空間向量與立體幾何題型1空間向量的線性運算空間向量線性運算中的三個關鍵點關鍵幾何關系向量關鍵線性點二關鍵點三1.(24-25高一下·福建福州·期末)點O在平行四邊形ABCD所在平面外，AC與BD交于點M,則A.OMB.20MC.30MD.4OM所以20A-OB+20C-OD=2(0A+OC)-(OB+OD)=2×20M-20M=20M.A.B.3MGC.GMD.2MG向量的是()A.AB+2BC+2CD+DCB.2AB+2BC+3CD+3DA+ACC.AB+DA+BDD.A 對于B,2AB+2BC+3CD+3DA+AC=2(AB+BC)+3(CD+DA)+AC=2AC+3CA+AC=(,故B正確；對于D,AB-CB+CD-AD=(AB-AD)+(CD-CB)=DB+BD=0,故D正確4.(2025·新疆喀什模擬預測)在任意四邊形ABCD中，E,F分別是AD,BC的中點，若AB+DC=λEF,【答案】C【分析】根據(jù)向量加法法則，將AB+DC,EF分別用AD,DC,CB表示，再結(jié)合題意即可得解.【詳解】如圖，AB+DC=AD+DC+CB+DCAB+DC=2EF,二λ=2.5.(2025高二全國·專題練習)如圖，在四面體ABCD中，E,F,G分別是AB,BC,CD的中點，化【答案】CDDF【分析】根據(jù)向量的線性運算即可.【詳解】故答案為：題型2共線、共面向量定理的應用應用共線(面)向量定理證明點共線(面)的方法比較三點(P,A,B)共線空間四點(M,P,A,B)共面對空間任一點0,OP=OM+xMA+yMB6.(25-26高三上·河北·開學考試)已知空間向量a=(4,-3,2)與b=(2,x,y)共線，則x+y=()【分析】根據(jù)空間向量共線的條件即可得出答案.【詳解】因為空間向量a=(4,-3,2)與b=(2,x,y)共線，所以解得.所以 DC=2e-e?,且A、B、D三點共線，則實數(shù)k的值為() 【分析】利用向量的線性運算表示AD,根據(jù)A、B、D三點共線可得AB=λAD,建立等量關系可得k的值.【詳解】∵AB=2e+ke?,BC=e?+3e?,DC=2e-e?,即2e+ke?=λ[e+(k+4)e?]=λe+λ(k+4)?,8.(24-25高三上·河南濮陽階段練習)已知P、A、B、C為空間中的四點且P,B,C三點不共線，且PA=αPB+βPC,則“α+β=1”是“A、B、C三點共線”的()【詳解】若α+β=1,則PA=aPB+(1-a)PC,故PA-PC=a(PB-PC),所以CA=αCB,而CA,CB共起點，故A,B,C三點共線，若A,B,C三點共線，則存在實數(shù)λ,使得CA=λCB,因為P,B,C不共線，則PB,PC不共線，故λ=α,1-λ=β,故α+β=1,A?B上，以下命題正確的是()A.MN//BC則A?B=AA+AB=-c+a=a-c,ABC=AD=b,因為a,b,c不共線所以MN與BC不平行，故A錯誤.故C選項錯誤.因為,所以D?N=3NM,故D選項錯誤.A.當λ=0時，點P在棱BB?上B.當λ=μ時，點P在線段B?C上C.當μ=1時，點P在棱B?C?上D.當λ+μ=1時，點P在線段B?C上【分析】由空間向量共線定理逐一判斷即可.所以點P在線段BC?上，故B錯誤； 所以λBC=BP-BB?,所以BP=λBC=λB?C,即B?P所以點P在棱B?C?上，故C正確；11.(24-25高二下·浙江階段練習)三個非零向量a,b,c則“a,b,c共面”是“c=λa+μb(λ,μ∈R)”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)向量共面的等價條件，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】由共面向量的基本定理可知，若三個非零向量a,b,c滿足C=λa+μb(λ,μ∈R),則a,b,c共面，故a,b,c共面是c=λa+μb(λ,μ∈R)的A.OM=OA-2OB-OCB.MA+3MB+5MC=0【分析】根據(jù)空間共面向量定理的應用，依次判斷選項即可.【詳解】對于A,OM=OA-20B-OC,由于1-2-1=-2≠1,所以不能得出M,A,B,C共面.故A不符合題意；對于B,由于MA=-3MB-5MC,則MA,MB,MC為共面向量，所以M,A,B,C共面.故B符合題意；對于C,,由于所以不能得出M,A,B,C共面.故C不符合題意；而-1-1-1=-3≠1,所以不能得出M,A,B,C共面.故D不符合題意；【分析】根據(jù)空間向量共面基本定理，列出方程組，根據(jù)方程組有解無解可判斷是否共面.【詳解】由題意，可得AB=(3,-1,-2),AC=(1,1,-2), AD?=(2,0,-2),AD?=(-6,2,4),AD?=(5,1,-6),AD?=(4,-若A,B,C,D?共面，則存在x,y使得AD?=xAB+yAC成立，代入坐標可得解得即四點共面，故A錯誤；若A,B,C,D?共面，則存在x,y使得AD?=xAB+yAC成立，代入坐標可得解得x=-2,y=0,即四點共面，故B錯誤；若A,B,C,D?共面，則存在x,y使得AD?=xAB+yAC成立，代入坐標可得解得x=1,y=2,即四點共面，故C錯誤；若A,B,C,D?共面，則存在x,y使得AD?=xAB+yAC成立，代入坐標可得此方程組無解，即四點不共面，故D正確.