問津教育聯(lián)合體2027屆高二10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：2025年10月14日14:3016:30試卷滿分：150分一.單選題：每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.A30° B.60° C.120° D.150°【答案】D【解析】【分析】根據(jù)斜率的概念，求出兩點(diǎn)之間的斜率，根據(jù)正切函數(shù)，求出傾斜角大小即可.故選：D.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】用列舉法寫出樣本空間，再由概率公式計(jì)算．故所求概率為.故選：C【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算來求得正確答案.【詳解】連接，，故選：A4.如圖，已知圓錐的底面半徑為2，母線長為4，為圓錐底面圓的直徑，是的中點(diǎn)，是母線的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）C. D.【答案】A【解析】故選：A．5.拋擲一枚骰子兩次.設(shè)事件為“第一次向上的點(diǎn)數(shù)是2”，事件為“第二次向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事件為“兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和能被5整除”，則下列說法正確的是（）A.事件與事件互為對立事件D.事件與事件相互獨(dú)立【答案】C【解析】【詳解】對于A，由事件定義，當(dāng)?shù)谝淮纬霈F(xiàn)2點(diǎn)，第二次出現(xiàn)1點(diǎn)，則事件與事件同時(shí)發(fā)生，故不互為對立事件，故A錯(cuò)誤；拋擲一枚骰子兩次的樣本點(diǎn)數(shù)共36種，對于C，“第二次向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，且“第一次向上的點(diǎn)數(shù)是2”，故選：C．【答案】A【解析】故選：A.A. B.5 C.4 D.3【答案】A【解析】【詳解】如圖所示：所以線段長度的最小值為．故選：A．【答案】A【解析】以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．故選：A．二.多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分）【答案】AB【解析】【分析】利用空間向量的求模公式，數(shù)量積公式及點(diǎn)的對稱性即可判定.故選：AB10.下列敘述錯(cuò)誤的是（）A.與坐標(biāo)軸垂直的直線的傾斜角是或C.直線的傾斜角越大，它的斜率就越大D.若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系，逐項(xiàng)判斷各項(xiàng)的正誤即可.【詳解】對于A，與軸垂直的直線的傾斜角為，與軸垂直的直線的傾斜角為，所以與坐標(biāo)軸垂直的直線的傾斜角是或，故A正確；因此不在此范圍內(nèi)時(shí)不是直線的傾斜角，對于C，設(shè)直線的傾斜角為，對于D，若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行或重合，故D錯(cuò)誤.故選：BCD.【答案】ACD【解析】即點(diǎn)落在以為圓心，為半徑的圓上，故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.【解析】【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合并根據(jù)斜率計(jì)算公式即可得到答案．【詳解】作出示意圖如圖所示：【答案】【解析】所以異面直線與所成角的余弦值是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.【解析】【分析】（1）根據(jù)直線平行條件列出方程，求解即可；【小問1詳解】【小問2詳解】16.2025年8月21日，DeepSeek在官方公眾號發(fā)文稱，正式發(fā)布DeepSeekV3.1模型，此次升級也標(biāo)志著國產(chǎn)大模型在技術(shù)迭代與商業(yè)化探索中又邁出了關(guān)鍵一步.為強(qiáng)化相關(guān)技術(shù)的落實(shí)應(yīng)用能力，某公司特針對，兩部門開展專項(xiàng)技能培訓(xùn).（1）已知該公司，兩部門分別有3位領(lǐng)導(dǎo)，需要從這6位領(lǐng)導(dǎo)中隨機(jī)選取3位當(dāng)組長負(fù)責(zé)組織培訓(xùn)工作，假設(shè)每人被抽到的可能性都相同，求組長中有兩位來自于部門的概率；（2）此次培訓(xùn)分三輪進(jìn)行，員工甲第一輪至第三輪培訓(xùn)達(dá)到“優(yōu)秀”的概率分別為，，，每輪的培訓(xùn)結(jié)果均相互獨(dú)立，至少兩輪培訓(xùn)達(dá)到“優(yōu)秀”才算合格，求甲培訓(xùn)合格的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用列舉法求得選取3位當(dāng)組長的總的方法數(shù)，進(jìn)而求得兩位來自于部門的不同結(jié)果，利用古典概型概率公式求解即可；【小問1詳解】記部門的3名領(lǐng)導(dǎo)為，，，部門的3名領(lǐng)導(dǎo)為，，，從這6位領(lǐng)導(dǎo)中隨機(jī)選取3位當(dāng)組長，不同結(jié)果有：所以組長中有兩位來自于部門的概率為.小問2詳解】所以甲經(jīng)過培訓(xùn)合格的概率為.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的余弦即可.【小問1詳解】【小問2詳解】由題設(shè)知，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，18.甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空：每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.已知在每場比賽中，甲勝乙和乙勝丙的概率均為，甲勝丙的概率為，各場比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.經(jīng)抽簽，第一場比賽乙輪空.（1）求前三場比賽結(jié)束后，丙被淘汰的概率；（2）求只需四場比賽就決出冠軍的概率；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式及互斥事件和的概率公式求解；（2）決出冠軍為四個(gè)互斥事件的和，分別求概率，利用互斥事件和的概率公式得解.【小問1詳解】前三場比賽結(jié)束后，丙被淘汰的情況分兩種：【小問2詳解】只需四場比賽就決出冠軍的情況有四種：所以，只需四場比賽就決出冠軍的概率為：②在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)，，在以為球心的球上？若存在，求線段的長；若不存