專題01有理數(shù)（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律正負(fù)數(shù)的意義能準(zhǔn)確判斷正負(fù)數(shù)在實(shí)際情境中的意義基礎(chǔ)必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題有理數(shù)的分類能依據(jù)不同標(biāo)準(zhǔn)（定義、正負(fù)性），準(zhǔn)確對有理數(shù)進(jìn)行分類，不混淆各類別界限高頻易錯點(diǎn)，容易忽略“0”的歸屬，或?qū)τ邢扌?shù)、無限循環(huán)小數(shù)的分類判斷錯誤數(shù)軸的應(yīng)用能正確畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上表示有理數(shù)；能利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小常考知識點(diǎn)，多以選擇題、填空題形式考查，題目難度較低，但需注意數(shù)軸三要素的準(zhǔn)確性相反數(shù)與絕對值能快速求出有理數(shù)的相反數(shù)，正確計(jì)算有理數(shù)的絕對值必考點(diǎn)，易在絕對值的性質(zhì)（尤其是負(fù)數(shù)絕對值的計(jì)算）上出錯，題型多樣有理數(shù)的運(yùn)算能熟練進(jìn)行有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算及混合運(yùn)算重點(diǎn)考查內(nèi)容，運(yùn)算中的符號錯誤是高頻易錯點(diǎn)，計(jì)算題占比較大科學(xué)記數(shù)法與近似數(shù)能正確用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)，準(zhǔn)確判斷近似數(shù)的精確度和有效數(shù)字常考知識點(diǎn)，科學(xué)記數(shù)法中a的取值范圍和n的確定易出錯，近似數(shù)的相關(guān)判斷也易混淆概念知識點(diǎn)01正數(shù)和負(fù)數(shù)正數(shù)的概念：大于0的數(shù)叫做正數(shù).負(fù)數(shù)的概念：在正數(shù)前面加上負(fù)號“—”的數(shù)叫做負(fù)數(shù).注：0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，是整數(shù)，自然數(shù)，有理數(shù).（不是帶“—”號的數(shù)都是負(fù)數(shù)，而是在正數(shù)前加“—”的數(shù).）知識點(diǎn)02相反意義的量在同一個問題上，用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量.知識點(diǎn)03：有理數(shù)的概念概念：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù).整數(shù)：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù).分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù).（有限小數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù).）注：正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)，負(fù)整數(shù)和零統(tǒng)稱為非正整數(shù).知識點(diǎn)04：有理數(shù)的分類兩種分類：⑴按正、負(fù)性質(zhì)分類：⑵按整數(shù)、分?jǐn)?shù)分類：正有理數(shù)正整數(shù)正整數(shù)有理數(shù)正分?jǐn)?shù)整數(shù)0零有理數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)有理數(shù)負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)知識點(diǎn)05：數(shù)軸（1）概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸。（2）三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長度（3）對應(yīng)關(guān)系：數(shù)軸上的點(diǎn)和有理數(shù)是一一對應(yīng)的。（4）應(yīng)用：（1）比較大小：在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。（2）求兩點(diǎn)之間的距離：兩點(diǎn)在原點(diǎn)的同側(cè)作減法，在原點(diǎn)的兩側(cè)作加法。知識點(diǎn)06:相反數(shù)（1）概念:只有符號不同,數(shù)量相等，我們稱其中一個數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù).特別的0的相反數(shù)是0.（2）性質(zhì)：若a與b互為相反數(shù)，則a＋b=0，即a=b；反之，若a＋b=0，則a與b互為相反數(shù).（3）多重符號的化簡：①兩個符號：符號相同是正數(shù)，符號不同是負(fù)數(shù).②多個符號：三個或三個以上的符號的化簡，看負(fù)號的個數(shù).（注意：當(dāng)“—”號的個數(shù)是偶數(shù)個時，結(jié)果取正號當(dāng)“—”號的個數(shù)是奇數(shù)個時，結(jié)果取負(fù)號）知識點(diǎn)07:絕對值（1）概念：一個數(shù)的數(shù)量大小叫做這個數(shù)的絕對值.