2025-2026學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

2.5直線與圓的位置關(guān)系

（鞏固練習(xí)）

【典型例題】

【例1】己知同一平面內(nèi)有00和點(diǎn)A與點(diǎn)B,如果。0的半徑為6cm,線段0A=10cm,線段

0B=6cm,那么直線AB與00的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相交C.相切D.相交或相切

【例2】如圖，A、B、。是0。的圓周上三點(diǎn)，。石與0。相切于點(diǎn)C,連接A3、BC、AC,

若=N8C力=40。，則NACE的度數(shù)為（）

【例3】如圖，A8是圓。的直徑，AE交圓。于點(diǎn)尸，且與圓。的切線CO互相垂直,垂足為。.若

8=4,AO=8,則圓的半徑是（）

A.4^5B.5C.10D.5^5

【例4】如圖，PA,依是0。的切線，切點(diǎn)分別是A、B,C在A8上，過(guò)。的切線分別交必、

PB于點(diǎn)D、E.若依=10,則△尸0E的周長(zhǎng)為.

71

?o

【例5】如圖，在矩形A8CO中，A8=10,8C=8,以。。為直徑作。。.將矩形4BCO繞點(diǎn)C

旋轉(zhuǎn)，使所得矩形Ag'CD的邊A5與。。相切，切點(diǎn)、為E,邊8'與。。相交于點(diǎn)/，則

的長(zhǎng)為

【例6】如圖，C。是。。的直徑，點(diǎn)3在。。上，點(diǎn)A為。C延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作OE:〃8C

交A3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,且ND=NE.

(1)求證：4E是。。的切線；

(2)若線段。石與。。的交點(diǎn)廠是0E的中點(diǎn)，。。的半徑為6g,求陰影部分的面積.

【舉一反三】

【變式1】如圖，AB、AC是。。的兩條弦，NBAC=25°,過(guò)點(diǎn)C的切線與0B的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,

A

A.25°B.30°C.35°D.40°

【變式2】已知心△A3C中，ZC=90,AC=3f3c=4,以C為圓心，，?為半徑的圓與邊AB有

兩個(gè)交點(diǎn)，則「的取值范圍是()

121212

A.r——B.r>—C.3<r<4D.—

555

【變式3】如圖，E4,。是。。的切線，切點(diǎn)為A,D,點(diǎn)B,C在。0上，若NB4E+N3Cr)=236。，

則NE=()

A.56°B.60°C.68°D.70°

【變式4】如圖，。。內(nèi)切于△ABC,切點(diǎn)D,E,F分別在BC,AB,AC上.已知NB=50°,

ZC=60°,連接0E,OF,DE,DF,那么/EDF等于.

【變式5】如圖，直線1與。。相切于點(diǎn)A,點(diǎn)P在直線1上，直線P。交。。于點(diǎn)B,C,OD1AB,

垂足為D,交期于點(diǎn)E.

(1)判斷直線非與。。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(2)若08=08=6,求弧4c的長(zhǎng).

【變式6】如圖，在△AB。中，AB=BD,。。為△AB。的外接圓，AC為。。直徑，過(guò)點(diǎn)9作

BE1.DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

（1）判斷BE與。。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）若。。的半徑為4,NA8O=45。，求直徑AC、弦CD與劣弧AD所圍圖形的面積.

【鞏固練習(xí)】

1.已知。0的半徑等于3,圓心0到直線1的距離為5,那么直線1與。0的位置關(guān)系是（）

A.直線1與。0相交B.直線1與。。相切

C.直線1與。0相離D.無(wú)法確定

2.如圖，AB是。。的直徑，AC切。。于A,BC交。。于點(diǎn)D,若NC=70°,則NAOD的度數(shù)為

()

B.35°C.20°D.40°

3.如圖，PA與。。相切于A點(diǎn)，NP=20。，則（)

A.20°B.35°C.70°D.140°

4.一個(gè)定點(diǎn)與圓上各點(diǎn)之間距離的最小值稱為這個(gè)點(diǎn)與①個(gè)圓之間的距離，如圖，矩形4BCO

中，AB=28cm,BC=24cm,與矩形的邊45、BC、CD分別相切于點(diǎn)E、F、G,則點(diǎn)A

與。K的距離為（）

A.4cmB.8cmC.12cmD.16cm

5.若。。的半徑為5,圓心到直線/的距離為5,則直線，與。。的位置關(guān)系是一

6.如圖，是。。的直徑，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，。。切。。于點(diǎn)C,如果NO=30。，AB=4,

