第05講用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系【人教A版】模塊一模塊一空間中點、直線和平面的向量表示1．空間中點、直線和平面的向量表示(1)空間中點的位置向量：如圖，在空間中，我們?nèi)∫欢cO作為基點，那么空間中任意一點P就可以用向量eq\o(OP,\s\up6(→))來表示．我們把向量eq\o(OP,\s\up6(→))稱為點P的位置向量．(2)空間中直線的向量表示式：直線l的方向向量為a，且過點A.如圖，取定空間中的任意一點O，可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta①，把eq\o(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))②，①式和②式都稱為空間直線的向量表示式．(3)平面的法向量定義：【注】一個平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時，可適當(dāng)取平面的一個法向量.已知一平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個法向量.【題型1求平面的法向量】【例1】（2425高二上·浙江杭州·期末）已知A(0,4,0),B(3,0,0),C(0,0,2)，則平面ABC的一個法向量可以為（

）A．(4,3,6) B．(?4,3,6) C．(4,?3,6) D．(4,3,?6)【答案】A【解題思路】由題設(shè)AB=(3,?4,0)，AC【解答過程】由題設(shè)AB=(3,?4,0)，AC若m=(x,y,z)是平面ABC的一個法向量，則m取y=3，則m=(4,3,6)故選：A.【變式1.1】（2425高二上·海南省直轄縣級單位·期末）已知點A0,0,0、B0,0,1、C1,1,0在平面α內(nèi)，則下列向量為平面αA．n=0,1,0 C．n=1,1,0 【答案】B【解題思路】設(shè)平面α的法向量為n=x,y,z，根據(jù)法向量的定義可得出n?【解答過程】設(shè)平面α的法向量為n=x,y,z，由題意可得AB=則n?AB=z=0n?故選：B.【變式1.2】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）已知在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B=A．23,23,13 B．【答案】D【解題思路】設(shè)平面A1BC的法向量為【解答過程】設(shè)平面A1BC的法向量為由已知m?A1B=0故?x?2z=0?x+y=0，令x=2，則y=2，z=?1所以m=2,2,?1為平面又n為平面A1所以n=mm故選：D.【變式1.3】（2425高二上·安徽蕪湖·期中）已知平行六面體ABCD?A1B1C1D

A．6a+6b?c B．2a【答案】A【解題思路】令A(yù)B=2，求出a?b,【解答過程】在平行六面體ABCD?A令A(yù)B=2，則a?設(shè)平面A1BD的法向量n=x則n?DB=(xa+yb+z所以平面A1BD的一個法向量為故選：A.模塊二模塊二空間中直線、平面的平行1．空間中直線、平面的平行(2)線面平行的向量表示：設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.2．利用向量證明線線平行的思路：證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可．3．證明線面平行問題的方法：(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi)；(2)證明直線的方向向量可以用平面內(nèi)兩個不共線向量表示且直線不在平面內(nèi)；(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內(nèi)．4．證明面面平行問題的方法：(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進(jìn)行證明．【題型2利用空間向量證明線線平行】【例2】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）長方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是面對角線B1D【答案】證明見解析【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，由向量共線坐標(biāo)運(yùn)算即可求證.【解答過程】如圖所示，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸、y軸、設(shè)DA=a，DC=b，DDAa,0,0，C10,b,c，D10,0,c，B由D1E=2EB1即由BF=2FA1，即BF=2∴FE=?a3又FE與AC1不共線，【變式2.1】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，E為CP的中點，N為DE的中點，DM=14DB,DA=DP=1,CD=2

【答案】證明見解析【解題思路】證法一：以D為坐標(biāo)原點，DA,DC,DP所在直線分別為x軸?y軸?z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出AP,證法二：由空間向量的線性表示可得答案.【解答過程】證法一：由題意知，直線DA,DC,DP兩兩垂直，以D為坐標(biāo)原點，DA,DC,DP所在直線分別為x軸?y軸?z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則D0,0,0所以AP=(?1,0,1),所以MN=14AP，又證法二：由題意可得MN=14BD又M?AP，所以MN//

