3/3專(zhuān)題02等式與不等式性質(zhì)、基本不等式（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律2.1不等式的基本性質(zhì)（對(duì)稱(chēng)性、傳遞性、可加/乘性）能依據(jù)性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)值比較和不等式推導(dǎo)?；A(chǔ)題，乘負(fù)變號(hào)是必考點(diǎn)。2.2基本不等式的形式與推導(dǎo)能準(zhǔn)確寫(xiě)出基本不等式，理解其幾何意義。理解性考點(diǎn)，是應(yīng)用的基礎(chǔ)。2.3“一正二定三相等”的運(yùn)用條件能準(zhǔn)確判斷給定問(wèn)題是否滿(mǎn)足基本不等式的使用條件。高頻易錯(cuò)點(diǎn)，是解題的第一步，常被忽略。2.4直接利用基本不等式求最值能對(duì)符合“積定”或“和定”條件的表達(dá)式直接應(yīng)用公式求最值。最基礎(chǔ)的考查方式。2.5“配湊法”應(yīng)用基本不等式能通過(guò)拆項(xiàng)、添項(xiàng)、湊系數(shù)等技巧，將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為可用基本不等式的形式。期中解答題核心考法，是能力的區(qū)分點(diǎn)。2.6換元法（化繁為簡(jiǎn)）當(dāng)表達(dá)式復(fù)雜時(shí)，能通過(guò)代換簡(jiǎn)化問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為基本不等式模型。重要技巧，常用于含根式條件最值問(wèn)題。2.7“1”的代換法（條件等式）當(dāng)已知條件能巧妙地運(yùn)用或變形“1”，可將目標(biāo)式乘以“1”進(jìn)行計(jì)算。高頻題型，技巧性強(qiáng)，是高分的關(guān)鍵。2.8分式型最值問(wèn)題能處理形如(二次式)/(一次式)”或(一次式)/(二次式)”的函數(shù)，通過(guò)分離常數(shù)、換元或基本不等式求最值。常見(jiàn)中檔題，分離常數(shù)是常用技巧。2.9二次使用基本不等式（連續(xù)放縮）能判斷在什么情況下需要兩次或多次使用基本不等式，并保證每次放縮的等號(hào)能同時(shí)成立。難度最高的題型之一，常用于證明或求復(fù)雜式子的最值，對(duì)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性要求高。2.10恒成立問(wèn)題中求參數(shù)范圍（綜合應(yīng)用）對(duì)于恒成立的問(wèn)題，能將其轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)式的最小值或最大值，從而確定參數(shù)a的范圍。期中壓軸題常見(jiàn)模式，綜合性強(qiáng)，易錯(cuò)點(diǎn)在于混淆“≥最大值”與“≤最小值”的邏輯關(guān)系。2.11基本不等式在實(shí)際問(wèn)題（如面積、成本最優(yōu)化）中的應(yīng)用能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)模型，并利用基本不等式求解最值。命題趨勢(shì)偏向應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)建模能力知識(shí)點(diǎn)01等式的性質(zhì)性質(zhì)1如果，那么；性質(zhì)2如果，，那么____；性質(zhì)3如果，那么；性質(zhì)4如果，那么；性質(zhì)5如果，，那么____；知識(shí)點(diǎn)02比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小是用實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)定義的，有：；；另外，若，則有；；.知識(shí)點(diǎn)03不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容1對(duì)稱(chēng)性a>b?ba2傳遞性a>b,b>c?ac3可加性a>b?a+cb+c推論1：a+b>c?a>c?b；推論2：a>b,c>d?a+c>b+d4可乘性a>b,c>0?acbca>b,c<0?ac<bc；推論3：a>b>0,c>d>0?ac>bd；推論4：a>b>0?anbn（n∈N推論5：a>b>0?5取倒數(shù)a>b,ab>0?1a1知識(shí)點(diǎn)04基本不等式如果a≥0,b≥0，那么a+b2≥ab說(shuō)明：①對(duì)于非負(fù)數(shù)a,b，我們把a(bǔ)+b2稱(chēng)為a,b的，ab稱(chēng)為a,b的②我們把不等式ab≤a+b③“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取‘=’號(hào)”這句話(huà)的含義是：一方面是當(dāng)時(shí)，有ab=a+b2；另一方面當(dāng)④結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：和式與積式的關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)05利用基本不等式求最值①已知x，y是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值；②已知x，y是正數(shù)，如果和x+y等于定值S，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值．知識(shí)點(diǎn)06幾個(gè)重要不等式（1）a2+b2≥2ab（a變形式：（a，b∈R）（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）.（2）基本不等式：（a>0，b>0）（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）.變形式：a+b≥2ab（a>0，b>0），ab≤a+b22（a，（3）a2+b2+c2≥ab+bc+ca（（4）若ab>0，則ba+ab≥2知識(shí)點(diǎn)07基本不等式鏈拓展.m>n時(shí)，知識(shí)點(diǎn)08權(quán)方和不等式的二維形式若則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.(注：熟練掌握權(quán)方和不等式的初級(jí)應(yīng)用，足以解決高考中的這類(lèi)型最值問(wèn)題的秒殺)知識(shí)點(diǎn)09糖水不等式定理若,則一定有通俗的理解:就是克的不飽和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,則糖水更甜;知識(shí)點(diǎn)10糖水不等式的倒數(shù)形式:設(shè),則有:題型一由已知條件判斷所給不等式是否正確解｜題｜技｜巧直接法：依據(jù)不等式基本性質(zhì)（對(duì)稱(chēng)性、傳遞性、可加性、可乘性等），結(jié)合已知條件直接推導(dǎo)判斷。（2）特殊值法：選取滿(mǎn)足已知條件的特殊數(shù)值代入不等式，驗(yàn)證是否成立。（3）作差（商）法：對(duì)不等式兩邊作差（商），結(jié)合已知條件判斷差（商）的正負(fù)，進(jìn)而確定不等式是否成立（作商法需注意正負(fù)），部分復(fù)雜式子判斷可用此思路延伸。【典例1】（24-25高一上·江蘇徐州·期中）已知，則（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·山東濰坊·期中）（多選）已知實(shí)數(shù)，，，則（

