中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國版）

第三章函數(shù)

3.2一次函數(shù)

備考指南〉

考點(diǎn)分布考查頻率命題趨勢

考點(diǎn)1一次函數(shù)的表達(dá)數(shù)學(xué)中考中，有關(guān)一次函數(shù)的部分，每年考查1道題，

☆☆☆

式、圖象與性質(zhì)分值為3~6分，通常以選擇題、填空題、解答題的形

式考查。對于這部分知識的復(fù):習(xí)需要學(xué)生熟練掌握一

考點(diǎn)2一次函數(shù)與一次方

次函數(shù)的表達(dá)式。在一次函數(shù)的應(yīng)用試題里，通常結(jié)

程（組）、一元一次不等式的☆☆

合考查方程（組）、函數(shù)、不等式綜合知識，所以復(fù)

關(guān)系

習(xí)時要系統(tǒng)深入學(xué)習(xí)好一次函數(shù)基礎(chǔ)知識。

考點(diǎn)3一次函數(shù)的應(yīng)用☆☆

☆☆☆代表必考點(diǎn)，☆☆代表?？键c(diǎn)，☆星表示選考點(diǎn)。

［奧夯實(shí)基礎(chǔ)

HlI知識清單〉

考點(diǎn)1.一次函數(shù)的表達(dá)式、圖象與性質(zhì)

l.i次函數(shù)的定義

一般地，形如伏,〃為常數(shù)，且原0）的函數(shù)叫做X的一次函數(shù).

特別地，當(dāng)一次函數(shù)尸6+〃中的〃=0時，y=kx是常數(shù)，原0）.這時，y叫做x的______函數(shù).

2.一次函數(shù)的一般形式

一次函數(shù)的一般形式為廣匕+力，其中公力為常數(shù)，模0.

一次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：（1）原0,（2）%的次數(shù)是1；（3）常數(shù)〃可以為任意實(shí)數(shù).

注意：（1）正比例函數(shù)是一次函數(shù)，但一次函數(shù)_______是正比例函數(shù).

（2）一般情況卜.,一次函數(shù)的自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù).

（3）判斷一個函數(shù)是不是一次函數(shù)，就是判斷它是否能化成產(chǎn)匕+b（厚0）的形式.

3.一次函數(shù)的圖象特征與性質(zhì)

（1）一次函數(shù)的圖象

一次函數(shù)的圖象一次函數(shù)尸質(zhì)+"原0）的圖象是經(jīng)過點(diǎn)______和0）的一條直線

一次函數(shù)廣收+雙原0）的圖象可由正比例函數(shù)產(chǎn)履（原0）的圖象一得到；歷>0,向

圖象關(guān)系

上平移8個單位長度：b<0,向下平移⑶個單位長度

因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的圖象是一條____,由兩點(diǎn)確定一條直線可■知畫一次函數(shù)圖象時，

圖象確定

只要取兩點(diǎn)即可。

（2）一次函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)字母取值圖象經(jīng)過的象限函數(shù)性質(zhì)

■■

Q0,b>0干■—、—?、—?

y-kx+b

y隨x的增大而增大

（原0）

Q（）,*0一、三、四

k<0,b>0一、二、四

y=kx+b稻］

y隨x的增大而減小

（呼0）

KO,b<0二、三、四

（3）k,〃的符號與直線產(chǎn)質(zhì)+匕（原0）的關(guān)系

在直線產(chǎn)依+〃（嚀0）中，令丁:0,則4-g,即直線產(chǎn)6+。與x軸交于（-p0）.

①當(dāng)一2>o時，即上方異號時，直線與x軸交于正半軸.

k

②當(dāng)一2=0,即加o時，直線經(jīng)過原點(diǎn).

k

③當(dāng)!<0,即上〃同號時，直線與x軸交于負(fù)半軸.