（2）①正數(shù)的絕對值是它的本身（若|a|＝|b|，則a＝b或a＝﹣b）；②負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；③0的絕對值是0.（3）①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，則a≥0，|a|＝﹣a，則a≤0；②a=0，|a|=0；③a＜0，|a|=a.（4）性質(zhì)：絕對值是a(a＞0)的數(shù)有2個，他們互為相反數(shù).即±a.（5）非負(fù)性：任意一個有理數(shù)的絕對值都大于等于零，即|a|≥0.幾個非負(fù)數(shù)之和等于0，則每個非負(fù)數(shù)都等于0.故若|a|＋|b|＝0，則a＝0，b＝0；（6）利用絕對值比較大小:代數(shù)比較法：正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù).兩個負(fù)數(shù)比較大小時，絕對值大的反而小.知識點(diǎn)08:有理數(shù)的加法法則（1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加.（2）絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0.（3）一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù).知識點(diǎn)09：有理數(shù)的加法運(yùn)算定律加法交換律：兩數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變.即a＋b=b＋a；加法結(jié)合律：在有理數(shù)加法中，三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加或者先把后兩個數(shù)相加，和不變.即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）；知識點(diǎn)10：有理數(shù)的減法法則減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù).即a－b=a＋（﹣）b知識點(diǎn)11：有理數(shù)的乘法法則（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘.（2）任何數(shù)同0相乘，都得0.（3）多個有理數(shù)相乘的法則：①幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正．②幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0．倒數(shù)：乘積是1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù).【注意】：①0沒有倒數(shù)；②倒數(shù)等于它本身的數(shù)有1和1.知識點(diǎn)12：有理數(shù)的乘法運(yùn)算律知識點(diǎn)13：確定乘積符號（1）若a＜0，b＞0，則ab<0；（2）若a＜0，b＜0，則ab>0；（3）若ab＞0，則a、b同號；（4）若ab＜0，則a、b異號；（5）若ab=0，則a、b中至少有一個數(shù)為0.知識點(diǎn)14：有理數(shù)除法法則除以一個不為0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)兩數(shù)相除（被除數(shù)不為0），同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除.【注意】：0除以任何不為0的數(shù)，都得0.知識點(diǎn)15：有理數(shù)的乘方運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪.在中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù).讀作的次方，也可以讀作的次冪.知識點(diǎn)16：有理數(shù)的乘方運(yùn)算（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；（4）有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先應(yīng)確定冪的符號，然后再計(jì)算冪的絕對值.知識點(diǎn)18：科學(xué)記數(shù)法把一個大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．知識點(diǎn)19：有理數(shù)的混合運(yùn)算（1）先乘方，再乘除，最后加減。（2）同級運(yùn)算，從左到右的順序進(jìn)行。（3）如有括號，先算括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號，中括號，大括號依次進(jìn)行。在進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算時，要分兩步走：先確定符號，再求值。題型一正數(shù)和負(fù)數(shù)解｜題｜技｜巧正數(shù)的概念：大于0的數(shù)叫做正數(shù).負(fù)數(shù)的概念：在正數(shù)前面加上負(fù)號“—”的數(shù)叫做負(fù)數(shù).注：0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，是整數(shù)，自然數(shù)，有理數(shù).【變式1】小明的媽媽在北京建行數(shù)字人民幣錢包中存入100元．記作+100，那么－40表示（