）A．若，則 B．若，，則C．若，則 D．若，則【變式1】（24-25高一上·湖北黃岡·期中）下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，則 D．若，則【變式2】（24-25高一上·河北唐山·期中）（多選）已知，則下列不等式不一定成立的是（

）A． B． C． D．題型二由不等式關(guān)系，求解不等式范圍解｜題｜技｜巧（1）直接運(yùn)算：依據(jù)不等式基本性質(zhì)，對(duì)已知不等式變形求解即可．（2）線(xiàn)性組合：若求多個(gè)式子線(xiàn)性組合的范圍，先將目標(biāo)式表示為已知范圍式子的線(xiàn)性組合，再利用不等式性質(zhì)，分別求各組合部分范圍后“同向可加”即可.【典例1】（24-25高一上·河南商丘·期中）若，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式1】（24-25高一上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．取值范圍為【變式2】（24-25高一上·浙江臺(tái)州·期中）（多選）設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．題型三作差法比較式子大小關(guān)系【典例1】（24-25高一上·廣西北?！て谥校┮阎瑒t（填“”或“”）【變式1】（24-25高一上·福建莆田·期中），，，則有.（請(qǐng)?zhí)睢啊?、“”、“”、“”、“”）【變?】（24-25高一上·湖南郴州·期中）若a，b為正數(shù)，且，則（用符號(hào)>、<、≥、≤填空）.題型四糖水不等式及其應(yīng)用（跨章節(jié)）【典例1】已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.能夠表示這一事實(shí)的不等式是（

）A． B．C． D．【變式1】克糖水中含有克糖，糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比為，這個(gè)質(zhì)量比決定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假設(shè)全部溶解），生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水會(huì)變甜，對(duì)應(yīng)的不等式為，這個(gè)不等式趣稱(chēng)為糖水不等式．根據(jù)糖水不等式，下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了，這其中蘊(yùn)含著著名的糖水不等式：．(1)證明糖水不等式；(2)已知a，b，c是三角形的三邊，求證：．題型五直接用基本不等式求和或積的最值解｜題｜技｜巧（1）定條件：確認(rèn)“一正（各項(xiàng)為正）、二定（和或積為定值）、三相等（等號(hào)能取到，即存在實(shí)數(shù)使等號(hào)成立）”.（2）選公式：和定求積最大，用；積定求和最小，用.（3）代計(jì)算：代入定值，結(jié)合等號(hào)成立條件（驗(yàn)證是否滿(mǎn)足“三相等”），算出最值.【典例1】（24-25高一上·四川德陽(yáng)·期中）若實(shí)數(shù)，，且，則的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．【典例2】（24-25高一上·浙江臺(tái)州·期中）已知，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．【變式1】（24-25高一上·安徽·階段練習(xí)）設(shè)，，且，則xy的最大值是（