（4）兩直線尸hr+4（h#0）與尸&*+岳■卻）的位置關(guān)系：

①當(dāng)心=幻，b/bz,兩直線平行；②當(dāng)左二公，b產(chǎn)b2,兩直線重合;

③當(dāng)bi=b2,兩直線交于），軸上一點(diǎn)；④當(dāng)h?#2=-1時，兩直線垂直.

4.一次函數(shù)與正比例函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系

正比例函數(shù)一次函數(shù)

一般形式產(chǎn)6a是常數(shù)，且導(dǎo)（））y=kx+b（A,人是常數(shù)，且原0）

圖象經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線一條直線

k的符號決定其增減性，同時k的符號決定其增減性；b的符號決定直

區(qū)

k,〃符號的作用決定直線所經(jīng)過的象限線與），軸的交點(diǎn)位置；k,b的符號共同

別

決定直線經(jīng)過的象限

只需要一對X，y的對應(yīng)值或需要兩對x,y的對應(yīng)值或兩個點(diǎn)的坐標(biāo)

求解析式的條件

一個點(diǎn)的坐標(biāo)

比例函數(shù)是特殊的次函數(shù).

②正比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的畫法一樣，都是過兩點(diǎn)畫直線，但畫一次函數(shù)的圖象需

取兩個不同的點(diǎn)，而畫正比例函數(shù)的圖象只要取一個不同于原點(diǎn)的點(diǎn)即可.

聯(lián)③一次函數(shù)產(chǎn)&+從原0）的圖象可以看作是正比例函數(shù)嚴(yán)入（原0）的圖象沿），軸向上">0）

系或向下（旅0）平移宙|個單位長度得到的.由此可知直線產(chǎn)lr+力（后。，厚0）與直線產(chǎn)入（片0）

平行.

④一次函數(shù)與正比例函數(shù)有著共同的性質(zhì)：

a.當(dāng)Q0時，），的值隨x值的增大而增大；b.當(dāng)K0時，y的值隨x值的增大而減小.

【重點(diǎn)提醒】待定系數(shù)法求函數(shù)解析式

1.定義：先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知數(shù)的系數(shù)，從而得出函數(shù)解析式的方法

叫做待定系數(shù)法.

2.待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式的一般步驟

（1）設(shè)含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式為產(chǎn)6（原0）.

（2）把已知條件（自變量與函數(shù)的對應(yīng)值）代入解析式，得到關(guān)于系數(shù)人的一元一次方程.

（3）解方程，求出待定系數(shù)&.

（4）利用函數(shù)性質(zhì)解決問題；

（5）檢驗(yàn)所求解是否符合；

（6）答.

【易錯點(diǎn)提示】方案最值問題

對于求方案問題，通常涉及兩個相關(guān)量，解題方法為根據(jù)題中所要滿足的關(guān)系式，通過列不等式，求

解出某一個事物的取值范圍，再根據(jù)另一個事物所要滿足的條件，即可確定出有多少種方案.

求最值的本質(zhì)為求最優(yōu)方案，解法有兩種：

（1）可將所有求得的方案的值“算;"米，再進(jìn)行比較；

（2）直接利用所求值與其變量之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式求解，由一次函數(shù)的增減性可直接確定最

優(yōu)方案及最值；若為分段函數(shù)，則應(yīng)分類討論，先計(jì)算出每個分段函數(shù)的取值，再進(jìn)行比較.

顯然，第（2）種方法更簡單快捷.

2二考點(diǎn)梳理〉

考點(diǎn)L一次函數(shù)的表達(dá)式、圖象與性質(zhì)

【例題1】（2024甘肅臨夏）一次函數(shù)丁=履-1若y隨片的增大而減小，則它的圖象不

經(jīng)過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【變式練1】（2024黑龍江綏化一模）下列函數(shù)是一次函數(shù)的是（）

88

A.y=-8xB.y=—C.y=-8x2+2D.y=一一+2

KX

【變式練2］（2024吉林長春一模）已知y=（m—l）x"+n+3.