【變式2.2】（2025高二·全國·專題練習(xí)）如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=2,AA證明：B2【答案】證明見解析【解題思路】利用空間直角坐標(biāo)系，由正四棱柱的各棱長分別表示出向量B2C2【解答過程】根據(jù)正四棱柱性質(zhì)可知，以C為坐標(biāo)原點，CD,CB,CC1所在直線為則C(0,0,0),C所以B2可得B2C2=A又B2所以B2【變式2.3】（2425高二上·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C(1)證明：EF∥A1(2)證明：A1【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解題思路】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)共線即可求解，（2）根據(jù)向量垂直滿足的坐標(biāo)關(guān)系即可求解.【解答過程】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則E2,1,0故A1由于A1C1=2EF，故A1C1//EF，顯然（2）A故A1因此A1F⊥【題型3利用空間向量證明線面平行】【例3】（2425高二上·重慶銅梁·階段練習(xí)）直線l的一個方向向量為m=?4,2,2，平面α的一個法向量為n=2,?1,x，若l/平面α，則A．?5 B．5 C．?1 D．1【答案】B【解題思路】根據(jù)題意可得m⊥n，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得【解答過程】直線l的一個方向向量為m=平面α的一個法向量為n=因為l/平面α，則m所以，m?n=?8?2+2x=2x?10=0故選：B.【變式3.1】（2425高二上·四川遂寧·期中）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，在陽馬P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點，AH=λHP，CG=GP，若GH∥平面EFCA．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解題思路】以A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=a(a>0)，根據(jù)法向量的求法可求得平面EFC的法向量n，由HG⊥【解答過程】以A為坐標(biāo)原點，AB,AD,AP正方向為x，設(shè)AD=a(a>0)，則A(0,0,0),P(0,0,a),C(a,a,0),E(0,a2,所以EF=(a2,?a2,0)設(shè)平面EFC的法向量n=(x,y,z)則EF?n=a2x?a2y=0由CG=GP可得G是PC的中點，由AH=λHP可得所以GH=因為GH//平面EFC，所以GH?n=?故選：C.【變式3.2】（2025高三·全國·專題練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD所在平面與直角梯形ABPE所在平面交于直線AB，DE=2且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE//BP.設(shè)點M為棱PD的中點，求證：EM【答案】證明見解析【解題思路】利用勾股定理逆定理先判定AD⊥AE，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量研究線面關(guān)系即可.【解答過程】由已知AD=AE=1，DE=2可知DE2=A又矩形ABCD中有AD⊥AB，且AE⊥AB，AE∩AB=A,AE、AB?平面ABEP，所以AD⊥平面ABEP，又BC//則BC⊥平面ABEP，所以BA,BP,BC兩兩垂直，故以B為原點，BA,BP,BC分別為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P0,2,0所以EM=易知平面ABCD的一個法向量等于n=所以EM?所以EM⊥又EM?平面ABCD，所以EM//平面ABCD【變式3.3】（2025·陜西安康·模擬預(yù)測）如圖，已知多面體是由正四棱錐PABCD與正方體ABCD?A1B

(1)求證：PC//平面ADC(2)若AB=3，求四棱錐P?ADC【答案】(1)證明見解析(2)9．【解題思路】（1）建立空間直角坐標(biāo)系證明線面平行即可；（2）根據(jù)線面垂直結(jié)合錐體體積公式計算即可.【解答過程】（1）如圖以點A1為原點，A1D1為x軸A1B1設(shè)AB=2a,則PC=32AB=3a,過P作PP1平面ABCD.因為PC2=PC設(shè)平面ADC1BA0,0,2aAD→則2ax=02ax+2ay?2az=0可得x=0y=1所以n→=0,1,1,n→·PC→=0?a+a=0

（2）因為AB=3，所以CD因為PC//平面ADC1B因為CD1⊥C1D,AD⊥CD1,AD∩DC1=D,VP?AD【題型4利用空間向量證明面面平行】【例4】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4，BC=CD=2，AA1

【答案】證明見解析【解題思路】先根據(jù)直棱柱及DM⊥CD建立空間直角坐標(biāo)系由向量關(guān)系得出線線平行，再應(yīng)用面面平行判定定理得證．【解答過程】因為AB=4，BC=CD=2，F(xiàn)是棱AB的中點，所以BF=BC=CF，所以△BCF為正三角形．因為ABCD為等腰梯形，AB=4，BC=CD=2，所以∠BAD=∠ABC=60°．取AF的中點M，連接DM，則DM⊥AB，所以DM⊥CD．以D為原點，DM所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系

