2022屆福建省莆田第二十五中高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1．下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z=2i1-i（A．z=2 B．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點在直線y=xC．z的共軛復(fù)數(shù)為 D．z的虛部為-1【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)除法化簡復(fù)數(shù)為代數(shù)形式，然后求模，寫出對應(yīng)點的坐標(biāo)．得其共軛復(fù)數(shù)及虛部，判斷各選項．【詳解】z=2i所以z=(-對應(yīng)點坐標(biāo)為(-1,1)不在直線y=x上，共軛復(fù)數(shù)為-1-i虛部為1，D錯．故選：C．2．若集合A={x∣y=x-1},B={x∣A．x1<x<2 B．xx≥1 C．【答案】D【分析】先化簡A集合，再求交集即可．【詳解】由題意，得A=xx≥故選：D3．如圖，平行四邊形ABCD中，點G在AC上，且滿足AC=4AG，若ABA．14a-C． D．14【答案】A【分析】由向量的線性運算求解．【詳解】因為ACDG=故選：A．4．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征.觀察以下四個圖象的特征，試判斷與函數(shù)fx=xA． B．C． D．【答案】D【分析】先判斷函數(shù)fx的奇偶性，可排除A、B選項，又時，fx<0，排除C【詳解】解：因為fx所以f-所以fx為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點中心對稱，故排除A、B又時，fx<0，故排除C故選：D.5．在《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．已知在鱉臑A-BCD中，滿足AB⊥平面BCD，且BC=3，CD=4，當(dāng)該鱉臑的體積為10時，它外接球的表面積為（）A．25π B．50π C．100π D．200【答案】B【分析】將該鱉臑放置于長方體中，進而結(jié)合題意求解即可.【詳解】由題意，該鱉臑如圖1所示，當(dāng)鱉臑的體積為10時，AB=5，該鱉臑的外接球即該長方體的外接球，設(shè)外接球半徑為R，則，鱉臑的外接球表面積為4πR故選：B．6．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（1770--1250），以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：即1?1?2?3?5?8?13?21??在實際生活中，很多花朵（如梅花，飛燕草，萬壽簡等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛得應(yīng)用.已知斐波那契數(shù)列an滿足：a1=1，a2=1，A．15 B．14 C．608 D．377【答案】D【分析】由遞推公式計算數(shù)列的前幾項，再求解．【詳解】根據(jù)遞推公式計算到a15，a1到a15其中a3+a5+故選：D．7．已知sinπ3-α=1A．78 B．-78 C．±【答案】B【分析】由誘導(dǎo)公式與二倍角公式即可求解【詳解】sinπ=-故選：B8．已知fx是定義在R上的函數(shù)，f'x是fx的導(dǎo)函數(shù)，滿足：exf(x)+(exA．-1,1 B．-∞,-1∪1,+∞ C．-∞,-1 D【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex+1f(x)，利用導(dǎo)數(shù)求得g【詳解】令g(x)=ex+1所以g(x)在R上單調(diào)遞增，不等式f(x)>e+12e而f(1)=12，則g(1)=(e+1)f(1)=e+1所以x>1，即不等式解集為.故選：D9．對任意實數(shù)x，有2x-39=A．a(chǎn)0=1 BC．a(chǎn)0+a【答案】BCD【分析】(2x-3)9=[-1+2(x-1)]9，令x=1，可得a0，即可判斷A；利用二項展開式的通項即可求得a2，即可判斷B；令x=2，可得a0【詳解】對任意實數(shù)x，有(2x-3)9=令x=1，可得a0=-所以a2=-令x=2，可得a0+a令x=0，可得a0-a1故選：BCD.10．已知等比數(shù)列an中，滿足a1=1，公比q＝﹣2A．?dāng)?shù)列2an+an+1C．?dāng)?shù)列anan+1是等比數(shù)列 D【答案】BC【分析】利用等比數(shù)列通項公式逐個選項去驗證即可?！驹斀狻恳驗閍n是等比數(shù)列，所以an+1=-2an，2an+an+1=0，故A錯；an=a1?qn-1【點睛】此題考查了等比數(shù)列的通項公式和與等比數(shù)列相關(guān)數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題。11．將曲線y=sin2x-3sinπ-xsinx+3π2A．gx的圖象關(guān)于直線x=B．gx在0，C．gx的圖象關(guān)于點對稱D．gx的圖象可由y=cosx【答案】BD【分析】將y=sin2x-【詳解】因為y=si=si=3=sin由題意得gA.