那么線段。。的長(zhǎng)是一

7.如圖，腦V與。0相切于點(diǎn)A,A8是。。的弦，且4?=1,ZB/W=30°,則。。的半徑長(zhǎng)為

ZACB=90°,AC=6fBC=4,點(diǎn)E是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，以CE為直

徑作。“，連接BE交。F于點(diǎn)。,則AD的最小值二

9.如圖，在。0中，Q4是直徑，PC是弦，平分ZAP8且與。。交于點(diǎn)“，過(guò)〃作

HBJ.PC交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)乩

(1)求證：〃區(qū)是0。的切線；

(2)若”8=4,BC=2,求0。的直徑.

10.如圖，已知AB為。。的直徑，OE切。。于點(diǎn)。，連接BD,點(diǎn)尸是。。上一點(diǎn)，連接",

且DEJLEA交其延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,FA.8D延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C,點(diǎn)石是。尸的中點(diǎn).

(1)求證：AB=AC.

(2)若人/=3,DE=2,求A3的長(zhǎng).

11.如圖，在RtVA5c中，NC=90,點(diǎn)。為邊AC上一點(diǎn).

(1)尺規(guī)作圖：在邊A8_L作一點(diǎn)。，使得ZA8=2N，加O；(要求：不寫(xiě)作法.保留作圖

痕跡)

(2)在(1)的條件下，以點(diǎn)。為圓心，。3為半徑的圓與3c交于點(diǎn)E,且NAQD=NOOE.求

證：AC與00相切.

12.如圖所示，四邊形A3CO是半徑為r的。。的內(nèi)接四邊形，A3是。。的直徑，ZABD=45°,

直線1與三條線段C。、CA.D4的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E、F、G.且滿足NCFE=45。.

(1)求證：直線/_L直線CE；

(2)若AB=DG.

①求證：△ABC四△G0E；

②若半徑廠=2,CE=3,求四邊形ABCD的周長(zhǎng).

答案解析

【典型例題】

【例1】已知同一平面內(nèi)有。。和點(diǎn)A與點(diǎn)B,如果。。的半徑為6cm,線段OA=10cni,線段

0B=6cm,那么直線AB與。。的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相交C.相切D.相交或相切

【答案】D

【例2】如圖，A、B、。是。。的圓周上三點(diǎn)，DE與。。相切于點(diǎn)C,連接AB、BC、AC,

若A3=AC,ZBCD=40°,則/ACE的度數(shù)為（）

【答案】C

【例3】如圖，AB是圓。的直徑，AE交圓。于點(diǎn)尸，且與圓。的切線CQ互相垂直,垂足為。.若

CZ）=4,AD=8,則圓的半徑是（）

【答案】B

【例4】如圖，PA、m是0。的切線，切點(diǎn)分別是A、B,C在A8上，過(guò)。的切線分別交抬、

PB于點(diǎn)D、E.若P8=10,則△尸。E的周長(zhǎng)為.

【例5】如圖，在矩形A3CO中，AB=10,BC=8,以CD為直徑作。0.將矩形ABCO繞點(diǎn)C

旋轉(zhuǎn)，使所得矩形AES'的邊A9與。。相切，切點(diǎn)為E,邊CD與。。相交于點(diǎn)尸，則小尸

的長(zhǎng)為.

【答案】2

【例6】如圖，CO是。。的直徑，點(diǎn)〃在。。上，點(diǎn)A為DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。七〃8c

交AZ?的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,且ND=ZE.

(1)求證：4石是。。的切線;

(2)若線段OE與。。的交點(diǎn)尸是。七的中點(diǎn)，。。的半徑為66，求陰影部分的面積.

