高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省保定市部分示范高中2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線的方向向量為且經(jīng)過兩點，則（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】由題意可得，，所以.故選：A.2.若橢圓上一點與焦點的距離為1，則點與另一個焦點的距離是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】由題可得.故選：D.3.已知為空間向量且，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題在方向上的投影向量為.故選：C.4.已知直線和直線，則“”是“”的（）A既不充分又不必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.充要條件【答案】D【解析】若“”，則，所以“”是“”的充要條件.故選：D.5.已知空間四點的坐標(biāo)分別是，記點到直線的距離為，記點到平面的距離為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，所以點到直線的距離為；設(shè)平面的一個法向量為，則，即，可取，所以，而，所以點到平面的距離為．所以.故選：C．6.已知圓，圓，則圓與圓公切線條數(shù)有（）A.4條 B.3條 C.2條 D.1條【答案】A【解析】由題意，所以，所以兩圓相離，所以圓與圓公切線條數(shù)有4條.故選：A7.在棱長為1的正四面體中，為棱的中點，為棱上一點且，則直線和直線夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以為基底，則，而，所以，，，從而，故直線和直線所成角的余弦值為.故選：B.8.已知橢圓的左焦點為是橢圓上的一個動點，橢圓外一點的坐標(biāo)為，若的最大值是13，則橢圓的短軸長為（）A. B.4 C.2 D.8【答案】C【解析】設(shè)橢圓的右焦點為，則，，此時，解得，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立（其中點在點之間），故短軸長為.故選:C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每個小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.下列命題不正確是（）A.兩條不重合直線的方向向量分別是，則B.直線的方向向量，平面的法向量是，則C.直線的方向向量，平面的法向量是，則直線與平面所成角為D.兩個平面的法向量分別是，則【答案】BCD【解析】對于A，由題意可得，所以，則，故A正確；對于B，，所以，則或，故B錯誤；對于C，設(shè)直線與平面所成角為，，則，故C錯誤；對于D，由，所以不共線，則也不平行，故D錯誤.故選：BCD.10.已知橢圓的兩個頂點之間的距離為3，則該橢圓的離心率可能為（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】橢圓的方程為，則，，離心率，兩個頂點之間的距離為3，可能為長軸兩頂點，短軸兩頂點或長軸和短軸的各一個頂點，或或，若，則，解得，此時，故C正確；若，則，得，此時，故D正確；若，則，解得，此時，故A正確．故選：．11.已知點在直線上，點在圓上，過點向圓作切線，切點分別為，則下列說法正確的是（）A.的最小值為B.若，則直線的方程為C.的最小值為D.的最小值為【答案】BCD【解析】由題圓心，半徑，過圓心作，垂足為，則，直線與圓相離，所以，故A錯誤；當(dāng)時，，則，故以為圓心，為半徑的圓的方程為，依題意，直線即圓與圓的公共弦，故直線的方程為，即B正確；設(shè)，因為，所以，所以當(dāng)取最大值時，取最小值，而，所以當(dāng)取最大值時，取最小值．在，此時，的最小值為，故C正確；由C項，，當(dāng)時等號成立，故D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分．12.若曲線表示橢圓，則的取值范圍為___________．【答案】【解析】曲線表示橢圓，所以或，所以的取值范圍為.故答案為：13.過點作圓的切線，則切線的方程為___________．【答案】【解析】由題可得點在圓上，所以過點作圓的切線，由于，則，所以切線的方程為：，即，故答案為：.14.如圖，平行六面體的底面為菱形，且，，請寫出平面的一個法向量___________．（注：法向量要用來表示）【答案】（答案不唯一）【解析】不妨設(shè)，易知可以作為空間向量的一組基底，且，而，設(shè)平面的一個法向量為，則由，即，化簡得，可取，故，因此平面的一個法向量為．故答案為：（答案不唯一）.四、解答題：本題共5個小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）求與圓關(guān)于直線對稱圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求經(jīng)過的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：（1）設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，由于圓,則圓心與關(guān)于直線對稱，則，解得，故所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)橢圓方程為，則由題，解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.16.已知動點與兩個定點的距離的比為，記動點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過點的直線與曲線交于兩點，若，求直線的方程．解：（1）設(shè)，則，即化簡得；所以曲線的方程為：.（2）由（1）知曲線的軌跡為圓，其圓心坐標(biāo)為，半徑當(dāng)直線斜率不存在時，的方程為，圓心到直線的距離為1，所以，故滿足題意.當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)的方程為，即，圓心到直線的距離為.所以.解得.所以方程為，即的方程為.綜上所述，直線的方程為和.17.已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是，并且經(jīng)過點．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過斜率不為0的直線交橢圓于兩點，求面積的最大值．解：（1）設(shè)橢圓，橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是，并且經(jīng)過點，，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程得，.面積，令，則，在單調(diào)遞增，，，此時，面積的最大值為3．18.如圖，四棱錐中，平面．（1）證明：；（2）若，平面與底面的夾角為．（i）求四棱錐的體積；（ii）點在平面的投影為，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：取中點，連結(jié)，因為，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，故，所以，又平面平面，所以，而，平面，所以平面，而平面，故；（2）（i）解：當(dāng)時，，所以，而平面，平面，所以，而，平面，故平面，而平面，所以，而，故即為平面與底面的夾角，故，而，故，所以四棱錐的體積；（ii）解：由（1）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點建立如圖空間直角坐標(biāo)系，故，從而，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，可取，因為平面，所以可設(shè)，設(shè)平面的一個法向量為，所以，即，即，可取，而為平面的一個法向量，故，故平面與平面夾角的余弦值.19.設(shè)兩點的坐標(biāo)分別是，直線相交于，且它們的斜率之積為，點的軌跡構(gòu)成的曲線記為．（1）曲線的方程；（2）若直線與曲線相交于不同的兩點，點是曲線上的動點（異于．（i）當(dāng)時，若直線斜率均存在，判斷是否一定是定值，并證明你的結(jié)論；（ii）當(dāng)點的坐標(biāo)為時，，求實數(shù)的取值范圍．（1）解：設(shè)點的坐標(biāo)為，則，化簡得，