則D0,0,0，D10,0,2，A3,?1,0，F(xiàn)所以DD1=0,0,2，DA=所以DD1//CC1又因為CC1?平面FCC1，DD1因為DA//CF，CF?平面FCC1，DA?平面FCC1，所以又DD1∩DA=D，DD1,DA?平面【變式4.1】（2425高二·全國·課后作業(yè)）如圖所示，ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M，N，Q分別是PC，AB，CD的中點．求證：(1)MN//平面PAD；(2)平面QMN//平面PAD．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解題思路】（1）由已知可證得AB,AD,AP兩兩垂直，所以以A為原點，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明；（2）證明QN平行于平面，結(jié)合面面平行判定定理證明結(jié)論.【解答過程】（1）證明：因為PA⊥平面ABCD，AB,AD?平面ABCD，所以PA⊥AB,PA⊥AD，因為四邊形ABCD為矩形，所以AB⊥AD，所以AB,AD,AP兩兩垂直，所以以A為原點，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)B(b,0,0)，D(0,d,0)，P(0,0,d).則C(b,d,0)，因為M，N，Q分別是PC，AB，CD的中點，所以Mb2,d2所以MN=因為平面PAD的一個法向量為m=(1,0,0)所以MN?m=0又因為MN?平面PAD，所以MN//平面PAD.（2）因為QN=(0,?d,0)所以QN?m=0又QN?平面PAD，所以QN//平面PAD.又因為MN∩QN=N，MN,QN?平面MNQ，所以平面MNQ//平面PAD.【變式4.2】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，【答案】證明見解析【解題思路】根據(jù)題意，以D為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面A1C1【解答過程】以D為原點，DA,DC,DD1DD1所在直線分別為x軸、則A(3,0,0)，B(3,4,0)，C(0,4,0)，A1(3,0,2)，B1(3,4,2)，則A1C1=(?3,4,0)，A1設(shè)平面A1C1則n?取x=4，則y=3，z=6，所以平面A1C1設(shè)平面ACD1的法向量為則m?取a=4，則b=3，c=6，所以平面ACD1的一個法向量為因為m=n，即所以平面A1C1【變式4.3】（2425高二上·天津薊州·階段練習(xí)）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D(1)求證：平面A1C1(2)線段B1C上是否存在點P，使得A1P//平面【答案】(1)證明見解析(2)存在，P為線段B1【解題思路】（1）根據(jù)題意，以D為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面A1C1（2）由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，由A1P與平面【解答過程】（1）證明：以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、則A(3,0,0)，B(3,4,0)，C(0,4,0)，A1(3,0,2)，B1(3,4,2)，則A1C1=(?3,4,0)，A1設(shè)平面A1C1則n?取x=4，則y=3，z=6，所以平面A1C1設(shè)平面ACD1的法向量為則m?取a=4，則b=3，c=6，所以平面ACD1的一個法向量為因為m=n，即m//n，所以平面（2）設(shè)線段B1C上存在點P使得A1P//平面由（1）得A1B1=(0,4,0)，B1所以A1所以m?A1所以當(dāng)P為線段B1C的中點時，A1模塊三模塊三空間中直線、平面的垂直1．空間中直線、平面的垂直(2)線面垂直的向量表示：設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.2．證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標(biāo)系→寫出點的坐標(biāo)→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直．3．用坐標(biāo)法證明線面垂直的方法及步驟：(1)利用線線垂直：①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；②找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量；③判斷直線的方向向量與平面內(nèi)兩條直線的方向向量垂直．(2)利用平面的法向量：①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；②求出平面的法向量；③判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．4．證明面面垂直的兩種方法：(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直．【題型5利用空間向量證明線線垂直】【例5】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別是CD，CA．平行 B．垂直 C．異面垂直 D．異面不垂直【答案】C【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解判斷即可.【解答過程】以D為原點，DA，DC，DD1的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體ABCD?A則A12,0,2，M0,1,0，D∴A1M∴A1M又DN?平面DCC1D1，A1M?平面DCC∴直線A1M與故選：C．【變式5.1】（2425高二上·云南昆明·期中）如圖，下列正方體中，O為底面的中點，P為所在棱的中點，M、N為正方體的頂點，則滿足MN⊥OP的是（

）A．③④ B．①② C．②④ D．②③【答案】D【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法判斷MN?【解答過程】設(shè)正方體的棱長為2，對于①：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則M(2,0,2),N(0,2,2),P(0,2,1),O(1,1,0)，可得MN=(?2,2,0),OP=(?1,1,1)所以MN與OP不垂直，即MN與OP不垂直，所以①錯誤；對于②：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則M(0,0,2),N(2,0,0),P(2,0,1),O(1,1,0)，可得MN=(2,0,?2),OP=(1,?1,1)所以MN⊥OP，即