連接。8,

是。。的直徑,

工BC工BD,即ZCBD=90°,

?：OE〃BC、

：./DGO=NCBD=90。,

：./BGE=ZDGO=90°,ZD+ZDOG=90°,

?//D=NE,

：./DOE=/DBE,

?；OD=OB,

：./D=/OBD,

???/OBD+NDBE=/D+/DOG=90°,

???/OBE=90。,

??,。3是。。的半徑，

???AE是。。的切線：

【小問(wèn)2詳解】

VZOBE=90°,尸是?！甑闹悬c(diǎn)，

???BF=OF,

???0O的半徑為6C，ZDGO=90°,

:.BF=OF=OB=6&ZBGO=180°-ZDGO=90°,

???△。班'是等邊三角形，

???ZB(9F=60n,

???/LOBG=90°-ABOF=30°,

：.OG=；OB=30BG=dOB2-OG2、,(6可—(3百『=9,

???陰影部分的面積為：5s.二空也至」，3島9=18兀-之叵

mn^oB：,A(//JO3602"2

???陰影部分的面積為18兀-2

【舉一反三】

【變式1】如圖，AB、AC是。。的兩條弦，NBAC=25°,過(guò)點(diǎn)C的切線與0B的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,

A

A.25°B.30°C.35°D.40°

【答案】D

【變式2】已知油中,/C=9O,AC=3,8C=4,以C為圓心，，?為半徑的圓與邊AB有

兩個(gè)交點(diǎn)，則，?的取值范圍是（）

1212

A.r=——B.r>—C.3<r<4D詈*

55

【答案】D

【變式3】如圖，￡4,是。。的切線,切點(diǎn)為A,D,點(diǎn)B,C在。。上，若N3AE+N3c0=236。,

B.60°C.68°D.70°

【答案】C

【變式4】如圖，。0內(nèi)切于△ABC,切點(diǎn)D,E,F分別在BC,AB,AC上.已知NB=50°,

ZC=60°,連接0E,OF,DE,DF,那么NEDF等于.

A

【答案】55°

【變式5】如圖，直線1與。。相切于點(diǎn)A,點(diǎn)P在直線1上，直線P。交。。于點(diǎn)B,C,0D1AB,

(1)判斷直線跳與。0的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(2)若PB=OB=6,求弧4。的長(zhǎng).

【答案】(1)結(jié)論：屈與。。相切.

理由：???Q4是切線，

：.OA±PAf

：./O4E=90。，

：.BD=AD,

：.EB=EA,

在和△OE4中，

OE=OE,OB=OA,BE=EA,

???—奴運(yùn)△OEA(SSS),

:.^OBE=ZOAE=90°f

：?OBLBE,

???BE是。。的切線.

【小問(wèn)2詳解】

在RtZVYM中，PB=OB=6,04=6,

：.0P=20At

：.ZP=30°,

:.ZPO4=60°,

/40C=120°,

1204x6

J弧AC長(zhǎng);=4兀.

18()

【變式6】如圖，在△A3。中，AB=BD,。。為△A8O的外接圓，AC為。0直徑，過(guò)點(diǎn)8作

BE工DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

（1）判斷8石與。。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）若。。的半徑為4,NABD=45。，求直徑AC、弦CD與劣弧AD所圍圖形的面積.

【答案】（1）的是。。的切線，理由如下：

連接8。，并延長(zhǎng)8。交AD于點(diǎn)H,

*.?AB=BD,

?**A3=BD，

AC為。。直徑，

/.BH±AD,NAOC=90。,

:.ZAHB=^ADC=90°f

：.BH〃DE,

???/HBE=180。一/E=90°，

：.OBlBEf

：.BE是。。的切線;

小問(wèn)2詳解】

■:ZABD=45°,

???/ACD=NABD=450,

???/ADC=90。，

:.ZDAC=45°=ZACDf

???AD=CD,ZAOD=2ZACD=90°,

：.OD1AC,

???直徑AC、弦CD與劣弧AD所圍圖形的面積=$儂形八a+S/8

90x^x421,)

-------------+—x4x4

360---2

=4%+8.