故選：D且A、B、C、D四點共面，則λ的值為()【詳解】若A,B,C,P四點共面，則,若A,B,C,D四點共面，則xy的最大值為() OM=xOA+yOB-OC(x>0,y>0),若M,A,B,C四點共面，0不在該平面上，則的最小值為() 【分析】利用空間向量四點共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可.【詳解】因為M,A,B,C四點共面，OM=xOA所以由共面定理可得，x+y-1=1,即即題型3空間向量基本定理及其應用用基向量表示指定向量的方法(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形.(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中.(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來. 18.(2025-浙江溫州·模擬預測)已知空間向量a=(1,0,0),b=(0,1,0),的一組基底的是()A.C=(0,0,0)B.c=(0,0,1)C.c=(1,1,0)【分析】根據(jù)基底的定義，判斷a,b,c是否共面即可逐一求解.【詳解】對于A,由于基底向量不能是零向量，故A錯誤，對于B,由于c=(0,0,1)與a,b不共對于C,c=(1,1,0)=a+b,故a,b,c共面，不符合要求，C錯誤，A.a,6,a+bB.a,c,a-cC.a+6,c,a-bD.a+b不共面的向量組即可.對于D,因為(a+b+c)=(a+b)+(c),構(gòu)成空間另一個基底的是()又c與a和6不共面，所以與p,q可以構(gòu)成空間的一個基底，C正確；所以 點，則A?N=()【分析】由空間向量的線性運算法則即可求解.23.(2025-湖北武漢二模)在三棱柱ABC-A?B?C?中，設AA?=a,AB=6,AC=c,M,N分別為AB,CC?的中點，則MN=()四棱錐稱為陽馬.如圖所示，已知四棱錐P-ABCD AB=a,AD=b,AP=c,則BE=()PB=AB-AP=a-c,A.AB+AC+AD【分析】取CD中點M,連接AM,BM,利用空間向量的線性運算即可得解.【詳解】如圖，在正三棱錐A-BCD中，取CD中點M,連接AM,BM,26.(24-25高二上·陜西咸陽·階段練習)三棱錐0-ABC中，OA=a,OB=b,OC=c,點M為BC中點，點N滿足ON=2NA,則MN=()【分析】由圖形，題意，結(jié)合空間向量加減法可得答案.CCA.【分析】由圖及空間向量加減法可得答案.【詳解】由圖可得：28.(24-25高二上·河南信陽·期末)如圖，在三棱錐ABCDAB=AC=AD=2,∠BAC=90°,∠BAD=∠CAD=60°,M,N分別為BC,AD的中點，則|MN|=()A.2√2B【分析】利用空間向量的線性運算可得,結(jié)合空間向量數(shù)量積的運算律計算可得 Mv|.題型4空間向量數(shù)量積及其應用空間向量數(shù)量積的應用求夾角設向量a,b所成的角為θ,則cosθ=,進而可求兩異面直線所成的角求長度運用公式|al2=a·a,可使線段長度的計算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題解決垂直問題可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題29.(2025·遼寧鞍山一模)已知向量a=(3A.36B.32C.56【詳解】向量a=(3,5,1),b=(2,1,4),則a+b=(5,6,5), 【詳解】如圖所示，因為E,F分別為BC又因為四面體ABCD為正四面體，且棱長為a,可得31.(24-25高三下·重慶階段練習)已知四面體ABCD,所有棱長均為2,點E,F分別為棱AB,AD的中點，【答案】D【分析】由平面向量基本定理可得再由空間向量數(shù)量積的運算律代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為點E,F分別為棱AB,AD的中點，且四面體ABCD所有棱長均為2,32.(24-25高三下·江蘇南京·階段練習)《九章算術》第五卷中涉及到一種幾何體——羨除，它下廣六尺，上廣一丈.深三尺，末廣八尺，袤七尺.該羨除是一個多面體ABCDFE,如圖，四邊形ABCD,ABEF,均為等且平面ABCD∩平面ABEF=AB,所以NA⊥平面ABEF,所以AN⊥AB,AN⊥AM,又AM⊥AB,故AN,AB,AM兩兩垂直，故BF=(-7,7,0),AD=(-2,0,3),故AD·BF=14,的任意一點，則PC·PC的取值范圍是() PC=(-x,√3,-z),PC?=(-x,√3,2-z),PC·PC?=x2+3+z2-2z=x2當x=0,且z=1時，PC·PC?取最小值2,所以PC·PC?的取值范圍為[2,4].則BO的長為()因為正四面體ABCD的棱長為1,由題意可知AoDBMC【答案】A=AB2+|AD2+4AA|+2|AB|AD|cos60°+2|ABA4,|cos60°+2| 則CD的長度為()【答案】C【詳解】由條件知CA·AB=0,AB·BD=0,CD=CA+AB+BD,38.(2024·江蘇淮安·模擬預測)如圖，三棱錐0-ABC中，,M,N分別為OA,BC的中點，點G在線段MN上，且MG=2GN,則|OG|=()【分析】根據(jù)條件，利用空間向量的線性運算得到再利用模長公式及數(shù)量積的運算，即可求解.【詳解】因為MG=2GN,所以設O(x,y,z),則OA=(1-x,-1-y,-z),OB=(1-x,1-y,-z),因為OA·OB=0,得(x-1)2+y2+z2=1,A4?