因為3π2-B.因為x∈0，π，則x-π6C.因為gπD.y=cosx+12故選：BD【點睛】方法點睛：1．討論三角函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)先把函數(shù)式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為T=2πω，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期為3．對于函數(shù)的性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、對稱性、最值等)可以通過換元的方法令t＝ωx＋φ，將其轉(zhuǎn)化為研究y＝sint的性質(zhì)．12．設(shè)函數(shù)fx=3x3-2x+2A．函數(shù)fx在定義域RB．若fa-2+fa2C．若fa-2+fD．函數(shù)fx是定義域為R【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷出函數(shù)是奇函數(shù)，再求導(dǎo)，由基本不等式可得出導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，由此可得選項.【詳解】函數(shù)fx的定義域為R，f-x=-3又f'x=9x2所以fa-2+fa2≤0，等價于f故選：ACD．【點睛】方法點睛：在判斷函數(shù)的單調(diào)性時，常采用求其導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負，得出函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性求解不等式.二、填空題13．已知a=3，，若a?b=-3，則a與b【答案】120°【分析】直接使用平面向量夾角公式計算即可.【詳解】設(shè)a與b夾角為θ所以cos由θ∈0,π，所以θ=2π故答案為：1214．設(shè)a>0，b>0，若ln3是ln9a與【答案】9【分析】由等差中項定義得出a,b的關(guān)系式，然后由基本不等式得最小值．【詳解】由已知2ln3=所以2a+b=1，又a>0，b>0，所以2a+1b=(2a故答案為：9．15．已知一袋中有標(biāo)有號碼1、2、3、4的卡片各一張，每次從中取出一張，記下號碼后放回，當(dāng)四種號碼的卡片全部取出時即停止，則恰好取6次卡片時停止的概率為______.【答案】【分析】恰好取6次卡片時停止，說明前5次出現(xiàn)了3種號碼且第6次出現(xiàn)第4種號碼.分兩類，三種號碼出現(xiàn)的次數(shù)分別為3,1,1或者2,2,1.每類中可以分步完成，先確定三種號碼卡片出現(xiàn)順序有A43種，再分別確定這三種號碼卡片出現(xiàn)的位置(注意平均分組問題)，最后讓第四種顏色出現(xiàn)有一種方法,【詳解】由分步乘法計數(shù)原理知，每次從中取出一張，記下號碼后放回，進行6次一共有4×4×…×恰好取6次卡片時停止，說明前5次出現(xiàn)了3種號碼且第6次出現(xiàn)第4種號碼，三種號碼出現(xiàn)的次數(shù)分別為3,1,1或者2,2,1,三種號碼分別出現(xiàn)3，1，1且6次時停止的取法有種，三種號碼分別出現(xiàn)2，2，1且6次時停止的取法有種，由分類加法計數(shù)原理知恰好取6次卡片時停止，共有240+360=600種取法，所以恰好取6次卡片時停止的概率為:P=600故答案為：【點睛】本題主要考查了概率的求法，計數(shù)原理等基礎(chǔ)知識，考查了排列組合的應(yīng)用，難點在于平均分組問題，屬于難題.16．已知函數(shù)fx=2lnx，gx=ax2-x-12a>0，若直線y=2x-b與函數(shù)，y=gx【答案】32【分析】利用直線y=2x-b與函數(shù)fx=2lnx相切，求出b=2，設(shè)直線y=2x-2與函數(shù)gx=ax2-x-12a>0的切點為x【詳解】設(shè)直線y=2x-b與函數(shù)fx=2ln由f'x=2x，所以，解得所以0=2×1-b，解得b=2，即切線方程為y=2x-設(shè)直線y=2x-2與函數(shù)gx=ax則ax12-x1設(shè)切線方程l為，且l與fx=2lnl與gx=a則kx2+b=2整理可得b=2ln2k所以2ln整理可得4a=k+1設(shè)hx則h'設(shè)φx則φ'所以φx在0,+又因為φ2所以在0,2上φx<0，即h'x在2,+∞上φx>0，即h'所以hx即4a≥6，解得a≥故答案為：32；【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，此題難度較大，綜合性比較強，屬于難題.三、解答題17．在ΔABC中，角所對的邊分別為a,b,c，若(b-a)sinB+asin（1）求角C；（2）求ΔABC面積的最大值.【答案】（1）C=π3；（2）【分析】（1）利用正弦定理，將角化邊，可得(b-（2）利用已知及余弦定理，基本不等式可得ab≤【詳解】（1）由正弦定理得(b-即a由余弦定理得cosC∵C∈(0,π)，∴C=（2）由面積公式S=由a2+b由不等式a2+b2≥2ab從而S=34ab≤3所以ΔABC面積的最大值為3.【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．18．