高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省名?？荚嚶?lián)盟2026屆高三上學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下面四個條件中，使得成立的充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對于A中，由，則不一定成立，即充分性不成立，反之若，則一定成立，即必要性成立，所以是的必要不充分條件，所以A不符合題意；對于B中，由，則一定成立，即充分性成立，反正若，則不一定成立，即必要性不成立，所以是的充分不必要條件，所以B符合題意；對于C中，由，則不成立，即充分性不成立，反正若，則不成立，即必要性不成立，所以是的既不充分也不必要條件，所以C不符合題意；對于D中，由，則不一定成立，即充分性不成立，反正若，則不一定成立，即必要性不成立，所以是的既不充分也不必要條件，所以D不符合題意.故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以可知的虛部為.故選：D.3.與直線相切，且與圓外切的圓的圓心軌跡為（）A.橢圓 B.雙曲線的一支 C.拋物線 D.圓【答案】C【解析】記與圓外切的圓為圓，設(shè)圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，因為圓與圓外切，所以，設(shè)圓圓心到直線的距離為，則，所以，即動點到定點的距離等于到定直線的距離，由拋物線的定義知：動點的軌跡為拋物線.故選：C.4.已知圓：，過點的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為（）A.4 B. C.8 D.【答案】B【解析】如圖：結(jié)合圓的性質(zhì)可知：最長弦過圓心，所以；當(dāng)時，弦最短，此時.且，所以四邊形的面積為：.故選：B.5.已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，因為，所以，因為，要使為整數(shù)，即為整數(shù)，所以，共個，即使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是.故選：C.6.如圖，在矩形中，E，F(xiàn)分別為，的中點，G為線段上的一點，且，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題可設(shè)，則，因為，所以，解得.故選：A.7.若函數(shù)圖象與直線相鄰兩交點間的距離為，則函數(shù)的值域為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因，所以在各周期內(nèi)單調(diào)遞增，最小正周期.而該函數(shù)圖象與相鄰兩交點的距離為，即，故.所以.故，因，所以.因在上單調(diào)遞增，因此，即.所以的值域為.故選：D8.若關(guān)于的不等式有且只有一個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，，所以，令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，當(dāng)時，，且，令，則的圖象是一條過定點的直線，當(dāng)時，不符合題意；則，如圖，當(dāng)?shù)膱D象經(jīng)過時，直線的斜率分別為，不等式只有1個整數(shù)解，由圖可知.故選：.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在正三棱臺中，為的中點，則（）A. B.平面C.平面 D.平面【答案】BC【解析】取的中點為，連接，如下圖所示：因為正三棱臺中，為等邊三角形，四邊形為等腰梯形，且易知，所以四點共面，且,又，平面，所以平面，即可知平面，可得C正確；對于A，因為平面，因此，若，且，平面，所以可得平面，顯然與正三棱臺底面中心的連線不平行，所以平面不成立，即A錯誤；對于B，由正三棱臺性質(zhì)可知，又平面，平面，所以平面，可知B正確；對于D，若平面，由平面，且平面平面，所以，又因為是的中點，所以只有當(dāng)時才成立，因此D不一定正確.故選：BC.10.在中，，，則（）A. B.C.周長的最大值為6 D.面積的最大值為【答案】ACD【解析】由正弦定理可化為，則，故A正確；由正弦定理可化為，即，則，因，則，故B錯誤；因，則，得，則，，等號成立時，故C正確；因，則，得，則，等號成立時，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)有兩個零點，設(shè)其由小到大分別為，，則（）A.實數(shù)的取值范圍是 B.C. D.【答案】ABD【解析】定義域為，有兩個零點，可化為有兩個解，又由于，所以左側(cè)恒大于0，故右側(cè)也恒大于0，可得，設(shè)，則，在單調(diào)遞增，原方程可化為，由于，，都在的單調(diào)增區(qū)間里，所以，即，設(shè)，，，則時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，且恒大于0，極大值，可畫出如圖所示，則要使有兩個解，即與圖像有兩個交點，由圖像可得a的范圍是，故A選項正確；同樣由圖象可得，所以，故B選項正確；，，結(jié)合，可得，設(shè)，由于，則單調(diào)遞增,所以，故C錯誤；由于，所以，設(shè)，則,，設(shè)，，，在單調(diào)遞增，，所以，又由于，，所以，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線在處的切線方程為_____.