=3,BD=4,AD·DC-AB·BC=5,則cos(A4,BD)=()DA?DALB 在向量DE上的投影向量是()【分析】利用空間向量的運算及投影向量的定義求解即可. 面α上的投影向量是()【分析】求得向量a在法向量上的投影，再由向量的加法法則即可求解.【詳解】向量a在平面α法向量n=(4,0,3)上的投影向量：設a=(2,2,-1)在平面α上的投影向量是c,故選：D43.(23-24高二上湖南·階段練習)在長方體ABCD-AB?CD?中，DD且在線段BD?上，當AP與CP垂直時，λ的值為 【分析】以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得D?B=(1,1,-2),得到D?P=(λ,a,-22),進而求得 AP=(λ-1,2,-2λ+2),CP=(λ,2-1,-2λ+2),結(jié)合AP·CP=0,即可求得λ的值.【詳解】由題意，以D為坐標原點，以DA,DC,DD?角坐標系Dxyz,如圖所示，則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D?(0,0,2),可得D?B=(1,1,-2),得D?P=λD?B=(2,2,-22),所以AP=AD?+D?P=(λ-1,2,-2λ+2),CP=CD?+D?P=(λ,λ-1,-2λ+2),由AP⊥CP,可得AP·CP=0,即22(λ-1)+4(λ-1)2=0,解得或λ=1,題型5利用空間向量證明線線平行證明兩條直線的方向向量共線.(1)證明：B,E,F,G四點共面；(2)點P在棱CC?上，當平面EFP與平面EFA的夾角的余弦值為時，求C?P.【分析】(1)建立空間直角坐標系，求EF,BG,證明EF|BG,由此證明結(jié)論，(2)設P(0,3,a),求平面EFP與平面EFA的法向量，利用向量夾角余弦公式求兩平面的夾角余弦，列方程求a,可得結(jié)論.【詳解】(1)以D為原點，DA,DC,DD?所在的直線分別為x軸、V軸、z軸，建立如圖所示的空間直可得E(4,0,2),F(0,0,3),G(0,3,1),B(4,3,0).所以EF=(-4,0,1),BG=(-4,0,1),則EF||BG,故B,E,F,G四點共面(2)設P(0,3,a),0≤a≤5,則FP=(0,3,a-3),設n=(x,y,z)是平面EFP的法向量，則取x=3,則z=12,y=4(3-a),故n=(3,4(3-a),12),又因為平面EFA的法向量為m=(0,1,0),平方整理得16×153+162(3-a)2=169×16(3-a)2,化簡得(3-a)2=1,由圖易知，當a=4時，平面EFP與平面EFA的夾角為鈍角，舍去.綜上，a=2,即C?P=3.的中點，且EF=√6,將梯形AEFD沿EF翻折至梯形A?EFD?,使得平面A?EFD?⊥平面BEFC,得到如圖2的多面體A?BED?CF.【詳解】(1)因為平面A?EFD?⊥平面BEFC,平面A?EFD?I平面BEFC=EF,且D?F⊥EF,D?Fc平面A?EFD?,則AB=(0,2,-2),D?C=(0,3,-則則D?CIIA?B,即D?C//A?B,所以A?,B,C,D?四點共面.(2)由(1)知，AC=(-√6,3,-2),A,B=(0,2,-2),EF=(-√6,0,0),D?C=(0,3,-3),設DP=λD?C=(0,32,-32)(0≤λ≤1),則P(0,32,3-32),則FP=(0,32,3-32),則取z?=λ,CC【分析】(1)建立空間之間坐標系，利用向量共面即可求解，(2)求解平面法向量，即可根據(jù)線面角的向量法求解.【詳解】(1)以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，則A(0,0,0),2(0,1.1),則即A,M,N,Q四點共面.則 (2)由(1)中的空間直角坐標系，可得P(0,0,2),C(2,3,0),AP=(0,0,2),設平面AMNQ的法向量為n=(a,b,c),由取a=1,可得b=2,c=-2,所以n=(1,2,-2).設直線AP與平面AMN所成的角為θ,則所以直線PA與平面AMN所成角的正弦值為題型6利用空間向量證明線面平行(1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行；(3)可在平面α內(nèi)取基向量{e?,ez},證明存在實數(shù)λ1,λ2,使直線l的方向向量a=λ1ei+λ2e?,然后說明1不在平面α內(nèi)即可.注意：證明線面平行，最后必須加上線不在面內(nèi)的條件.②【詳解】(1)法一：如圖，連接AC,交BD于0,連接EO,得到OE/IPA,而PA女平面EDB,OEc平面EDB,故PA//平面EDB.分別以DA,DC,DP為x,y,z軸，建立空間即∴直線BF與平面EDB所成角的正弦值為面為ABC.已知A?B?=B?C?=1,∠A?B?C?=90°,AA?=4,BB?=2,CC?=3.【分析】(1)判斷OC方向向量平行于xoy平面，(2)通過向量積找法向量，然后利用點積確定角度.則A(0,1,4),B(0,0,2),C(1,0,3),A?(0,1,0),C?(1,0,0),(2)設AB與面AA?C?C所成的角為θ,設m=(x,y,z)是平面AA?C?C的一個法向量，得則由得令x=y=1,得m=(1,1,0),∴AB與面AA?C?C所成的角為正弦值為49.