對于③：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則M(2,2,2),N(0,2,0),P(0,0,1),O(1,1,0)，可得MN=(?2,0,?2),OP=(?1,?1,1)所以MN⊥OP，即對于④：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則M(0,2,0),N(0,0,2),P(2,1,2),O(1,1,0)，可得MN=(0,?2,2),OP=(1,0,2)所以MN與OP不垂直，即MN與OP不垂直，所以④錯誤；故選：D.【變式5.2】（2526高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）在長方體ABCD?A1B1C1D1中，M是AC與BD的交點，E是DD【答案】證明見解析【解題思路】設(shè)B1A1=a，B1C1=【解答過程】設(shè)B1A1=a，B則B1M=∴B1M?∴B1M⊥【變式5.3】（2425高二上·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖所示，MA⊥平面ABCD，底面ABCD邊長為1的正方形，MA=2，P是MC上一點，且CP=(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系并求點P坐標(biāo)；(2)求證：MB⊥DP.【答案】(1)答案見解析，P(2)證明見解析【解題思路】（1）以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，由條件列式可求得P點坐標(biāo)；（2）利用空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算證明MB?【解答過程】（1）因為MA⊥平面ABCD，且AB,AD?平面ABCD，所以，AM⊥AB,AM⊥AD，在正方形ABCD中，AB⊥AD，所以,AB,AD,AM兩兩垂直，如圖，以A為原點，AB,AD,AM方向為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，因為底面ABCD邊長為1的正方形，MA=2，則C(1,1,0),M(0,0,2),B(1,0,0),D(0,1,0)，CM=(?1,?1,2)設(shè)P(x,y,z)，由CP=15解得x=45,y=（2）因為MB=(1,0,?2),所以，MB?DP=所以，MB⊥DP.【題型6利用空間向量證明線面垂直】【例6】（2425高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知直線l的方向向量為a=1,?1,λ，平面α的一個法向量為n=?2,2,1，若l⊥α，則λA．?2 B．?12 C．1【答案】B【解題思路】由已知可得a→//n【解答過程】因為a=1,?1,λ是直線l的一個方向向量，n=且直線l⊥平面α，所以a→所以1?2=?1故選：B.【變式6.1】（2425高二上·山東青島·期中）已知a=(?2,?a+b,?a?b)是直線l的方向向量，n=(2,??1,?A．a(chǎn)?3b?4=0 B．a(chǎn)=?C．a(chǎn)?3b?5=0 D．a(chǎn)=【答案】B【解題思路】根據(jù)a//n，根據(jù)共線的坐標(biāo)運(yùn)算列式探索【解答過程】由題意：a//n，所以?22=a+b?1=a?b2故選：B.【變式6.2】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在直四棱柱ADD1A1?BCC1B1中，底面ADD1

【答案】證明見解析【解題思路】以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求出FG和平面A1BE的一個法向量的坐標(biāo)，可得FG與平面A1BE的法向量共線，則得直線【解答過程】由題意知，以A為原點，AB,AD,AA1所在直線分別為