【答案】【解析】當(dāng)時，，即切點坐標(biāo)為，且，將代入可得，即切線的斜率，由直線的點斜式可得，化簡可得.故答案為：.13.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點是的漸近線上的一點，且，，則E的離心率為_____.【答案】【解析】如圖，不妨設(shè)在直線上，且在第一象限，坐標(biāo)為，因為，，所以直線的斜率，直線的斜率，因為，所以，即，整理可得，解得，則，在中，，所以，兩邊平方可得，又，所以，即，解得或（舍）.故答案為：.14.從1，2，3，4，5，6這6個數(shù)中隨機(jī)抽一個數(shù)記為，再從中隨機(jī)抽一個數(shù)記為，則_____.【答案】【解析】已知從1，2，3，4，5，6這6個數(shù)中隨機(jī)抽一個數(shù)記為，每個數(shù)出現(xiàn)的概率相同，則，當(dāng)時，是從中隨機(jī)抽取的一個數(shù)，則服從離散均勻分布，對于離散均勻分布，其期望公式為（其中a為最小值，b為最大值），當(dāng)時，只能取1，所以；當(dāng)時，從1，2中抽取，所以；當(dāng)時，從1，2，3中抽取，所以；當(dāng)時，從1，2，3，4中抽取，所以；當(dāng)時，從1，2，3，4，5中抽取，所以；當(dāng)時，從1，2，3，4，5，6中抽取，所以，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.若等比數(shù)列的各項均大于1，其前項和為，且，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知可得，解得或，因為等比數(shù)列的各項均大于1，所以，所以數(shù)列的通項公式為；（2）由（1）知，所以，所以，所以.16.電視臺組織有獎答題活動，指定了三道題目，選手有兩種答題方案可選.方案一：回答這三道題目，至少有兩道答對則獲得獎金；方案二：在三道題中，隨機(jī)選兩道，這兩道題都答對則獲得獎金.假設(shè)小明對三道指定題目答對的概率分別為（均不為1），且三道題目是否答對相互之間沒有影響.（1）分別求小明選擇方案一和方案二時獲得獎金的概率；（2）要想使獲得獎金的可能性更大，小明應(yīng)選擇哪種答題方案?請根據(jù)數(shù)據(jù)計算說明.【答案】解：（1）設(shè)小明選擇方案一獲得獎金的概率為，則，設(shè)小明選擇方案二獲得獎金的概率為，則，（2）由，因為，所以，即，則，故小明應(yīng)選擇第一種答題方案.17.如圖，在四棱錐中，底面為邊長為2的正方形，平面，且，.（1）若平面與平面的交線為，求證：；（2）求證：；（3）是否存在球O，使得四棱錐的頂點均在此球面上?若存在，求與平面所成角的正切值；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明：因為，平面，平面，所以平面，因為平面與平面的交線為，則平面，平面，所以（2）證明：因為平面，所以，因為底面為正方形，所以，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為，，平面，所以平面，因為平面，所以（3）解：根據(jù)題意以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)四棱錐的外接球的球心，半徑為，所以，解得：，所以，則，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，取，則，，所以平面的法向量為設(shè)與平面所成角為，則，因為與平面所成角，則所以與平面所成角的正切值18.已知橢圓定義兩曲線E，F(xiàn)之間的最長距離為（1）若，求；（2）若，求；（3）若，求．【答案】解：（1）橢圓C的長半軸長為2，短半軸長為1，橢圓上距離原點最遠(yuǎn)的距離即為長半軸長，也即2．（2）設(shè)橢圓上一點，圓的圓心為，半徑，根據(jù)兩點間距離公式可得，，令，，則，則當(dāng)時，，那么橢圓上的點到圓上的點的最遠(yuǎn)距離．（3）橢圓上任取一點，橢圓上任取一點，，則，而，則，令，，，其中，而，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，當(dāng)時，，取，解得，當(dāng)時，，取，解得，則，因此兩橢圓上點的最遠(yuǎn)距離．19.已知函數(shù).（1）若，的最大值為4，求實數(shù)的所有可能取值；（2）若，函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時，比較，6和這三個數(shù)的大小，并證明你的結(jié)論.【答案】解：（1）若．因為的最大值為4，當(dāng)且僅當(dāng)，且時取等號成立