高數(shù)大一期末考試試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定義域是（）A.\(x>1\)B.\(x\neq2\)C.\(x>1\)且\(x\neq2\)D.\(x\geq1\)且\(x\neq2\)2.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\)（）A.1B.3C.\(\frac{1}{3}\)D.03.函數(shù)\(y=x^3-3x\)的駐點(diǎn)是（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=\pm1\)D.\(x=0\)4.設(shè)\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)是\(\sinx\)，則\(f^\prime(x)=\)（）A.\(\sinx\)B.\(-\sinx\)C.\(\cosx\)D.\(-\cosx\)5.\(\intx^2dx=\)（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(3x^3+C\)C.\(\frac{1}{2}x^3+C\)D.\(2x^3+C\)6.已知\(z=x^2+y^2\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}=\)（）A.\(2x\)B.\(2y\)C.\(x^2\)D.\(y^2\)7.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收斂的B.發(fā)散的C.條件收斂D.絕對(duì)收斂8.曲線\(y=e^x\)在點(diǎn)\((0,1)\)處的切線方程是（）A.\(y=x+1\)B.\(y=x-1\)C.\(y=-x+1\)D.\(y=-x-1\)9.設(shè)\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，且\(F^\prime(x)=f(x)\)，則\(\int_{a}^f(x)dx=\)（）A.\(F(a)-F(b)\)B.\(F(b)-F(a)\)C.\(f(b)-f(a)\)D.\(f(a)-f(b)\)10.二元函數(shù)\(z=xy\)在點(diǎn)\((1,2)\)處的全微分\(dz=\)（）A.\(2dx+dy\)B.\(dx+2dy\)C.\(dx+dy\)D.\(2dx+2dy\)答案：1.C2.B3.C4.D5.A6.A7.B8.A9.B10.B二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在\(x=0\)處連續(xù)的有（）A.\(y=\begin{cases}x^2+1,&x\geq0\\1,&x<0\end{cases}\)B.\(y=\frac{\sinx}{x}\)C.\(y=\ln(1+x)\)D.\(y=\begin{cases}x+1,&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\)3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的充分必要條件是（）A.左導(dǎo)數(shù)存在B.右導(dǎo)數(shù)存在C.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)D.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)4.下列積分中，值為0的有（）A.\(\int_{-1}^{1}x^3dx\)B.\(\int_{-1}^{1}x^2dx\)C.\(\int_{-1}^{1}\sinxdx\)D.\(\int_{-1}^{1}e^xdx\)5.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}\)6.對(duì)于二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)，下列說(shuō)法正確的有（）A.若偏導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)一定連續(xù)B.若函數(shù)可微，則偏導(dǎo)數(shù)一定存在C.若函數(shù)可微，則函數(shù)一定連續(xù)D.若偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則函數(shù)一定可微7.曲線\(y=x^3-3x^2+2x\)的拐點(diǎn)可能是（）A.\(x=1\)B.\(x=0\)C.\(x=2\)D.\(x=-1\)8.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2+1\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=x^3\)9.設(shè)\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則（）A.\(\int_{a}^f(x)dx\)是一個(gè)常數(shù)B.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)C.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）D.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)10.以下哪些是求不定積分的方法（）A.換元積分法B.分部積分法C.直接積分法D.利用奇偶性積分答案：1.AC2.BCD3.ABC4.AC5.ABD6.BCD7.AC8.AB9.ABCD10.ABC三、判斷題（每題2分，共20分）1.若\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續(xù)。（）2.函數(shù)\(y=|x|\)在\(x=0\)處不可導(dǎo)。（）3.若\(f^\prime(x)=0\)，則\(x\)一定是\(f(x)\)的極值點(diǎn)。（）4.\(\int_{0}^{1}x^2dx=\int_{0}^{1}t^2dt\)。（）5.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\)。（）6.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處的偏導(dǎo)數(shù)\(\frac{\partialz}{\partialx}\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}\)都存在，則函數(shù)在該點(diǎn)可微。（）7.函數(shù)\(y=x^3\)在\((-\infty,+\infty)\)上是單調(diào)遞增的。（）8.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān)。（）9.若\(f(x)\)是奇函數(shù)，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)。（）10.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上是凹函數(shù)。（）答案：1.×2.√3.×4.√5.√6.×7.√8.√9.√10.×四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}\)的間斷點(diǎn)，并判斷其類(lèi)型。答案：先對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)\(y=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)(x-2)}\)，\(x\neq1\)。間斷點(diǎn)為\(x=1\)和\(x=2\)。\(x=1\)是可去間斷點(diǎn)，因?yàn)閈(\lim\limits_{x\to1}y=2\)；\(x=2\)是無(wú)窮間斷點(diǎn)，\(\lim\limits_{x\to2}y=\infty\)。2.計(jì)算\(\intxe^xdx\)。答案：用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^x\)。\(\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C=e^x(x-1)+C\)。3.求函數(shù)\(z=x^2y+xy^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的全微分。答案：先求偏導(dǎo)數(shù)，\(\frac{\partialz}{\partialx}=2xy+y^2\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=x^2+2xy\)。在點(diǎn)\((1,1)\)處，\(\frac{\partialz}{\partialx}=3\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=3\)。所以\(dz=3dx+3dy\)。4.求冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}\)的收斂半徑和收斂區(qū)間。答案：\(a_n=\frac{1}{n}\)，\(a_{n+1}=\frac{1}{n+1}\)，收斂半徑\(R=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=1\)。當(dāng)\(x=1\)時(shí)，級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)發(fā)散；當(dāng)\(x=-1\)時(shí)，級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)收斂。收斂區(qū)間為\([-1,1)\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的單調(diào)性、極值和凹凸性。答案：\(f^\prime(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)\)。\(f(x)\)在\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)單調(diào)遞增，在\((-1,1)\)單調(diào)遞減。極大值\(f(-1)=2\)，極小值\(f(1)=-2\)。\(f^{\prime\prime}(x)=6x\)，在\((-\infty,0)\)上凹，在\((0,+\infty)\)下凹。2.結(jié)合實(shí)際例子說(shuō)明定積分在計(jì)算平面圖形面積中的應(yīng)用。答案：例如求\(y=x^2\)與\(y=x\)所圍成圖形面積。先求交點(diǎn)\((0,0)\)和\((1,1)\)，則面積\(A=\int_{0}^