（1）當(dāng)m、n取何值時，y是x的一次函數(shù)？

⑵當(dāng)m、n取何值時，y是x的正比例函數(shù)？

【變式練3］（2024遼寧一模）已知一次函數(shù)y=kx+b中，當(dāng)自變量x=3時，函數(shù)值y=5；當(dāng)x

=-4時，y=-9.求k和b的值.

【例題2】（2024海南）已知正比例函數(shù)丫=1^（1＜工0）的函數(shù)值y隨x的增大而減小，則?次函數(shù)y

=x+k的圖象大致是（）

【變式練1】（2024山西一模）已知函數(shù)y=（2m-2）x+m+l,

（1）當(dāng)m為何值時，圖象過原點(diǎn)？

（2）已知y隨x增大而增大，求m的取值范圍；

（3）函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)在x粕上方，求m的取值范圍；

（4）圖象過第一、二、四象限，求m的取值范圍.

【變式練2］（2024江西一模）已知一次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3,5）和點(diǎn)B（—4,-9）.

（D求此一次函數(shù)的解析式；

⑵若點(diǎn)C（m,2）是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，求C點(diǎn)坐標(biāo).

考點(diǎn)2.一次函數(shù)與一次方程（組）、一元一次不等式的關(guān)系

【例題3】（2024江蘇揚(yáng)州）如圖，已知一次函數(shù)），二日+儀女工0）的圖象分別與x、y軸交于小B

則關(guān)于X的方程丘+〃=0的解為

【變式練1】（2024云南一模）一次函數(shù)丫=1^+乂匕b為常數(shù)，且kWO）的圖象如圖所示，根據(jù)圖

象信息可求得關(guān)于x的方程kx+b=O的解為（）

C.x=()I).x=3

【變式練2］（2024新疆一模）如圖，函數(shù)片4廣人與尸勿廣△的圖象交于點(diǎn)尸（1,2）,那么關(guān)于人

)

x=2x=\

C.D.

[y=3卜=3

【例題4】（2024廣東）已知不等式依+人＜0的解集是xv2,則一次函數(shù)丁=履+。的圖象大致

是（)

【變式練1］（2024武漢一模）如圖,直線產(chǎn)kx+3經(jīng)過點(diǎn)（2,0）,則關(guān)于x的不等式kx+3>0的

解集是（）

A.x>2B.x<2C.x22D.x<2

【變式練2】（2024山東濰坊一模）如圖，-次函數(shù)y產(chǎn)x+b與,次函數(shù)丫2=kx+4的圖象交于點(diǎn)P（1,

3）,則關(guān)于x的不等式x+b>kx+4的解集是（）

A.x>-2B.x>0C.x>1D.x<l

考點(diǎn)3.一次函數(shù)的應(yīng)用

【例題1】（2024河北?。┥任幕侵腥A優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的組成部分.在我國有著深厚的底埴.如圖.

某折扇張開的角度為120。時，扇面面積為S、該折扇張開的角度為〃。時，扇面面積為S“，若加=不，

則機(jī)與〃關(guān)系的圖象大致是（）

【變式練1】（2024黑龍江綏化一模）某學(xué)校計(jì)劃為“建黨百年，銘記黨史”演講比賽購買獎品.已

知購買2個A種獎品和4個8種獎品共需100元：購買5個A種獎品和2個B種獎品共需130元.學(xué)

2

校準(zhǔn)備購買兩種獎品共2。個，且A種獎品的數(shù)量不小于A種獎品數(shù)量的三，則在購買方案中

最少費(fèi)用是____元.

【變式練2］（2024貴州一模）某中學(xué)計(jì)劃暑假期間安排2名老師帶領(lǐng)部分學(xué)生參加紅色旅游.甲、

乙兩家旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同，且報價都是每人1000元.經(jīng)協(xié)商，甲旅行社的優(yōu)惠條件是：老師、

學(xué)生都按八折收費(fèi)；乙旅行社的優(yōu)惠條件是：兩位老師全額收費(fèi)，學(xué)生都按七五折收費(fèi).