則A10,0,1，BE=設(shè)平面A1BE的一個法向量為則BE?n=0令x=1，則n=所以FG=12n，故直線【變式6.3】（2425高二上·廣東汕頭·階段練習(xí)）如圖所示，直三棱柱ABC?A1B1C(1)求BN的長；(2)求證：BN⊥平面C1MN【答案】(1)3(2)證明見解析【解題思路】（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，再求出坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量求出模長；（2）應(yīng)用向量法得出線線垂直，再根據(jù)線面垂直判定定理證明即可.【解答過程】（1）因為CC1⊥平面ABC，∠BCA=90°，以C為坐標(biāo)原點，CA、CB、CC1所在直線分別為x則B0,1,0,N1,0,1，所以BN（2）依題意得A1C1M=則C1M⊥又因為C1M∩C1N=C1，C【題型7利用空間向量證明面面垂直】【例7】（2425高二上·山東濟(jì)南·期中）已知n1=3,x,2,n2=?3,3A．?7 B．?1 C．1 D．7【答案】D【解題思路】根據(jù)兩平面垂直可得法向量垂直，即可根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算求解.【解答過程】由α⊥β，所以n1∴n1?故選：D.【變式7.1】（2425高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，O是BD的中點，M是棱AAA．14 B．13 C．1【答案】D【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，設(shè)M1,0,t,0≤t≤1，求出兩平面的法向量，根據(jù)垂直關(guān)系得到方程，求出【解答過程】如圖，以D為坐標(biāo)原點，DA,DC,DD1所在直線分別為B1,1,0設(shè)M1,0,t,0≤t≤1，平面OC則OC解得y=0，令z=1得x=2，則m=設(shè)平面MBD的法向量為n=則DB?令c=1，則a=?t，b=t，故n=由題意得m?解得t=12故選：D.【變式7.2】（2425高二上·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖所示，△ABC是一個正三角形，EC⊥平面ABC，BD//CE，且(1)求平面DEA的法向量；(2)求證：平面DEA⊥平面ECA．【答案】(1)(3(2)證明見解析【解題思路】（1）以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)法向量與平面垂直求出法向量即可；（2）證明兩平面的法向量垂直即可.【解答過程】（1）因為EC⊥平面ABC，CB?平面ABC，所以EC⊥CB，以C為原點，CB,CE所在的直線分別為y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0),A(3所以EA=(設(shè)平面DEA的一個法向量是n=(a,b,c)則n→?EA=3所以平面DEA的一個法向量為(3（2）設(shè)平面ECA的一個法向量是m=(x,y,z)則m?EA=3x+y?2z=0因為m?n=1×所以平面DEA⊥平面ECA.【變式7.3】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)面ABB(1)求EF?(2)用向量法證明：平面BEA⊥平面A1【答案】(1)EF(2)證明見解析【解題思路】（1）由題意可得，A1B1⊥BB1,A（2）通過證明平面BEA與平面A1B1【解答過程】（1）在直三棱柱ABC?A1B又BE⊥A1B所以A1B1⊥平面建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B1則B0,0,2所以EF=所以EF?（2）由（1）知A2,0,2AE=設(shè)平面BEA的法向量為n=x1,y則BE?n=0AE?n=0A1B令z2=1，則m=所以平面BEA⊥平面A1【題型8平行、垂直綜合的向量證明】【例8】（2425高二·全國·課后作業(yè)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥DC，DA⊥AB，AB=AP=2，DA=DC=1，E為PC上一點，且PE=23(1)求證：AE⊥平面PBC；(2)求證：PA//平面BDE．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解題思路】（1）以A為原點，AB，AD，AP的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，證明AE⊥PC，（2）設(shè)平面BDE的法向量為n=x1【解答過程】（1）證明：如圖，以A為原點，AB，AD，AP的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，B2,0,0，C1,1,0，D所以PC=1,1,?2，AP=因為PE=23PC，所以PE所以AE?PC=所以AE⊥PC，AE⊥CB，即又因為PC∩BC=C，PC,BC?平面PBC．所以AE⊥平面PBC．（2）證明：由（1）可得BE=AE?AB=設(shè)平面BDE的法向量為n→則BD·n=0BE·n=0，即?2則n→=1,2,0因為PA?n=因為PA?平面BDE，所以PA//平面BDE．【變式8.1】（2425高二上·上海·隨堂練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，點E在線段BB1

(1)平面A1B1(2)平面EGF//平面ABD【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解題思路】（1）利用空間向量法證明線面垂直證明面面垂直；（2）利用空間向量法證明B1D⊥平面【解答過程】（1）證明：以B為坐標(biāo)原點，BA,BC,BB1所在直線分別為

則B0,0,0，D0,2,2，B10,0,4，E0,0,3設(shè)BA=a，則Aa,0,0，A1a,0,4因為BA=a,0,0，BD=所以B1D?所以B1D⊥BA，B1又BA∩BD=B,BA,BD?平面ABD，所以B1D⊥平面因為B1D?平面A1B1（2）因為EG=a2,1,1，所以B1D?所以B1D⊥EG，因為EG∩EF=E,EG,EF?平面EGF，所以B1D⊥平面又由（1）知B1D⊥平面ABD，所以平面EGF∥【變式8.2】（2425高二上·貴州貴陽·階段練習(xí)）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AA(1)若N是AA1的中點，求證：DB(2)若BD1//平面MNC【答案】(1)證明見解析(2)2【解題思路】（1）如圖建系，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，由DB1?MC=0，DB1?MN（2）設(shè)AN的長為?,求出平面MNC的法向量為n=(1,2,2?)，由BD【解答過程】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，

