高?？荚囌骖}及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在\(x=0\)處可導(dǎo)的是（）A.\(y=|x|\)B.\(y=\sqrt[3]{x}\)C.\(y=x^2\)D.\(y=\frac{1}{x}\)2.極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.∞D(zhuǎn).不存在3.設(shè)函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(f^\prime(x_0)\)等于（）A.\(\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)B.\(\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0)-f(x_0-\Deltax)}{\Deltax}\)C.\(\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0-\Deltax)}{2\Deltax}\)D.以上都對(duì)4.曲線\(y=x^3\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線方程為（）A.\(y=3x-2\)B.\(y=3x+2\)C.\(y=-3x+4\)D.\(y=-3x-2\)5.函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.\((-\infty,1)\)B.\((1,+\infty)\)C.\((-\infty,2)\)D.\((2,+\infty)\)6.若\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)為\(F(x)\)，則\(\intf(x)dx\)等于（）A.\(F(x)\)B.\(F(x)+C\)C.\(f^\prime(x)\)D.\(f(x)+C\)7.定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.28.設(shè)向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(3,4)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)等于（）A.5B.11C.10D.149.方程\(x^2+y^2-2x+4y+1=0\)表示的曲線是（）A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線10.函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的全微分\(dz\)為（）A.\(2dx+2dy\)B.\(dx+dy\)C.\(4dx+4dy\)D.\(2dx+dy\)答案：1.C2.B3.D4.A5.A6.B7.A8.D9.A10.A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=|x|\)2.下列極限中，極限值為1的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x\)C.\(\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}\)D.\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\)3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處連續(xù)的充分必要條件是（）A.\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在B.\(f(x_0)\)有定義C.\(\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)\)D.\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)4.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)可導(dǎo)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=|x|\)5.曲線\(y=x^3-3x^2+2\)的極值點(diǎn)有（）A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.\(x=2\)D.\(x=3\)6.下列積分中，計(jì)算正確的有（）A.\(\intxdx=\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)C.\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)D.\(\inte^xdx=e^x+C\)7.設(shè)向量\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則下列說法正確的有（）A.\(\vec{a}+\vec=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)B.\(\vec{a}-\vec=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)C.\(\lambda\vec{a}=(\lambdax_1,\lambday_1)\)（\(\lambda\)為實(shí)數(shù)）D.\(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2\)8.下列方程中，表示平面的有（）A.\(x+y+z=1\)B.\(x^2+y^2=1\)C.\(z=0\)D.\(y=2\)9.函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處可微的充分條件是（）A.\(f_x(x_0,y_0)\)和\(f_y(x_0,y_0)\)存在B.\(f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處連續(xù)C.\(\Deltaz-f_x(x_0,y_0)\Deltax-f_y(x_0,y_0)\Deltay=o(\rho)\)（\(\rho=\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2}\)）D.\(f_x(x,y)\)和\(f_y(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處連續(xù)10.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\)答案：1.ABD2.ABC3.ABC4.ABC5.AC6.ABCD7.ABCD8.ACD9.CD10.ACD三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）2.若\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處一定連續(xù)。（）3.函數(shù)\(y=x^3\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=3x^2\)。（）4.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān)。（）5.向量\(\vec{a}=(1,0)\)與向量\(\vec=(0,1)\)垂直。（）6.方程\(x^2+y^2+z^2=1\)表示的曲面是球面。（）7.函數(shù)\(z=\ln(x+y)\)的定義域是\(\{(x,y)|x+y>0\}\)。（）8.若\(f(x,y)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)\(f_{xy}(x,y)\)和\(f_{yx}(x,y)\)連續(xù)，則\(f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)\)。（）9.冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂半徑\(R\)一定存在。（）10.微分方程\(y^\prime+y=0\)是一階線性齊次微分方程。（）答案：1.×2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.×10.√四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+5\)的單調(diào)區(qū)間和極值。答案：先求導(dǎo)\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=0\)，\(x=2\)。當(dāng)\(x<0\)或\(x>2\)時(shí)，\(y^\prime>0\)，函數(shù)遞增；當(dāng)\(0<x<2\)時(shí)，\(y^\prime<0\)，函數(shù)遞減。極大值\(y(0)=5\)，極小值\(y(2)=1\)。2.計(jì)算定積分\(\int_{0}^{1}(x^2+e^x)dx\)。答案：根據(jù)定積分運(yùn)算法則，\(\int_{0}^{1}(x^2+e^x)dx=\int_{0}^{1}x^2dx+\int_{0}^{1}e^xdx\)。\(\int_{0}^{1}x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]_0^1=\frac{1}{3}\)，\(\int_{0}^{1}e^xdx=[e^x]_0^1=e-1\)，所以結(jié)果為\(\frac{1}{3}+e-1=e-\frac{2}{3}\)。3.已知向量\(\vec{a}=(2,-1,3)\)，\(\vec=(-1,4,-2)\)，求\(\vec{a}+\vec\)與\(3\vec{a}-2\vec\)。答案：\(\vec{a}+\vec=(2-1,-1+4,3-2)=(1,3,1)\)；\(3\vec{a}=(6,-3,9)\)，\(2\vec=(-2,8,-4)\)，\(3\vec{a}-2\vec=(6-(-2),-3-8,9-(-4))=(8,-11,13)\)。4.求函數(shù)\(z=x^2y+xy^2\)的偏導(dǎo)數(shù)\(z_x\)和\(z_y\)。答案：求\(z_x\)時(shí)把\(y\)看成常數(shù)，\(z_x=2xy+y^2\)；求\(z_y\)時(shí)把\(x\)看成常數(shù)，\(z_y=x^2+2xy\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\leq0\\2x+1,&x>0\end{cases}\)在\(x=0\)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。答案：連續(xù)性：\(\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(x^2+1)=1\)，\(\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(2x+1)=1\)，\(f(0)=1\)，所以在\(x=0\)處連續(xù)?？蓪?dǎo)性：左導(dǎo)數(shù)\(f^\prime_-(0)=\lim_{\Deltax\to0^-}\frac{(0+\Deltax)^2+1-1}{\Deltax}=0\)，右導(dǎo)數(shù)\(f^\prime_+(0)=\lim_{\Deltax\to0^+}\frac{2(0+\Deltax)+1-1}{\Deltax}=2\)，左右導(dǎo)數(shù)不等，不可導(dǎo)。2.討論如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性，并舉例說明。答案：若函數(shù)\(f(x)\)的二階導(dǎo)數(shù)\(f^{\prime\prime}(x)>0\)，則函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間是凹的；若\(f^{\prime\prime}(x)<0\)，則是凸的。例如\(y=x^2\)，\(y^\prime=2x\)，\(y^{\prime\prime}=2>0\)，所以\(y=x^2\)在\((-\infty,