（1）設(shè)參加這次紅色旅游的老師學(xué)生共有廠名，y甲，y乙（單位：元）分別表示選擇甲、乙兩家旅行

料所需的費(fèi)用,求y甲.y乙關(guān)于x的函數(shù)解析式：

（2）該校選擇哪家旅行社支付的旅游費(fèi)用較少？

yI真題在線〉

考點(diǎn)1.一次函數(shù)的表達(dá)式、圖象與性質(zhì)

1.（2024湖南長沙）對于一次函數(shù)》二2工一1,下列結(jié)論正確的是（）

A.它的圖象與y軸交于點(diǎn)（。,-1）B.y隨X的增大而減小

C.當(dāng)時，y<oD.它的圖象經(jīng)過第一、二、三象限

2.（2024遼寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系，中，菱形AO8C的頂點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，頂點(diǎn)R在

直線尸%上，若點(diǎn)"的橫坐標(biāo)是8,為點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

)

A.(-1,6)B.(-2,6)C.(-3,6)D.(T6)

3.（2024黑龍江大慶）請寫出一個過點(diǎn)（1,1）且y的值隨x值增大而減小的函數(shù)的解析式.

4.（2024四川涼山）如圖，一次函數(shù)丁=去+。的圖象經(jīng)過A（3,6）,8（0,3）兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)C,

則JOC的面積為_____.

5.（2024甘肅威武）已知一次函數(shù)了=-2工+4,當(dāng)自變量x>2時，函數(shù)y的值可以是一

（寫出一個合理的值即可）.

6.（2024上海市）某種商品的銷售量y（萬元）與廣告投入x（萬元）成一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)投入10

萬元時銷售額1000萬元，當(dāng)投入90萬元時銷售量5000萬元,則投入80萬元時，銷售量為

萬元.

7.（2024江蘇蘇州）直線4：丁=x-1與x軸交于點(diǎn)4將直線/1繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)15°,得到直線12,

則直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是

考點(diǎn)2.一次函數(shù)與一次方程（組）、一元一次不等式的關(guān)系

1.（2024黑龍江綏化）為了響應(yīng)國家提倡的“節(jié)能環(huán)保”號召，某共享電動車公司準(zhǔn)備投入資金購

買A、“兩種電動車.若購買A種電動車25輛、。種電動車80輛，需投入資金30.5萬元；若購買A

種電動車60輛、〃種電動車120輛，需投入資金48萬元.已知這兩種電動車的單價不變.

（1）求A、8兩種電動車的單價分別是多少元？

（2）為適應(yīng)共享電動車出行市場需求，該公司計(jì)劃購買A、3兩種電動車200輛，其中A種電動車

的數(shù)量不多于4種電動車數(shù)量的一半.當(dāng)購買A種電動車多少輛時，所需的總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是

多少元？

（3）該公司將購買的A、8兩種電動車投放到出行市場后，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)者支付費(fèi)用N元與騎行時間

xmin之間的對應(yīng)關(guān)系如圖.其中A種電動車支付費(fèi)用對應(yīng)的函數(shù)為凹；8種電動車支付費(fèi)用是

lOmin之內(nèi)，起步價6元，對應(yīng)的函數(shù)為為.請根據(jù)函數(shù)圖象信息解決下列問題.

①小劉每天早上需要騎行A種電動車或〃種電動車去公司上班.已知兩種電動車的平均行駛速度均為

300m/min（每次騎行均按平均速度行駛，其它因素忽略不計(jì)），小劉家到公司的距離為8km,那

么小劉選擇種電動車更省錢（填寫A或3）.