由題設(shè)可得：B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,2)，M(2∴DB1=(2,2,2)，由DBDB可得DB1⊥MC，又∵M(jìn)C∩MN=M，MC,MN?平面MNC，∴DB1⊥（2）設(shè)AN的長為?,則0<?≤2，點N(2,0,?)，進(jìn)而得MN設(shè)平面MNC的法向量為n=(x,y,z)，因MC則n?MC=?2x+y=0n∵BD1=(?2,?2,2)∴BD1⊥n解得?=23，即AN的長為【變式8.3】（2025高二上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD//QA，QA=AB=1(1)證明：平面PQB⊥平面DCQ；(2)證明：PC//平面BAQ.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解題思路】（1）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)結(jié)合面面垂直的判定定理證明即可.（2）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得DA為平面BAQ的一個法向量，又DA⊥PC,且PC?平面BAQ，即可證明.【解答過程】（1）由題意易知DA,DP,DC兩兩互相垂直.如圖，以D為坐標(biāo)原點，DA,DP,DC所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz.設(shè)DA=1.依題意有D0,0,0則DQ=所以PQ?PQ?即PQ⊥QD,PQ⊥DC,又DQ∩DC=D,DQ,DC?平面DCQ,故PQ⊥平面DCQ.又PQ?平面PQB，所以平面PQB⊥平面DCQ.（2）根據(jù)題意，有A1,0,0則DA=故DA又AB,AQ不共線，所以DA為平面又因為PC=0,?2,1即DA⊥PC,且PC?平面BAQ，故有PC//平面BAQ.【題型9空間中線、面位置關(guān)系的探索性問題】【例9】（2425高二上·四川南充·階段練習(xí)）如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1

(1)求證：MN//平面ABB(2)線段CC1上是否存在點Q，使A1B⊥平面【答案】(1)證明見詳解；(2)Q是CC1的中點,即【解題思路】（1）（2）根據(jù)給定的幾何體，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即可.【解答過程】（1）在直三棱柱ABC?A1B1C以C為原點，以直線CB,CC1,CA分別為x軸，y軸，z