(2025·福建福州·模擬預測)如圖，在三棱柱ABC-A?B?C?AC⊥AB,AB=AC=AC?=2.(2)在平面ABC內(nèi)，動點Q在以A為圓心，AB為半徑的劣弧BC上(不含端點B,C),若直線B?Q與平面AC?B?所成的角為證明：A,M,Q三點共線.【分析】(1)法1,連結(jié)A?C與AC?交于點D,可得DM//A?B,根據(jù)線面平行的判定定理得證；法2,建立空間直角坐標系，求出平面AC?M的法向量，利用向量法證明；法3,設B?C?中點為N,可證AM//平面ABN,C?M//平面A,BN,進而得到平面AC?M//平面A?NB,得證；(2)法1,建立空間直角坐標系，設Q(x,y,0)(x>0,y>0),利用B?Q與平面AC?B?所成的角為結(jié)合向量法求出點Q的坐標，進而確定AQ,AM的關系，得證；法2,設解法同1;法3,設平面ABCN平面AB?C?=1,過點Q作QH⊥1,垂足為H,可得∠HB?Q為B?Q與平面AC?B?所成角，利用已知條件求解得證.【詳解】(1)解法一：連結(jié)A?C與AC?交于點D,連結(jié)DM.因為A?Bα平面AC?M,DMc平面AC?M,所以AB//平面AC?M. AC?=(0,0,2),AM=(1,1,0),A?B=(2,2,-2).即可取n=(1,-1,0).因為,A?Bα平面AC?M,所以A?B//平面AC?解法三：設B?C?中點為N,連結(jié)B因為AA?//CC且AA?=CC?,所以MN//AA且MN=AA?,四邊形NMAA是平行四邊形，所以AM//A?N.又因為BM//NC?,所以四邊形BMC?N是平行四邊形，所以BN//MC?.因為AM//A?N,AMα平面又因為AMCC?M=M,所以平面AC?M//平面A?NB,因為ABC平面A?NB,所以A?B//平面.則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),C?(0,0,2),A?(0,-2,2),B?(2,-2,2),M(1,1,1), AC?=(0,0,2),C?B?=(2,-2,0),AM=(1,1,0).設平面AC?B的法向量為則即可取m=(1,1,0).因為動點Q在以A為圓心，AB為半徑的劣弧BC上(不含端點B,C),所以可設Q(x,y,0)(x>0,y>0),則x2+y2=4,BQ=(x-2,y+2,-2),由于B?Q與平面AC?B?所成的角為,所以法2,前面同上，設平面AC?B的法向量為m=(a,b,c),因為動點Q在以A為圓心，AB為半徑的劣弧BC上(不含端點B,C),所以可設因為B?Q與平面AC?B?所成的角為化簡得(sinθ+cosθ)2=2+sinθcosθ-sinθ=1-2sinθcosθ=(cosθ-sin0)2,得cosθ-sinθ=0或cosθ-sinθ=1.過點Q作QH⊥1,垂足為H,連結(jié)B?H.又因為平面ABCc平面AB?C?=1,BCc平面ABC,所以BC//1.因為平面ABC∩平面AB?C?=1,所以AC?⊥QH.所以QH⊥平面AC?B?,B?H為斜線B?Q在平面AC?B?上的射影，因為AC⊥AB,AB=AC=2,所以B?C?=BC=2√2,設AH=x(0<x<√2),則QH=√AQ-AH2=√4-x2,設劣弧BC上(不含端點B)時，0<x<√2,當點Q在CD上(不含端點C,D)時，0<x<√2,化簡得x2+√2x=0,解得x=0或x=-√2,均舍去.綜上，得x=0,此時點Q與點D重合，又因為BC的中點為M,故A,M,Q三點共線.AB=1,且平面PCD⊥平面ABCD,已知，3PM=MD.(2)若AC=AD,PA=3√2,求直線AM與平面PAB所成角的正弦值.②【分析】(1)取PC上的點N,使可得MN=AB,則四邊形ABNM為平行四邊形，據(jù)此可完成證明； (2)由題可得PO⊥平面ABCD,據(jù)此可如圖建立空間直角坐標系，由此可得AM及平面PAB的法向量，可得直線AM與平面PAB所成角的正弦值.【詳解】(1)取PC上的點N,使所以四邊形ABNM為平行四邊形，所以AM//BN,又BNc平面PBC,AM不在平面PBC內(nèi)，所以AM//平面PBC.(2)取CD中點O,連AO,PO,因為AC=AD,所以AO⊥CD,又平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,POc平面PCD,以O為坐標原點，OA,OC,OP分別為x,y,z軸正方向，則A(√6,0,0),C(0,2,0),D(0,-2,0),B(√6設n=(x,y,z)為平面PAB的法向量，則故直線AM與平面PAB所成角的正弦值為題型7利用空間向量證明面面平行(1)證明兩個平面的法向量為共線向量；(2)轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題.51.(2025-湖南邵陽一模)如圖，在直四棱柱ABCD-A?B?C?D?中，AD=2,BC=CD=√2,∠DCB=90°,∠DAB=45°,E,F分別為AD,AB的中點.令x?=h,得z=1,∴n=(h,0,1).設平面EFD?的一個法向量n?=(x,y,z),則,取n?=(h,0,1).∵n,//n2,又平面BDC?與平面EFD?不重合，設FP=λFD?=λ(-1,-1,2)=(-2,-2,22)(λ∈[0,1]),設直線AP與平面BDC?所成角為θ,所以直線A?P與平面BDC?所成角的正弦值的最大值為點E在線段BB?上，且EB?=1,D,F,G分別為CC?、C?B?、C?A的中點.