【鞏固練習(xí)】

1.已知00的半徑等于3,圓心0到直線1的距離為5,那么直線1與O0的位置關(guān)系是（）

A.直線1與。。相交B.直線1與。。相切

C.直線1與。0相離D.無(wú)法確定

【答案】C

2.如圖，AB是。0的直徑，AC切。。于A,BC交。0于點(diǎn)D,若NO70°,則NAOD的度數(shù)為

B.35°C.20°D.40°

【答案】D

3.如圖，PA與O。相切于A點(diǎn)，ZP=20°,則NPOA=()

C.70°D.140°

【答案】C

4.一個(gè)定點(diǎn)與圓上各點(diǎn)之間距離的最小值稱為這個(gè)點(diǎn)與這個(gè)圓之間的距離，如圖，矩形A3CQ

中，A8=28cm,BC=24cm,QK與矩形的邊A3、BC、CD分別相切于點(diǎn)E、F、G,則點(diǎn)A

與0K的距離為()

B.8cmC.12cmD.16cm

【答案】B

5.若0。的半徑為5,圓心到直線/的距離為5,則直線，與00的位置關(guān)系是.

【答案】相切

6.如圖，A3是。O的直徑，點(diǎn)D在A8的延長(zhǎng)線上，0c切。。于點(diǎn)C,如果NO=30。，AB=4,

那么線段CD的長(zhǎng)是

c

\OBD

【答案】2G

7.如圖，MN與。。相切于點(diǎn)A,A3是。0的弦，且45=1,NB4N=30。，則。。的半徑長(zhǎng)為

8.如圖，已知VA8C中，Z4CB=90°,AC=6f8。=4,點(diǎn)E是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，以CE為直

徑作。尸，連接班交。尸于點(diǎn)。，則AD的最小值=.

【答案】2>/10-2

9.如圖，在。。中，Q4是直徑，PC是弦，平分44尸3且與。。交于點(diǎn)”，過(guò)H作

HBSC交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B.

A

Po

(1)求證：是。0的切線；

(2)若HB=4,BC=2,求。。的直徑.

【答案】(1)如圖，連接0H,

(3?！捌椒?717乃，

:"HPA=/HPB,

?.?OP=OH,

:"OHP=NHPA,

;"HPB=/OHP,

:.OH//BP,

BP上BH,

:.0H1BH,

「.HE是G)O的切線：

【小問(wèn)2詳解】

如圖，過(guò)點(diǎn)0作OELPC,垂足為E,

-0E1PGOH±BH,BPLBH.

???四邊形E0/73是矩形，

;.OE=BH=^OH=BE,

:.CE=OH-2,

?：OELPC,

PE=EC=OH-2=OP-2,

在Rt△POE中，OP2=PE2+OE2,

.-.OP2=(OP-2)2+16,

:.OP=5,

AP=2OP=\0,

.?.00的直徑是10.

10.如圖，已知AB為。。的直徑，DE切00于點(diǎn)、D,連接B7）,點(diǎn)尸是。。上一點(diǎn)，連接AF,

且DEJLB4交其延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,￡4、8。延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C,點(diǎn)E是。尸的中點(diǎn).

(2)若4/=3,DE=2,求A3的長(zhǎng).

【答案】（1）證明：如圖，連接。。,

?IDE切。。于點(diǎn)。，

???/ODE=90。,

??.ZODB+ZEDC=180°-ZODE=180°-90°=90°,

■:DE上FC,

：.ZC+ZE￡)C=90°,

:.4c=/ODB,

?：OB=OD,

：.4ODB=Z.OBD,

:./C=NOBD,

???AB=AC；

【小問(wèn)2詳解】

解：連接用LAD,

???AN為。。的直徑，

；?/BDA=90。,ZBFA=90%

,:AB=AC,

???點(diǎn)。為3C中點(diǎn)，

???點(diǎn)E是C/的中點(diǎn)，AF=3,DE=2,

:.BF=2DE=2x2=4,

在RtVE48中，A3=JA尸+BF?=丁?+42=5?

/o

11.如圖，在RtVABC中，NC=90，點(diǎn)。為邊AC上一點(diǎn).

(1)尺規(guī)作圖：在邊AB上作一點(diǎn)。，使得=(要求：不寫(xiě)作法，保留作圖

痕跡)

(2)在(1)的條件下，以點(diǎn)。為圓心，。3為半徑的圓與8c交于點(diǎn)￡,且/=石.求

證：AC與。0相切.

【答案】(1)如圖所示，點(diǎn)。即所求.

(2)如圖，連接?！?gt;,OE.

c

4"~

???乙4。力是力的外角，

/.ZAOD=ZOBD+/ODB.

?;/AOD=2/BDO,

:"OBD=NOD