37.6,周五40.0。PM2.5濃度整體處于波動(dòng)狀態(tài)，周二濃度最高，周四最低，平均濃度在37.6至42.4μg/m3之間。2.檢驗(yàn)方法選擇與步驟：選擇單因素方差分析（One-wayANOVA），檢驗(yàn)五天的平均PM2.5濃度是否存在顯著差異。*提出假設(shè)：H?：五天的平均PM2.5濃度相等；H?：至少兩天的平均PM2.5濃度不等。*計(jì)算組間平方和（SS_between）、組內(nèi)平方和（SS_within）、處理均值（bar(Y)_i）、總均值（bar(Y)_total）、總樣本量n=25。*計(jì)算均方：MS_between=SS_between/(k-1),MS_within=SS_within/(n-k)，其中k=5（天數(shù)）。*計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量：F=MS_between/MS_within。*查F分布表或使用軟件，得到p值。假設(shè)計(jì)算得到的p值小于0.05。3.結(jié)論：由于p值小于顯著性水平α=0.05，拒絕原假設(shè)H?。表明這五天的平均PM2.5濃度存在顯著差異。五、1.計(jì)算平均去除率：*技術(shù)X平均去除率：`bar(Y)_X=(sum(X_X)/n_X)/(sum(X_Y)/n_Y)*100%=(18+...+14)/6/(25+...+22)/6*100%=15.25/24.67*100%≈61.98%`*技術(shù)Y平均去除率：`bar(Y)_Y=100%-61.98%=38.02%`2.獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)步驟：*提出假設(shè)：H?：兩種技術(shù)的平均去除率相等(μ_X=μ_Y)；H?：兩種技術(shù)的平均去除率不等(μ_X≠μ_Y)。*選擇檢驗(yàn)方法：獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)（EqualVariancesAssumed，假設(shè)方差相等）。計(jì)算合并標(biāo)準(zhǔn)差`s_p`，自由度`df`。*計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量：`t=(bar(Y)_X-bar(Y)_Y)/s_p*sqrt(1/n_X+1/n_Y)`。假設(shè)計(jì)算得到`t≈-8.734`。*確定p值：自由度`df≈10`。查t分布表或使用軟件，得到p值非常小（p<0.001）。*做出結(jié)論：由于p值遠(yuǎn)小于α=0.05，拒絕H?。有極強(qiáng)證據(jù)表明兩種凈化技術(shù)的平均去除效果存在顯著差異，技術(shù)X的去除效果顯著優(yōu)于技術(shù)Y。六、1.點(diǎn)估計(jì)值：樣本支持率的點(diǎn)估計(jì)值為`p?=150/200=0.75`或75%。2.構(gòu)建95%置信區(qū)間：*計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤：`SE=sqrt[p?(1-p?)/n]=sqrt[0.75(1-0.75)/200]=sqrt[0.1875/200]=sqrt(0.0009375)≈0.0306`*查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得到95%置信水平對(duì)應(yīng)的臨界值`z*≈1.96`。*計(jì)算置信區(qū)間：`(p?-z*SE,p?+z*SE)=(0.75-1.96*0.0306,0.75+1.96*0.0306)≈(0.75-0.0604,0.75+0.0604)=(0.6896,0.8104)`3.置信區(qū)間表達(dá)式：該地區(qū)居民總體支持率的95%置信區(qū)間為(0.6896,0.8104)或(68.96%,81.04%)。七、1.解釋回歸系數(shù)：回歸系數(shù)`0.08`的含義是，當(dāng)工業(yè)區(qū)的廢水排放量每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)計(jì)河流水體中的鎘（Cd