求證：【分析】(1)利用空間向量法證明線面垂直證明面面垂直；(2)利用空間向量法證明B?D⊥平面EGF,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到面面平行；【詳解】(1)證明：以B為坐標原點，BA,BC,BB?所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標系.則B(0,0,0),D(0,2,2),B?(0,0,4),E(0,0,3),F(0,1,4),C?(0,2,4).設BA=a,則A(a,0,0),A(a,0,4), 因為BA=(a,0,0),BD=(0,2,2),BD=(0,2,-2),又BA∩BD=B,BA,BDc平面ABD,所以B?D⊥平面ABD.因為B?Dc平面A?BD,所以平面AB?DI平面ABD.(2)因為EF=(0,1,1),B?D=(0,2,-2),因為EGnEF=E,EG,EFc平面E又由(1)知BD⊥平面ABD,所以平面EGF//平面ABD.題型8利用空間向量證明線線垂直證明兩條直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零.BP=3PB?,CQ=QC?.②【詳解】(1)證明：方法一：如圖①,連接A?Q, 故AQ2+PQ2=AP2,因此AQ⊥PQ,所以AQ2+AQ2=AA2,所以AQ⊥AQ,由于AQ⊥PQ,AQ⊥AQ,AQnPQ=Q,A?Q,PQc平面A?PQ,所以AQ⊥平面APQ,由于A?Pc平面A?PQ,所以A?P⊥AQ.則A(0,-1,0),4?(0,-1,4),P(J3,0,3),Q(0,1,2), 所以A?P=(√3,1,-1),AQ=(0,2,2),由于A?P·AQ=0,因此A(2)設AC的中點為0,A?C?的中點為0?,連接OB,O0,則A(0,-1,0),C(0,1,0),P(√3,0,3),Q(0,1,2),AP=(J3,1,3),AQ=(0,2,2),CP=(√3,-1,3),CQ=(0,0,2),令x?=1,令x?=1,則z=(1,√3,0),②【分析】(1)連接AN,過N作NF^BC,垂足為F,過C作CG⊥BE,垂足為G,由題意得到AN⊥BE,(2)由(1)求得CE,AE的坐標，進而求得平面ACE的一個法向量n的坐標，根據(jù)【詳解】(1)連接AN,過N作NF^BC,垂足為F,過C作CG⊥BE,垂足為G,所以直線MN與平面ACE所成角的正弦值為55.(25-26高三上·福建漳州·開學考試)在三棱柱ABC-A?B?C?中，四邊形AA,B?B與BB?C?C都的正方形，∠ABC=90°,E,F,G分別是棱AB,BC,BB?上的動點，且AE=BF=B?G.B?②【分析】(1)建立空間直角坐標系，利用向量的坐標運算即可求解，(2)求解平面法向量，根據(jù)法向量的夾角即可求解.【詳解】(1)證明：因為AA?B?B與BB?C?C都是棱長為1的正方形，設AE=BF=B?G=m,0≤m≤1,則A?(1,1,0),F(0,0,m),C?(0,1,1),G(0,1-m,0),(2)方法一：由(1)知，E(1-m,0,0),所以EG=(m-1,1-m,0),設m=(x,y,z)是平面EGC?的一個法向量，所以即即方法二：又C?G∩EG=G,C?G,EGc平面EGC?,所以A?F⊥平面EGC?,所以平面EGC?的一個法向量為AF=(-1,-1,m),又平面AA?B?B的一個法向量為n=(0,0因為平面EGC?與平面AAB?B的夾角的余弦值點M是棱PA上的動點，點N是棱BC上的動點，且PM=CN=x(0<x<√2).【分析】(1)證明出AB⊥AC,建立空間直角坐標系，得到點的坐標，計算出AC·MN=0,得到垂直關系.余弦值.【詳解】(1)由得AB2+AC2=BC2,則AB⊥AC,又PC⊥平面ABC,以A為坐標原點，直線AB,AC分別為x,y軸，平行于CP的直線為z軸建立空間直角坐標系，所以MN⊥AC.(2)由PM=CN=x(0<x<√2),得設平面AMN的法向量為則取y?=-1,得m=(1,-1,1),所以二面角A-MN-C的余弦值為題型9利用空間向量證明線面垂直證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示.AD//BC,AD=2,AB=BC=1,△PAD為等邊三角形，M為PA的中點，且平面PAD⊥平面ABCD,【詳解】(1)如圖，取AD中點0,連接OC,OP,則A(0,-1,0),B(1,-1,0),P(0,0,√3),,D(0,1,0),AB=(1,0,0),AP=(0,1,(2)由(1)可知C(1,0,0),AB//CD,∠BAD=∠CDA=90°,PA=AD=CD=2AB=2,E為【分析】(1)建立空間直角坐標系，求出相關點坐標，根據(jù)數(shù)量積的坐標運算，結(jié)合線面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論；(2)根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.【詳解】(1)由題意知PA⊥底面ABCD,∠BAD=90°,故以A為坐標原點，以AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1),則PC=(2,2,-2),CD=(-2,0,0),BE=(0,1,1),故PC⊥BE,CD⊥BE,即BE⊥PC,BE⊥CD,故BE⊥平面PCD;(2)由(1)可得PC=(2,2,-2),PB=(1,0,-2),設平面PBC的法向量為n=(x,y,z),則平面PAD的法向量可取為m=(1,0,0),設平面PAD與平面PBC夾角為θ,則59.