②直接寫出兩種電動車支付費(fèi)用相差4元時，工的值

考點(diǎn)3.一次函數(shù)的應(yīng)用

1.（2024湖北省）鐵的密度約為7.9kg/cm，鐵的質(zhì)量相（kg）與體積V（co?）成正比例.一個

體積為lOcn?的鐵塊，它的質(zhì)量為______kg.

2.（2024陜西?。┪覈履茉雌嚳焖俳】蛋l(fā)展，續(xù)航里程不斷提升，王師傅駕駛一輛純電動汽車

從力市前往8市，他駕車從力市一高速公路入口駛?cè)霑r，該車的剩余電量是8OhVh,行駛了240公〃

后，從4市一高速公路出口駛出，已知該車在高速公路上行駛的過程中，剩余電量伊h）與行駛路

程之間的關(guān)系如圖所示.

（2）已知這輛車的“滿電量”為AOOZrW?.求王師傅駕車從4市這一高速公路出口駛出時，該車的

剩余電量占“滿電量”的百分之多少.

3.（2024深圳）

【繽紛618,優(yōu)惠送大家】

今年618各大電商平臺促銷火熱，線下購物中心也亮出大招，年中大促進(jìn)入“白熱化”.深圳

各大購物中心早在5月就開始推出618活動，進(jìn)入6月更是持續(xù)加碼，如圖，某商場為迎接即

將到米的618優(yōu)惠節(jié)，米購了若干輛購物車.

背

景

從地面起飛，乙無人機(jī)從距離地面20米高的樓頂起飛，甲、乙兩架無人機(jī)同時勻速上升，6秒時甲

無人機(jī)到達(dá)訓(xùn)練計(jì)劃指定的高度停止上升開始表演，完成表演動作后，按原速繼續(xù)飛行上升，當(dāng)甲、

乙無人機(jī)按照訓(xùn)練計(jì)劃準(zhǔn)時到達(dá)距離地面的高度為96米時，進(jìn)行了時長為1秒的聯(lián)合表演，表演完

成后以相同的速度大小同時返回地面.甲、乙兩架無人機(jī)所在的位置距離地面的高度y（米）與無人機(jī)

總行的時間秒）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.請結(jié)合圖象解答下列問題:

(1)a=米/秒，t=秒;

（2）求線段MN所在直線的函數(shù)解析式:

（3）兩架無人機(jī)表演訓(xùn)練到多少秒時，它們距離地面的高度差為12米？（直接寫舟答案即可）

專項(xiàng)練習(xí)〉

考點(diǎn)1.一次函數(shù)的表達(dá)式、圖象與性質(zhì)

A.函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,3)

B.不論x為何值，總有y>0

C.y隨x的增大而減小

D.函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限

3.已知函數(shù)y=(m-l)x+l-m'

(1)當(dāng)m為何值時，這個函數(shù)是一次函數(shù)？

(2)當(dāng)m為何值時，這個函數(shù)是正比例函數(shù)？

4.下列函數(shù)關(guān)系式：(l)y=-x；(2)y=x-1；(3)y=—；(4)y=r,其中一次函數(shù)的個數(shù)

x

是()

A.1B.2C.3D.4

個過點(diǎn)且y隨x增大而減小的一次函數(shù)關(guān)系式—

7.若一次函數(shù)y=x+8(6是常數(shù))的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，則6的值可以是—

(寫出二個即可).

8.點(diǎn)4(/，1),3(工2，%)在一次函數(shù)-2)x+1的圖像上，當(dāng)當(dāng)時，,<必，則々的取

值范圍是.

9.一次函數(shù)y=kx+b(k+0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)4(-3,0),點(diǎn)8(0,2),那么該圖象不經(jīng)過的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

10.已知：將直線y=x-1向上平移2個單位長度后得到直線y=kx+b,則下列關(guān)于直線尸kx+b的說

法正確的是()

A.經(jīng)過第一、二、四象限B.與x軸交于(1,0)

C.與y軸交于(0,1)D.y隨x的增大而減小

11.在同一平面直角坐標(biāo)中，作出下列函數(shù)的圖象.