）A． B． C． D．100【變式2】（24-25高一上·福建龍巖·期中）已知實(shí)數(shù)，則的最小值是（

）A．8 B．7 C．6 D．5題型六巧用“1”或常數(shù)關(guān)系及拼湊法求最值（含權(quán)方和不等式的應(yīng)用）解｜題｜技｜巧（1）找“1”或常數(shù)：觀(guān)察條件，將已知等式變形出“1”或常數(shù)，用于構(gòu)造可基本不等式形式。（2）乘“1”拼湊：用變形出的“1”或常數(shù)，將目標(biāo)式與含“1”或常數(shù)的式子相乘展開(kāi)，湊出能用基本不等式求解的式子。（3）驗(yàn)證等號(hào)：展開(kāi)后用基本不等式求最值，同時(shí)驗(yàn)證等號(hào)成立條件，確保最值有效。【典例1】（24-25高一上·廣西·期中）已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，且，則的最小值為（

）A．6 B．7 C． D．【變式1】（24-25高一上·山東濟(jì)寧·期中）已知，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（24-25高一上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）已知，均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型七二次與二次（一次）的商式求最值【典例1】若，則的最小值為A．1 B．2 C．3 D．4【變式1】函數(shù)的最小值為．【變式2】（24-25高一上·甘肅蘭州·期中）求解下列各題：(1)求的最大值.(2)求的最小值.(3)已知，且，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.題型八換元法求最值【典例1】已知，求的最大值.【典例2】已知正數(shù)a，b，c滿(mǎn)足2a+b+3c=8，則a+b+2cb+c+1A．22 B．3+224 C．3【變式1】已知正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x+y≤2且x?y>0，則2【變式2】已知，，，則的最大值為．題型九兩次應(yīng)用基本不等式求最值【典例1】對(duì)任意的正實(shí)數(shù)a,b,c，滿(mǎn)足b+c=1，則8ab2+a【變式1】已知實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足m>2n>0，則m2+2題型十條件等式變形求最值【典例1】（24-25高一上·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）已知，，，則的最小值為（

）A．11 B．10 C．9 D．8【典例2】（24-25高一上·重慶·期中）若滿(mǎn)足，則的最大值是，的最小值是.【變式1】（24-25高一上·福建福州·期中）已知，且，的最小值為.【變式2】（24-25高一上·重慶·期中）若正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值是.題型十一利用基本不等式在恒成立問(wèn)題中求參數(shù)的范圍【典例1】（23-24高一上·安徽六安·期中）對(duì)滿(mǎn)足的任意正實(shí)數(shù)、，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1】已知，若恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【變式2】已知且恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是．題型十二基本不等式的應(yīng)用【典例1】（24-25高一上·四川綿陽(yáng)·期中）某公園有如圖所示一塊直角三角形空地，直角邊．現(xiàn)欲建一個(gè)如圖的內(nèi)接矩形花園，點(diǎn)在斜邊上（不包括端點(diǎn)），則花園的面積的最大值為（

）

A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·浙江溫州·期中）如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為，四周空白的寬度為，兩欄之間的中縫空白的寬度為，則矩形廣告的總面積最小值為．【變式1】（24-25高一上·四川眉山·期中）用一段長(zhǎng)為的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)，則能?chē)傻牟藞@面積的最大值為.【變式2】（24-25高一上·北京·期中）如圖是一份紙制作的矩形的宣傳單，其排版面積（矩形）為P，兩邊都留有寬為a的空白，頂部和底部都留有寬為的空白.若，，則當(dāng)時(shí)，才能使紙的用量最少，最少的紙的用量是.

期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）一、單選題1．（24-25高一上·廣東汕頭·期中）若，則下列不等式正確的是（）A． B．C． D．2．（24-25高一上·重慶·期中）已知：，；：，，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件3．（24-25高一上·福建福州·期中）用一段長(zhǎng)為的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園（菜園的一邊靠墻），菜園的面積最大是（

）A．36 B．144 C．60 D．724．（24-25高一上·福建南平·期中）已知、，且滿(mǎn)足，那么的最小值為（

）A． B． C． D．5．（24-25高一上·河北邯鄲·期中）若正數(shù)滿(mǎn)足：，則當(dāng)取最大值時(shí)的值為（

）A． B． C．1 D．二、多選題6．（24-25高一上·貴州·期中）下列命題中，不正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．（24-25高一上·重慶·期中）已知，，且，則（

）A．B．C．D．三、解答題8．（24-25高一上·江蘇宿遷·期中）已知，．(1)求的取值范圍；(2)若，求的最小值．期中重難突破練（測(cè)試時(shí)間：20分鐘）一、單選題9．（23-24高一上·廣東珠海·階段練習(xí)）設(shè)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．10．（24-25高一上·安徽·期中）已知，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．11．（24-25高一上·四川達(dá)州·期中）已知，，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．64 B．25 C．13 D．1212．