(2025-河北·模擬預測)如圖，在四解.【詳解】(1)證明：在四棱錐P-ABCD中，∵PD⊥平面ABCD,ADc平面ABCD,CDc平面ABCD,(2)由題可設F(0,0,h),0<h<2√2,由(1)知平面PBD的一個法向量為n=(1,-√2,0).題型10利用空間向量證明面面垂直證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?【分析】(1)根據(jù)已知條件的三個直角，建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，證得法向量平行即可；值.【詳解】(1)如圖建立空間直角坐標系A-xyz,則由題意B(4,0,0),E(4,6,0),D(0,5,0),設C(x,0,z),則F(x,4,z),(0<x(4 則BE=(0,6,0),BF=(x-4,4,z),DF=(x,-1,z),DE=(4,因為AC=4,所以x2+z2=16,設平面BEF的法向量為n=(x?,y,z),則取x?=z,則nπ=(z,0,4-x),則取x?=z,則n?=(z,-4z,-4-x),所以n,·nz=z2+(-4-x)(4-x)=z2+x2-16=0,所以π⊥n?,所以平面BEF⊥平面DEF;(2)設平面DFB的法向量為n?=(x?,?z?),則取x?=5z,則n3=(5z,4z,4-5x),【詳解】(1)因為平面ACEF⊥平面ABCD,平面ACEF∩平面ABCD=AC,圖19圖19設平面BEF,平面DEF的法向量分別為m=(x?,y,1),n=(x?,y?,1),n·DE=-√2x?+1=0④.所以所以m⊥n,故平面BEF⊥平面DEF.(2)設平面ABF的法向量為p=(x?,y3,1),所以,p·BA=√2x?=0,解得x?=0,y?=√2.所以p=(0,√2,1),所以由圖19知，二面角A-BF-E的平面角是鈍角，②【分析】(1)先證明線線垂直建立空間直角坐標系，求出平面DMN和平面PBC的法向量得出面面垂直；(2)應用線面角正弦公式計算求解.又底面ABCD為正方形，所以AD⊥DC.故DA,DC,DP兩兩垂直.以點D為坐標原點，DA,DC,DP所在直線依次為x軸、V軸、z軸建立空間直角坐標系.M(0,2,2),N(3,4,0),P(0,0,4),B(4,4,0),C(0進一步得PB=(4,4,-4),PC=(0,4,-4).設平面DMN的法向量為n?=(x?,y1,z),(2)由(1)得AB=DC=(0,4,0),平面DMN的一個法向量為設直線AB與平面DMN所成的角為θ,則用坐標法求異面直線所成角的一般步驟(1)建立空間直角坐標系；(2)用坐標表示兩異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)注意兩異面直線所成角的范圍是,即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值.又BA,BCc底面ABC,所以BB?⊥BA,BB?⊥BC,設BC=a(a>0),則B(0,0,0),C(0,a,0),貝64.(2025·新疆喀什模擬預測)已知圓臺的上底面圓O【分析】過A'的母線為A'B,連接OB,則OB//O'A',以0為坐標原點，OA,OB,O0′為坐標軸建立空間直角坐標系，利用向量法可求AA'與00′所成角的余弦值.【詳解】過A'的母線為A'B,連接OB,則OB//0'A',又因為O'A'⊥OA,所以OB⊥OA,則A(2,0,0),O(0,0,0),O'(0,0,1),A'(0,1,1),所以0O'=(0,0,1),AA'=(-2,1,1),所以AA'與00′所成角的余弦值為65.(2025·安徽合肥模擬預測)中國古代數(shù)學著作《九章算術》記載了一種被稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形(扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分).現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，它的高為2,AA?、BB?、CC?、DD?均與曲池的底面ABCD垂直，底面扇環(huán)對應的兩個圓的半徑分別為1和2,對應的圓心角為90°,則圖中異面直線AB?與CD?所成角的余弦值為()形，側(cè)棱AA的長為2,且∠A?AB=∠A?AD=60°,求： 【分析】(1)先設BA=a,BC=b,DD?=c,得出BD?=a+b+c,利用向量數(shù)量積的運算律計算即得； 【詳解】(1)如圖，連接BD,BD?,設BA=a,BC=b,DD?=c,(2)連接A?C?,AC,A?C?=AC=BC-BA=b-a,=a·b-a2+b2-a·b+b·c-a·c=-1是等腰梯形，且BC//AD,AD=2DC=2CB,∠ADC=60°,PC=√2BC,M為AD中點.(3)求平面BPC與平面PCD夾角的正弦值.【分析】(1)取BC的中點G,連接PG,在Rt△PGC,△PMG中，運用勾股定理逆定理得到PM⊥MG,再結(jié)合線面垂直判定定理證明；(2)建系M-xyz,求出關鍵點坐標，應用計算求解；(3)求出平面BPC與平面PCD的法向量，結(jié)合向量夾角公式計算即可求出余弦值，最后應用同角三角函數(shù)關系求出正弦值.