設(shè)AC=2，則M0,0,1MN=1,2,?1,AB=則AB?n=2x?2z=0AB顯然MN?n=1+0?1=0，即MN⊥n所以MN//平面ABB（2）假定線段CC1上存在點Q滿足條件，由（1）設(shè)CQ=A1則A1B=設(shè)m=a,b,c是平面則MN?m=a+2b?c=0MQ?由A1B⊥平面MNQ，得A1m=λA1B，即y0?2=2λ1=?2λy0所以線段CC1上存在點Q，使A1B⊥平面【變式9.1】（2425高二下·四川涼山·期末）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，∠BAD=60°，DE=DC=2AF．(1)求證：AC⊥平面BDE；(2)線段CE上是否存在點P，使得AP∥平面BEF？若存在，指出點P的位置并證明；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在點P，當(dāng)P與C重合時，使得AP∥平面BEF.【解題思路】（1）連接AC,BD交于點O，則由四邊形ABCD為菱形，得AC⊥BD，由DE⊥平面ABCD，得DE⊥AC，再利用線面垂直的判定定理可結(jié)論；（2）由題意可證得DM,DC,DE兩兩垂直，則以D為原點，DM,DC,DE所在的直線分別為x,y,z建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【解答過程】（1）證明：連接AC,BD交于點O，因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD，因為DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以DE⊥AC，因為DE∩BD=D，DE,BD?平面BDE，所以AC⊥平面BDE；（2）解：取AB的中點M，連接DM，因為四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，所以△ABD為等邊三角形，所以DM⊥DC，因為DE⊥平面ABCD，DM,DC?平面ABCD，所以DE⊥DM,DE⊥DC，所以DM,DC,DE兩兩垂直，所以以D為原點，DM,DC,DE所在的直線分別為x,y,z建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DE=DC=2AF=2，則A(3所以EF=(假設(shè)存在點P，使得AP∥平面BEF，設(shè)CP=λCE，則所以AP=設(shè)平面BEF的法向量為m=(x,y,z)則m?FB=2y?z=0m?由AP?m=(?此時P與C重合，AP?平面BEF，所以存在點P，當(dāng)P與C重合時，使得AP∥平面BEF.【變式9.2】（2025高二上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC=4，AB=AD=2.(1)求證：AC⊥BF；(2)在線段BE上是否存在一點P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出BPPE【答案】(1)證明見解析(2)存在，2【解題思路】（1）根據(jù)題意，由線面垂直的判定定理可得AC⊥平面FAB，再由其性質(zhì)定理即可證明；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計算，即可得到結(jié)果.【解答過程】（1）證明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩ABCD=AD，AF⊥AD，AF?平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD.∵AC?平面ABCD，∴AF⊥AC，過A作AH⊥BC于H，則BH=1,AH=3∴AC=23，∴AB2∵AB∩AF=A，AB,AF?平面FAB，∴AC⊥平面FAB.∵BF?平面FAB，∴AC⊥BF.（2）存在.理由：由（1）知，AF,AB,AC兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點，AB,AC,AF的方向分別為x軸、y軸、則A0,0,0假設(shè)在線段BE上存在一點P滿足題意，則易知點P不與點B，E重合，設(shè)BPPE=λ，則由BP=λPE，可求得設(shè)平面PAC的一個法向量為m=x,y,z，則由AP=可得m?即y=0z=λ?22λx，令x=1，則z=λ?2又BC=設(shè)平面BCEF的一個法向量為n=則n?BC=?2x+2所以n=1,3當(dāng)m?n=1+λ?22λ=0，即λ=2此時BPPE【變式9.3】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C(1)求證：平面NPC//平面AB(2)在線段BB1上是否存在一點Q，使AB1⊥【答案】(1)證明見解析(2)存在；點Q為點B【解題思路】（1）應(yīng)用線面平行判定定理得出面面平行即可證明；（2）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點的坐標(biāo)滿足線面垂直即線線垂直計算求參.【解答過程】（1）∵M(jìn),N,P分別是CC∴NP//AB1,MC//∴CP//MB1．∵CP?平面AB1M,MB∵NP?平面AB1M,AB1?又CP∩NP=P,CP,NP?平面NPC，∴平面NPC//平面AB（2）假設(shè)在線段BB1上存在一點Q，使AB取BC的中點O，以O(shè)為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)BC=2,BQ=a(0≤a≤2)，則M(0,?1,1),A(3∴A∵AB1⊥AB1⊥∴在線段BB1上存在一點Q，使AB1⊥平面A一、單選題1．（2526高二上·全國·課后作業(yè)）已知點A1,2,?1，B2,1,?1，C?1,2,0，則平面ABC的法向量nA．1,1,2 B．1,?1,2 C．2,1,1 D．1,2,1【答案】A【解題思路】利用待定系數(shù)法，設(shè)出法向量，取平面中兩個不共線向量，根據(jù)向量點積建立方程，可得答案.【解答過程】由已知得AB=1,?1,0，AC=則n?AB=0,n?AC=0,即x?y=0,?2x+z=0,令故選：A.2．（2425高二上·重慶·期末）已知m=12,k,3，n=?4,1,1分別是平面α，β的法向量，若A．?1 B．0 C．1 D．2【答案】A【解題思路】根據(jù)法向量定義得到m⊥n，進(jìn)而得到【解答過程】α⊥β，故m⊥故m?n=故選：A.3．（2425高二上·北京懷柔·期末）已知直線l1的一個方向向量為n=?2,1,3，直線l2的一個方向向量為m=2,?1,t，若A．?3 B．1 C．53 D．【答案】A【解題思路】由已知可得m→//n→，設(shè)【解答過程】因為直線l1的一個方向向量為n=?2,1,3，直線l2的一個方向向量為所以m→//n則2=?2λ,?1=λ,t=3λ，所以λ=?1，t=?3.故選：A.4．（2425高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，已知A．16 B．14 C．13【答案】D【解題思路】以D為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)E1,1,λ，得到AM和DE，結(jié)合AM⊥DE【解答過程】以D為原點，DA,DC,DD1所在直線分別為x,y，如圖所示，則A1,0,0，M設(shè)E1,1,λ，則AM=?1,因為AM⊥DE，所以AM?DE=0，即?1故選：D.5．