27.4正多邊形和圓素養(yǎng)目標1.知道正多邊形和圓的關(guān)系,知道正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念.2.能用正多邊形的知識解決圓的有關(guān)計算問題.3.會用量角器等分圓,會用尺規(guī)作圖作圓內(nèi)接正方形和正六邊形.重點能用正多邊形的知識解決問題;會用量角器等分圓周;會用尺規(guī)作圖作圓內(nèi)接正方形和正六邊形.【預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)】知識點正多邊形的有關(guān)概念及性質(zhì)閱讀課本本課時“例”之前的內(nèi)容,完成下面問題.正五邊形有條對稱軸,這些對稱軸都交于一點,記為O,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知,這些對稱軸是正五邊形各邊的交點,因此點O到正五邊形各頂點的距離,記為R.那么以點O為圓心、R為半徑的圓就過正五邊形的各個,它是該正五邊形的外接圓.另外,這些對稱軸也是正五邊形各內(nèi)角的平分線,根據(jù)角平分線的性質(zhì),點O到各邊的距離都,記為r,那么以點O為圓心,r為半徑的圓就與正五邊形的各邊都相切,它是正五邊形的內(nèi)切圓.

歸納總結(jié)任何正多邊形都有一個和一個.這兩個圓有公共的,稱其為正多邊形的中心.外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑,內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距.正多邊形每一條邊所對的外接圓的圓心角都相等,叫做正多邊形的中心角.

對點自測正八邊形的中心角是°.【合作探究】任務(wù)驅(qū)動一圓內(nèi)接正多邊形的畫法閱讀課本本課時“圖27.4.6”右邊的內(nèi)容至“練習(xí)”,回答下列問題.1.尺規(guī)作圖.(1)利用尺規(guī)作圖作出☉O的圓內(nèi)接正方形(不寫作法,保留作圖痕跡).(2)利用尺規(guī)作圖作出☉M的圓內(nèi)接正三角形(不寫作法,保留作圖痕跡).(3)在用尺規(guī)作圖作圓內(nèi)接正方形、正六邊形的基礎(chǔ)上,你還可以作出哪些正多邊形?(舉出四個即可)2.用量角器畫圓的內(nèi)接正五邊形時,可以把中心角等分,那么弧被等分,順次連結(jié)各等分點即可得到正五邊形.

方法歸納交流因為同圓中相等的弧所對的弦,相等的弧所對的圓周角,因此n等分圓周即可作出正n邊形.

變式演練下列正多邊形,不能用尺規(guī)作圖作出的是()A.正三角形 B.正五邊形C.正六邊形 D.正八邊形任務(wù)驅(qū)動二圓內(nèi)接正多邊形的中心角、半徑、邊心距3.如果一個正多邊形的中心角為72°,那么這個正多邊形的邊數(shù)是()A.4 B.5C.6 D.74.已知正六邊形ABCDEF,如圖所示,其外接圓的半徑是a,求正六邊形的周長和面積.變式演練如圖,M,N分別是☉O的內(nèi)接正三角形ABC,正方形ABCD,正五邊形ABCDE,…,正n邊形ABCDEFG…的邊AB,BC上的點,且BM=CN,連結(jié)OM,ON.(1)求圖①中∠MON的度數(shù).(2)圖②中,∠MON的度數(shù)是,圖③中,∠MON的度數(shù)是.

(3)試探究∠MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關(guān)系(直接寫出答案).參考答案【預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)】知識點五垂直平分線相等頂點相等歸納總結(jié)外接圓內(nèi)切圓圓心對點自測45【合作探究】任務(wù)驅(qū)動一1.解:(1)如圖1,四邊形ABCD即所求.(2)如圖2,△GEF即所求.(3)(答案不唯一)舉出四個即可,如正八邊形、正三角形、正十二邊形、正十六邊形、正二十四邊形等.2.五五方法歸納交流相等相等變式演練B任務(wù)驅(qū)動二3.B4.解:如圖,過點O作OM⊥AB于點M,連結(jié)OA.由于多邊形ABCDEF是正六邊形,所以它的中心角等于360°6=60°,從而正六邊形的邊長等于它的半徑因此,所求的正六邊形的周長為6a.在Rt△OAM中,OA=a,AM=12AB=12a,利用勾股定理,可得邊心距OM=a2所以所求正六邊形的面積=6×12AB·OM=6×12a·32a=3變式演練解:(1)如圖,連結(jié)OB,OC.∵正三角形ABC內(nèi)接于☉O,∴∠OBM=∠OCN=3