【詳解】(1)設AD=2DC=2CB=2,M為AD中點，△PAD是以AD為斜邊的等取BC的中點G,底面ABCD是等腰梯形，∴MG⊥AD.如圖，建系M-xyz,則,D(0,1,0),P(0,0,1),A(0,-1,0),設直線AB與PD所成角為α,(3)設平面BCP的法向量是而=(sya),5C=(010即令z=-1,即設平面PCD的法向量是n=(a,b,c)即設平面設平面BPC與平面PCD夾角為令b=1,解得故面BPC與平面PCD夾角正弦值為：平面ABC,若使異面直線平面ABC,若使異面直線點M,N分別為AC,PB的中點，MN=√6,Q為線段AB上的點(不包括端點A,B),因為PB⊥平面ABC,以B為原點，BA,BC,BP為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系.可知B(0,0,0),C(0,2,0),M(1,1,0).所以PB=4,則設且0<λ<1,設則Q(22,0,0),可知PM=(1,1,-4),CQ=(22,-2,0),PM|=√12+12+(-4)2=3√2,|cQ=√(22)2+(-2)2=√422+4解得或λ=4(舍去).所以直線AC與BD所成角為45°,則三棱錐A-BCD外接球表面積為()建立外接球半徑的等式關系，求出半徑，應用球的【詳解】由題意可得，因為△BCD為等邊三角形，所以BC=BD,取CD的中點E,易得BE⊥CD,AE⊥CD,又BE∩AE=E所以CD⊥平面ABE,又CDc平面ACD,所以平面ABE⊥平面ACD,則B(√3,0,0),C(0,-1,0),D(0,1,0),E(0,0,0)所以解得即,解得2.若球面上四點P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，一般把有關元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體求解；5.利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解. 解利用空間向量求線面角的解題步驟間直角坐標系面α的法向量n與直線的方向向量AB利用sinθ=Icos<AB,n>1及直線與平面所成角的范圍,即可得出直線與平面所成的角建坐標系幾求法向量凸凸得結(jié)論V70.(25-26高三上·福建福州·開學考試)在正三棱柱ABC-A?B?C?中，AB=AA?,則直線AB?與平面BCC?B?【答案】A【分析】建立空間直角坐標系，根據(jù)空間角的向量求法即可求得答案.【詳解】設三棱柱的棱長為1,以B為原點，以過B作BC的垂線為x軸，以BC為V軸，BB?為z軸，建立空間直角坐標系，如圖，則B(0,0,0),B?(0,0,1),所以易知平面BCC?B的一個法向量可取為n=(1,0,0),設直線AB?與平面BCC?B?所成角為θ,貝B?CD?所成角的正弦值為()【分析】先建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，進而得到向量AC的坐標，再求出平面B?CD?的法向量；最后利用向量公式求出直線AC與平面B?CD?所成角的正弦值.【詳解】因為正四棱柱ABCD-AB?C?D中底面ABCD是正方形，且AA=2AB=4,所以AB=2.以D為原點，分別以DA,DC,DD所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系.則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B?(2,2,4),D?(0,0,4).所以AC=(-2,2,0),CB?=(2,0,4),CD?=(0,-2,4).設平面B?CD?的法向量為n=(x,y,z),則n·CB?=0且n·CD?=0. n·CB?=2x+4z=0,n·CD?=-2y+令z=1,解得x=-2,y=2. 設直線AC與平面B?CD?所成角為θ,則sinθ=|cos(AC,n)|.AC·n=(-2)×(-2)+2×2+0×1=8.72.(25-26高三上湖北荊州·開學考試)在長方體ABCD-A?B?C?D?中，已知AB=4,AD=3,AA?=5,點Q,R分別在棱CC?,BB?上，且CQ=BR=2.(2)求直線AB?與平面B?DQ所成角的正弦值.②【分析】(1)連接RQ,證明四邊形BCQR和四邊形ADQR都為平行四邊形，從而可得出AR/IDQ,再根據(jù)線面平行的判斷的了即可得證；(2)以點D為原點，建立空間直角坐標系，分別求出直線的方向向量和平面的法向量，利用向量法求解即可.【詳解】(1)連接RQ,所以四邊形BCQR為平行四邊形，所以AD//RQ且AD=RQ,所以AR/IDQ,又DQc平面B?DQ,AR?平面B?DQ,所以AR//平面B?DQ;(2)如圖，以點D為原點，建立空間直角坐標系，則D(0,0,0),A(3,0,0),Q(0,4,2),B?(3,4,5),故AB?=(0,4,5),DQ=(0,4,2),QB?=(3,0,3),令z=2,則x=-2,y=-1,所以n=(-2,-1,2),所以直線AB?與平面B?DQ所成角的正弦值為AA(3)求直線AC?與平面AB?C所成角的正弦值③【分析】(1)根據(jù)幾何關系，結(jié)合勾股定理和余弦定理，即可求解；(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，轉(zhuǎn)化為證明AC?