（2425高二上·河南開封·期末）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，A．AC B．AC1 C．A1【答案】C【解題思路】設(shè)AB=a，AD=b，AA1=【解答過程】設(shè)AB=a，AD=則a→,b→,c→因為AB=AD=AA1=1所以a2=b∴A1C∴A1C⊥BD，A1C⊥B∴A1C⊥故選：C.6．（2425高二上·福建泉州·期末）已知P為平行四邊形ABCD外的一點，且AB=2,1,3,A．PA/BD B．與PA同向的單位向量為C．AC=(5,3,8) D．平面PAD的一個法向量為【答案】C【解題思路】A，由題可得BD，即可得判斷選項正誤；B，由PA可得與其同向的單位向量；C，由圖可得向量AC；D，由AD=【解答過程】對于A，由題BD=AD?因為?21=?21≠對于B，因PA=?2,?2,2，則得與PA同向的單位向量為PAPA對于C，由圖可得AC=對于D，由AD=3,2,5,則AD?則AD⊥n，PA與故選：C.7．（2425高三上·四川達(dá)州·階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1B1CA．QN⊥BB1 B．QN//C．直線QN與PT為異面直線 D．B1D⊥【答案】D【解題思路】首先以點B1【解答過程】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長為2，A.Q2,0,1，N1,2,0，B0,0,2，B10,0,0QN?BB1=2≠0B.平面BCC1B1的法向量為B1A1=2,0,0，QNC.P1,0,2，T0,2,1，PT=?1,2,?1，QN=D.D2,2,2，M2,1,0，B1D=PT=?1,2,?1，B1D?PT=0，PM∩PT=P，PM,PT?故選：D.8．（2425高二上·北京·期末）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E,F分別為棱AB,BC的中點，平面DEA．直線A1F與直線B．直線A1F⊥C．平面AB1D．截面DEGC【答案】B【解題思路】根據(jù)線面平行可判斷G是BB【解答過程】取BB1的中點，則G是由于E是AB的中點，則EG//AB1,AB1//DC1,故對于A，連接EF,則EF//AC,AC//A1C1，故EF//A建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則D0,0,0故A1由于A1F?故A1F⊥DC1故直線A1F⊥平面對于C，由于AD1//BC1，AD1?平面BC1D，BC1?平面BC1D，故AD1//平面BC1D，又BD//B1D1由于DE?GC1=故DC1,DE不垂直，且DC1故選：B.二、多選題9．（2425高二上·山東·階段練習(xí)）已知平面α與平面β平行，若n=2,?4,8是平面β的一個法向量，則平面α的法向量可能為（A．?1,2,?4 B．?1,2,4 C．2,4,?8 D．?2,4,?8【答案】AD【解題思路】分析可知，平面α的法向量與n共線，逐項判斷即可.【解答過程】因為平面α與平面β平行，且n=2,?4,8是平面則平面α的法向量與n平行，因為?1,2,?4=?12向量?1,2,4、2,4,?8與向量n不共線，所以，AD選項中的向量可以作為平面α的法向量.故選：AD.10．（2425高二上·河南許昌·階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=1，以AB,A．m=(?1,1,1)是直線A1C的一個方向向量 B．nC．若l/平面B1CD1，則a=?1 D．若【答案】BCD【解題思路】對于A，求得A1C=(1,1,?1)即可判斷；對于B，求得平面B1C【解答過程】在正方體ABCD?A1B對于A，A1(0,0,1),C(1,1,0)，所以所以m=(?1,1,1)不是直線A對于B，B1(1,0,1),D1(0,1,1)設(shè)平面B1CD則n·CB1=?y+z=0所以平面B1CD對于C，若l/平面B1CD1對于D，若l⊥平面B1CD1，則故選：BCD.11．（2425高二上·湖北荊門·階段練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是棱AB,AD,A1BA．不存在λ的值，使得直線BC1//B．當(dāng)λ=1時，直線BC1//C．當(dāng)λ=1+22時，平面EFPQ⊥平面D．當(dāng)λ=1?22時，平面EFPQ⊥平面【答案】BCD【解題思路】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求出BC1,FP的坐標(biāo)即可得到A錯誤；B正確；分別求出平面EFPQ的法向量和平面【解答過程】以D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：由已知得B2,2,0則BC對于A、B，當(dāng)λ=1時，F(xiàn)P?1,0,1因為BC1=即BC1//FP，又BC對于C、D，而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直線B假設(shè)存在符合題意的λ，設(shè)平面EFPQ的法向量為n=則由FE·n于是可取n=同理設(shè)平面PQMN的一個法向量為m=則MN?m=0可得平面PQMN的一個法向量為m=則m?即λλ?2?λ2故存在λ=1±22，使平面EFPQ⊥平面故選：BCD.三、填空題12．（2425高二上·四川涼山·期末）平面α內(nèi)三點坐標(biāo)分別為A1,?0,?1,?【答案】1,2,2（答案不唯一）【解題思路】求出AB,AC，由【解答過程】解：由A則AB因為向量m=x,y,z是平面所以AB?m=?2x+y=0AC故答案為：1,2,2.13．（2425高二上·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是【答案】平行【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.【解答過程】如圖，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體的棱長為1，則O(12,12,0)，P(0,0,12)于是OP=12BD1，即OP//故答案為：平行.14．（2425高二上·湖南·期末）在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，E是AD的中點，點P滿足B【答案】1【解題思路】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法即可求解.【解答過程】根據(jù)已知條件，建立如圖所示：以D為坐標(biāo)原點，DA、DC、DD1分別為x、y、A13,0,2，D10,0,2，C0,4,0B1C=B1A1設(shè)平面D1CE的一個法向量EC=?32,4,0令y=3，有x=8，z=6，所以n=A1P//平面D1CE，則解得λ=1故答案為：13四、解答題15．（2425高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AB=AP=1，AD=3，，試求直線PC的一個方