）A．支出40元 B．收入40元 C．支出60元 D．收入60元題型二數(shù)軸的三要素及其畫法解｜題｜技｜巧（1）概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸。（2）三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長度【典例1】如圖，下列是四位同學(xué)所畫的數(shù)軸，其中正確的是（

）A． B．C． D．【變式1】下列選項(xiàng)中，能正確表示數(shù)軸的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式2】下列關(guān)于數(shù)軸的說法正確的是（

）A．規(guī)定直線上向左的方向?yàn)檎较駼．所有數(shù)軸上的單位長度一定相等C．?dāng)?shù)軸上的原點(diǎn)兩邊的點(diǎn)可以表示同一個數(shù)D．?dāng)?shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的一條直線題型三相反數(shù)及其應(yīng)用解｜題｜技｜巧（1）概念:只有符號不同,數(shù)量相等，我們稱其中一個數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù).特別的0的相反數(shù)是0.（2）性質(zhì)：若a與b互為相反數(shù)，則a＋b=0，即a=b；反之，若a＋b=0，則a與b互為相反數(shù).【典例1】下列表示的“相反數(shù)”的是（

）【變式2】兩個有理數(shù)的和為0，則這兩個數(shù)（）A．都是0 B．互為相反數(shù) C．至少有一個為0 D．一正一負(fù)題型四絕對值解｜題｜技｜巧（1）概念：一個數(shù)的數(shù)量大小叫做這個數(shù)的絕對值.（2）①正數(shù)的絕對值是它的本身（若|a|＝|b|，則a＝b或a＝﹣b）；②負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；③0的絕對值是0.（3）非負(fù)性：任意一個有理數(shù)的絕對值都大于等于零，即|a|≥0.幾個非負(fù)數(shù)之和等于0，則每個非負(fù)數(shù)都等于0.故若|a|＋|b|＝0，則a＝0，b＝0；【典例1】絕對值大于且不大于的負(fù)整數(shù)有．【變式1】絕對值小于3的整數(shù)有個，絕對值等于7的數(shù)是．題型五有理數(shù)的大小解｜題｜技｜巧（1）正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。（2）兩個負(fù)數(shù)比較大小時，絕對值大的反而小。（3）在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大?！镜淅?】比較大小：；7；．【變式1】幾種液體的凝固溫度（標(biāo)準(zhǔn)大氣壓）如下表：其中凝固溫度最低的是（

）液體水銀酒精水乙醚凝固溫度（℃）0A．水銀 B．酒精 C．水 D．乙醚【變式2】將下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來并用“”連接起來題型六有理數(shù)的加減解｜題｜技｜巧加法法則：（1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加.（2）絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0.（3）一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù).減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù).即a－b=a＋（﹣）bA． B．0 C．1 D．2【變式1】計(jì)算下列各式：【變式2】某市一天上午的氣溫是，下午上升了，半夜（時）下降了，半夜的氣溫是．題型七有理數(shù)的乘除解｜題｜技｜巧（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘.（2）任何數(shù)同0相乘，都得0.（3）多個有理數(shù)相乘的法則：①幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正．②幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0．（4）除以一個不為0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)（5）兩數(shù)相除（被除數(shù)不為0），同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除.【典例1】計(jì)算：【變式1】計(jì)算下列各題題型八有理數(shù)的乘方解｜題｜技｜巧運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪.2.在中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù).讀作的次方，也可以讀作的次冪.3.有理數(shù)的乘方運(yùn)算（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；（4）有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先應(yīng)確定冪的符號，然后再計(jì)算冪的絕對值.【變式2】所有放射性物質(zhì)都有自己的半衰期．半衰期是放射性物質(zhì)的質(zhì)量縮減為原來的一半所用的時間，是一個不變的量．質(zhì)量為的放射性物質(zhì)，經(jīng)歷了個半衰期后的質(zhì)量為（

）．A． B． C． D．題型九科學(xué)記數(shù)法解｜題｜技｜巧把一個大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．【典例1】面對2020年突如其來的新冠疫情，黨和國家及時采取“嚴(yán)防嚴(yán)控”措施，并對新冠患者全部免費(fèi)治療．據(jù)統(tǒng)計(jì)共投入約21億元資金，21億用科學(xué)記數(shù)法可表示為（

）．題型十有理數(shù)的混合運(yùn)算解｜題｜技｜巧（1）先乘方，再乘除，最后加減。（2）同級運(yùn)算，從左到右的順序進(jìn)行。（3）如有括號，先算括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號，中括號，大括號依次進(jìn)行。在進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算時，要分兩步走：先確定符號，再求值。期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時間：10分鐘）1．（2526七年級上·吉林長春·期中）中國是世界上最早認(rèn)識和應(yīng)用負(fù)數(shù)的國家，比西方早一千多年，在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，首次引入負(fù)數(shù)．如果支出60元記作元，則元表示（

）A．支出50元 B．收入50元 C．支出60元 D．收入60元2．（2425七年級上·全國·期中）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（

）3．（2526七年級上·全國·期中）點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是，將點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸移動5個單位長度后得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B所表示的數(shù)是（

）A．3 B． C．3或 D．5或4．（2425七年級上·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖顯示了某地連續(xù)5天的日最低氣溫，則在這5天中最低氣溫的日期是（

）A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五A．2025 B．2024 C．2023 D．2022(1)把上列各數(shù)序號填入相應(yīng)的大括號里：負(fù)數(shù)集合：{____________…}；整數(shù)集合：{____________…}