⊥平面ABC,即可證明面面垂直；(3)根據(jù)垂直關系，以點A為原點建立空間直角坐標系，求平面AB?C的法向量，代入線面角的向量公式，即可求解.【詳解】(1)因為AB=3,AC?=4,AB⊥AC?,所以BC?=5, (2)由(1)可知△ACC?中，滿足AC2+AC2=CC2,所以AC⊥AC?,且AB⊥AC?,AB∩AC=A,AB,ACc平面ABC,所以AC?I平面ABC,且AC?C平面ABC?,所以平面ABC⊥平面ABC?;(3)如圖，以點A為原點，AB,AC為x,z軸的正方向，作V軸，建立空間直角坐標系，AA所以平面AB?C的一個法向量為設AC?與平面AB?C所成的角為θ,AD//BC,BC=2AB=2AD=2DC=4,△PAB為直角三角形，PA=PB.CC(2)已知P,A,B,C,D在同一個球面上，且球心O在平面(i)證明：平面PAB⊥平面ABCD;(ii)若點M在線段PC上，且BM與平面PAD所成角的正弦值為求PM的長.所以PM的長為【分析】(1)利用線面平行的判定性質(zhì)推理得證.空間直角坐標系，利用線面角的向量求法列式求解.【詳解】(1)在四棱錐P-ABCD中，AD//BC,ADc平面PAD,BCt平面PAD,因此BC//平面PAD,而平面PBC∩平面PAD=1,BCc平面PBC,(2)(i)取BC中點O',連接AO′,由AD//BC,AD=O'C=2,得四邊形AO'CD為平行四邊形，則AO′=2=BO′=CO',∠BAC=90°,O′是Rt△ABC外接圓圓心，又四邊形ABCD是等腰梯形，則點D在Rt△ABC外接圓上，即點O′與點O重合，而O是四棱錐P-ABCD外接球球心，于是OE⊥平面PAB,又OEc平面ABCD,以點E為原點，直線EB,EO,EP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，由BM與平面PAD所成角的正弦值為題型13利用空間向量求平面與平面所成角(二面角)1.利用空間向量求平面與平面夾角的解題步驟建坐標系凸二面角的大小可以通過這兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補角，法向量的方向指向內(nèi)部的稱為“進”入半平面；法向量的方向指向外部的稱為穿“出”半平面；當法向量m,n“一進一出”時，m,n的夾角就是二面角的大??；當法向量m,n“同進同出”時，m,n的夾角就是二面角的補B-AD-C的大小為α,則cosα的取值范圍是()AAC【分析】構(gòu)建合適的空間直角坐標系，標注出相關點坐標并令A(m,1,n),應用向量法求二面角的余弦值范圍.因為△BCD為等邊三角形，不妨設BC=CD=BD=1,由令A(m,1,n),D(0,1,0),故BD=(0,1,0),設平面BAD的法向量為m=(x?,y?,z),則令x?=1,則y?=0,,所以設平面ADC的法向量為n=(x?,y?,z?),令x?=1,則y?=√3,,所以由圖知，二面角α為銳二面角.則的中點，O是AC的中點，則折后二面角E-OF-A的余弦值為()【分析】建立空間直角坐標系，求解平面法向量，即可由向量的夾角求解.【詳解】由題意知平面ADC⊥平面ABC,如圖，連接OD,OB,因為四邊形ABCD是菱形，0是AC的中點，所以OD⊥AC,OB⊥AC,又平面ADC∩平面ABC=AC,ODc 易知平面ABC的一個法向量為OD=(0,0,1),(2)求平面A?BC與平面A?ACC?的夾角的余【分析】(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理進行證明.(2)方法一：建立空間直角坐標系，利用空間向量求二面角的余弦.方法二：把二面角的余弦轉(zhuǎn)化成兩個平面的垂線所成的角，利用余弦定理求角的余弦.【詳解】(1)在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AA?⊥平面ABC,BCc平面ABC,所以AA?⊥BC.又AB⊥BC,AA?∩AB=A,所以BC⊥平面AA?B?B,AB?c平面AA?B?B,所以BC⊥AB?.又AA?=AB,所以四邊形AA?BB為正方形，從而AB⊥AB?.因為ABIBC=B,A?B,BCc平面A?BC,所以AB?⊥平面A?BC.(2)以B為坐標原點，BC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，BB?所在直線為z軸，建立如圖空間直角坐標系：從而AB?=(0,-2,2),AA?=(0,0,2),AC=(2√3,-2,0).設平面A?ACC?的法向量為則由(1)可知，平面A?BC的法向量為AB,設平面A?BC與平面A?ACC?的夾角為θ,則法二：過B?作A?C?的垂線，垂足為E,連接AE,設平面A?BC與平面A?ACC?的夾角為θ,θ=∠ABE,78.(25-26高三上山東聊城·開學考試)如圖，在正四棱柱ABCD-AB?CD?中，E,F分別為BB,DD?的中點.(2)若AA?=2AB,求平面A?EC?與平面AEC?夾角的余弦值.【分析】(1)根據(jù)線線平行，結(jié)合平行線的傳遞性可得AF//EC?,即可求證，【詳解】(1)設G為CC?的中點，連接GF,AF,BG.Z個D?A?B?F+ExDCD所以EC=(1,0,1),EA?=(0,1,1),EA=(0,1,-1).所以即令x?=1,得y=1,z?=-1,所以平面A?EC?與平面AEC?夾角的余弦值為平面BCE,CE⊥平面ABCD