在數(shù)列an中，a1=1（1）求證數(shù)列{1an（2）若bn=3nan，求數(shù)列【答案】（1）證明見解析，a（2）S【分析】（1）利用遞推關(guān)系得到{1an}是以（2）利用錯位相減法求和，即可得到答案.（1）a1=1,an+11an=1∴{1an}是以1anan=（2）由題可知：bnSn兩邊乘以3得：3S兩式相減得：-2=3+23=3+2×=3+3=2(1-Sn=(n19．為全面推進學(xué)校素質(zhì)教育，推動學(xué)校體育科學(xué)發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生積極主動參與體育鍛煉，促進學(xué)生健康成長，從2021年開始，參加漳州市初中畢業(yè)和高中階段學(xué)?？荚嚨某踔挟厴I(yè)生，體育中考成績以分數(shù)(滿分40分計入中考總分)和等級作為高中階段學(xué)校招生投檔錄取依據(jù).考試由必考類?抽考類?抽選考類三部分組成，必考類是由筆試體育保健知識(分值4分)，男生1000米跑?女生800米跑(分值15分)組成；抽考類是籃球?足球?排球，由市教育局從這三項技能中抽選一項考試(分值5分)；抽選考類是立定跳遠?1分鐘跳繩?引體向上(男)?斜身引體(女)?雙手頭上前擲實心球?1分鐘仰臥起坐，由市教育局隨機抽選其中三項，考生再從這三個項目中自選兩項考試，每項8分，已知今年教育局已抽選確定：抽考類選考籃球，抽選考類選考立定跳遠?1分鐘跳繩?雙手頭上前擲實心球這三個項目，甲校隨機抽取了100名本校初三男生進行立定跳遠測試，根據(jù)測試成績得到如下的頻率分布直方圖．（1）若漳州市初三男生的立定跳遠成績X(單位：厘米)服從正態(tài)分布Nμ,σ2，并用上面樣本數(shù)據(jù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差的估計值分別作為μ和σ，已計算得上面樣本的標(biāo)準(zhǔn)差的估計值為(各組數(shù)據(jù)用中點值代替)，在漳州市2021屆所有初三男生中任意選取3人，記立定跳遠成績在231厘米以上(含231厘米)的人數(shù)為ξ，求隨機變量（2）已知乙校初三男生有200名，男生立定跳遠成績在250厘米以上(含250厘米)得滿分．（i）若認為乙校初三男生立定跳遠成績也服從（1）中所求的正態(tài)分布，請估計乙校初三男生立定跳遠得滿分的人數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))；（ii）事實上，（i）中的估計值與乙校實際情況差異較大，請從統(tǒng)計學(xué)的角度分析這個差異性．(至少寫出兩點)附：若X~Nμ,σ2，則Pμ-σ<X<μ+σ=0.6826【答案】（1）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：32；（2）（i）32；（ii）答案見解析【分析】（1）根據(jù)直方圖求得數(shù)據(jù)平均值，結(jié)合正態(tài)分布求出成績在231厘米以上的概率，利用二項分布求取隨機變量ξ的分布列和期望；（2）（i）由正態(tài)分布概率公式求得立定跳遠成績在250厘米以上的概率，結(jié)合總數(shù)即可估計乙校初三男生立定跳遠得滿分的人數(shù)；（ii）本題結(jié)論開放，只要考生能從統(tǒng)計學(xué)的角度作出合理的分析即可．【詳解】解：（1）由題意，得σ=19，，所以，所以ξ~B3,1所以P(ξ=0)=C30，P(ξ=3)=C3所以ξ的分布列為：ξ0123P1331E(ξ)=0×（2）（i）記乙校初三男生立定跳遠成績?yōu)閅厘米，則Y~Nμ,σ2，，所以，所以估計乙校初三男生立定跳遠得滿分的人數(shù)為；（ii）本題結(jié)論開放，只要考生能從統(tǒng)計學(xué)的角度作出合理的分析即可，如：①一次取樣未必能客觀反映總體；②樣本容量過小也可能影響估計的準(zhǔn)確性；③忽略異常數(shù)據(jù)的影響也可能導(dǎo)致估計失真；④模型選擇不恰當(dāng)，模型的擬合效果不好，也將導(dǎo)致估計失真；⑤樣本不具代表性，也會對估計產(chǎn)生影響.等等．【點睛】求離散型隨機變量的分布列時，關(guān)鍵要判斷隨機變量是否服從二項分布或超幾何分布等特殊的分布．20．已知向量m=cosx,-1，n=（1）若x∈0,π2（2）若α∈π6,5π6【答案】（1）f(x)1（2）4【分析】（1）利用向量的數(shù)量積公式及輔助角公式可得f(x)=sin（2）由題可得，再利用同角關(guān)系式及兩角和公式即得.（1）因為向量m=(則函數(shù)f(x)==3若x∈0,π2所以當(dāng)2x-π6=-π6當(dāng)2x-π6=π2（2）由f(α)=-45因為α∈π6,5π6所以2α-則cos(所以cos221．設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，___________從①Sn=2an-2；②Sn=2（1）求數(shù)列an（2）設(shè)bn=log2an【答案】（1）a（2）T【分析】（1）根據(jù)條件中的遞推關(guān)系式化簡計算求解數(shù)列的通項公式即可；（2）根據(jù)題中求得的通項公式化簡數(shù)列通項，再運用分組求和法求解數(shù)列的和可得出結(jié)果.（1）選①：∵Sn當(dāng)n=1時，S1=2a當(dāng)n≥2時，Sn所以an即an=2an-1n≥2.∴n≥