(l)y=2x-l;(2)y=x+3；(3)y=~2x;(4)y=5x.

12.在平面直角坐標(biāo)系中，將直線L：y=-2x-2平移后，得到直線k：y=-2x+4,則下列平移

作法正確的是()

A.將h向右平移3個單位長度

B.將L向右平移6個單位長度

C.將L向上平移2個單位長度

D.將L向上平移4個單位長度

13.已知直線y=-戶1與＞軸、y軸分別交于月、兩點(diǎn)，點(diǎn)〃是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若△用“為等腰

直角三角形，則點(diǎn)〃的坐標(biāo)為()

A.(1,1)

B.(1,1)或(1,2)

C.(1,1)或(1,2)或(2,1)

考點(diǎn)2.一次函數(shù)與一次方程(組)、一元一次不等式的關(guān)系

1.如圖，直線產(chǎn)ax+b(aW0)過點(diǎn)A(0,4),B(-3,0),則方程ax+b=0的解是()

V

43

A.x=-3B.x=4C.x二---I).x=一一

34

2.（2022浙江杭州）已知一次函數(shù)尸3尸1與尸〃x（女是常數(shù)，kNO）的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1,2）,

則方程組的解是_________

o-y=0

3.如圖，直線與直線比=%戶4交于點(diǎn)力（1,2）.當(dāng)乂<%時，*的取值范圍是

4.如圖，直線L：y=x+l與直線L：y=mx+n相交于點(diǎn)P（a,2）,則關(guān)于x的不等式x+1Wmx+n的

解集為.

5.如圖，直線y=A產(chǎn)。（4、。是常數(shù)4W0）與直線y=2交干點(diǎn)月（4,2）,則關(guān)于*的不等式4產(chǎn)。

<2的解集為_____.

6.數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法.如圖，直線尸2x-1與直線y=A戶6&HQ）相交于

點(diǎn)尸（2,3）.根據(jù)圖象可知，關(guān)于x的不等式2x-1>4戶》的解集是一

B.x<3C.A>2D.x>3

x>27.已知函數(shù)丫=(2m+l)x+m-3；

(1)若該函數(shù)是正比例函數(shù)，求m的值;

⑵若函數(shù)的圖象平行直線y=3x-3,求m的值;

(3)若這個函數(shù)是一次函數(shù)，且y隨著x的增大而減小，求m的取值范圍;

(4)若這個函數(shù)圖象過點(diǎn)(1,4),求這個函數(shù)的解析式.

(1)當(dāng)x取何值時，2x-5=-x+l?

(2)當(dāng)x取何值時,2x-5>-x+l?

(3)當(dāng)x取何值時，2x-5<-x+l?

3Q3

9.直角坐標(biāo)系中有兩條直線：y=gx+g,y=—那+6,它們的交點(diǎn)為P,第一條直線交x軸于點(diǎn)A,

第二條直線交x軸于點(diǎn)B.

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);

5y-3x=9,

(2)用圖象法解方程組

3x+2y=12；

(3)求4PAB的面積.

考點(diǎn)3.一次函數(shù)的應(yīng)用

1.某市垃圾處理廠利用焚燒垃圾產(chǎn)生的熱能發(fā)電.有山〃兩個焚燒爐，每個焚燒爐每天焚燒垃圾均

為100噸，每焚燒一噸垃圾，，4焚燒爐比6焚燒爐多發(fā)電50度，4少焚燒爐每天共發(fā)電55000度.

(1)求焚燒一噸垃圾，力焚燒爐和少焚燒爐各發(fā)電多少度？

(2)若經(jīng)過改進(jìn)工藝，與改進(jìn)工藝之前相比每焚燒一噸垃圾，力焚燒爐和〃焚燒爐的發(fā)電量分別增

加渦和2渦