5/5專題03函數(shù)的概念與性質(zhì)（68知識(shí)&20題型&4易錯(cuò)&4方法清單）函數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)的概念函數(shù)的表示單調(diào)性與最值定義待定系數(shù)法求解析式單調(diào)性證明奇偶性函數(shù)奇偶性三要素定義域值域換元法求解析式消元法求解析式單調(diào)性性質(zhì)最大值最小值判斷函數(shù)奇偶性性質(zhì)法分離常數(shù)法換元法【清單01】函數(shù)的概念一般地，設(shè)，是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合中的任意一個(gè)數(shù)，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱為從集合到集合的一個(gè)函數(shù)(function)，記作，.其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；與的值相對(duì)應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合的子集.【清單02】求解析式方法1、待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)，反比例等），可用待定系數(shù)法．2、換元法：主要用于解決已知這類復(fù)合函數(shù)的解析式，求函數(shù)的解析式的問題，在使用換元法時(shí)特別注意，換元必?fù)Q范圍.3、配湊法：由已知條件，可將改寫成關(guān)于的表達(dá)式，4、方程組（消去）法：主要解決已知與、、……的方程，求解析式?！厩鍐?3】函數(shù)單調(diào)性1增函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑓^(qū)間，如果，當(dāng)時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（如圖：圖象從左到右是上升的）特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，稱它是增函數(shù)(increasingfunction).2減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間，如果，當(dāng)時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減.（如圖：圖象從左到右是下降的）特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，稱它是減函數(shù)(decreasingfunction).3、函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間叫做的單調(diào)區(qū)間．【清單04】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明1、定義法：一般用于證明，設(shè)函數(shù)，證明的單調(diào)區(qū)間為①取值：任取，，且；②作差：計(jì)算；③變形：對(duì)進(jìn)行有利于符號(hào)判斷的變形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需討論參數(shù)；④定號(hào)：通過變形，判斷或（），如有必要需討論參數(shù)；⑤下結(jié)論：指出函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性2、圖象法一般通過已知條件作出函數(shù)的圖象（或者草圖），利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性.3、性質(zhì)法（1）函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性與在給定區(qū)間上的單調(diào)性相反；（2）函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性與的單調(diào)性相同；（3）和的公共定義區(qū)間，有如下結(jié)論；增增增不確定增減不確定增減減減不確定減增不確定減【清單05】函數(shù)最大（?。┲?、最大值：對(duì)于函數(shù)，其定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：①，都有②，使得那么稱是函數(shù)的最大值；2、最小值：對(duì)于函數(shù)，其定義域?yàn)椋绻嬖趯?shí)數(shù)滿足：①，都有②，使得那么稱是函數(shù)的最小值；【清單06】復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：令：和增增增增減減減增減減減增【清單07】函數(shù)奇偶性1偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果，都有，且，那么函?shù)就叫做偶函數(shù).2奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果，都有，且，那么函?shù)就叫做奇函數(shù).【清單08】性質(zhì)法判斷函數(shù)奇偶性，在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)【題型一】函數(shù)關(guān)系判斷【例1】（24-25高一上·湖南長沙·期中）已知集合，，給出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系：①，②，③，④，請(qǐng)由函數(shù)定義判斷，其中能構(gòu)成從到的函數(shù)的是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【變式1-1】（多選）（24-25高一上·湖南懷化·期中）下列四個(gè)圖象中，是函數(shù)圖象的有（

）A． B．C． D．【題型二】函數(shù)定義域（具體函數(shù)定義域）【例2】（24-25高一下·河北保定·期中）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【變式2-1】（24-25高一上·江蘇無錫·期中）函數(shù)的定義域是.【題型三】函數(shù)定義域（抽象函數(shù)定義域）【例3】（24-25高一上·重慶·期中）若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【變式3-1】（24-25高一上·安徽阜陽·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是.【題型四】函數(shù)值域（二次函數(shù)）【例4】（23-24高一上·北京·期中）函數(shù)，的值域?yàn)?【變式4-1】（23-24高一上·寧夏石嘴山·期中）函數(shù)的值域?yàn)椤绢}型五】函數(shù)值域（根式型）【例5】（23-24高一上·江蘇蘇州·期中）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【變式5-1】（23-24高一上·安徽亳州·期中）函數(shù)的值域?yàn)椤绢}型六】函數(shù)值域（分式型）【例6】（24-25高二下·上?！て谥校┖瘮?shù)的值域是.【變式6-1】（24-25高一上·四川內(nèi)江·期中）函數(shù)的值域是．【題型七】待定系數(shù)求解析式【例7】（24-25高一上·福建福州·期中）若函數(shù)是二次函數(shù)，滿足，則=（

）A． B． C． D．【變式7-1】（24-25高一上·天津·期中）已知函數(shù)為一次函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．7【題型八】換元法求解析式【例8】（24-25高一上·陜西西安·期中）已知，則的解析式為（

）A． B．C． D．【變式8-1】（24-25高一上·重慶·期中）函數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【題型九】方程組法求解析式【例9】（24-25高一上·云南文山·期中）已知定義在上的函數(shù)滿足，則函數(shù)的解析式是．【變式9-1】（24-25高一上·安徽蕪湖·期中）根據(jù)下列條件，求的解析式.(1)是一次函數(shù)，且滿足；(2).【題型十】定義法證明函數(shù)單調(diào)性【例10】（24-25高一上·陜西西安·期中）已知函數(shù)，且，.(1)求的解析式；(2)判斷在上的單調(diào)性并用單調(diào)性的定義證明你的判斷；(3)若不等式恒成立，求的取值范圍.【變式10-1】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)在的單調(diào)性，并用定義證明；(2)求函數(shù)在的值域.【題型十一】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)【例11】（24-25高一上·天津·期中）已知函數(shù)，若在單調(diào)遞增，則m的范圍為.【變式11-1】（24-25高一上·江蘇連云港·期中）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題型十二】根據(jù)函數(shù)值域（最值）求參數(shù)【例12】（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函數(shù)的最小值為8.則實(shí)數(shù)的值是（

）A．-1 B．1 C．2 D．3【變式12-1】（23-24高一上·湖北荊州·期中）已知函數(shù)在上的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為.【題型十三】二次函數(shù)（含參）最值【例13】（24-25高一上·江西宜春·期中）已知函數(shù)，不等式的解集．(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)在上的最小值為，求的表達(dá)式及的最小值．【變式13-1】（24-25高一上·重慶·期中）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)，且函數(shù)的最小值是.(1)求的解析式；(2)已知，討論在區(qū)間上的最值.【題型十四】函數(shù)奇偶性判斷【例14】（24-25高一上·貴州·期中）已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；(2)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.【變式14-1】（24-25高一上·吉林白城·期中）判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)；(2)；(3)【題型十五】由奇偶性求解析式【例15】（23-24高一上·山東·期中）已知是R上的奇函數(shù)，且時(shí)，，則時(shí)，．【變式15-1】（24-25高一下·河北保定·期中）已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求，的值；(2)求的解析式；(3)畫出的簡(jiǎn)圖；寫出的單調(diào)區(qū)間.（只需寫出結(jié)果，不要解答過程）【題型十六】由奇偶性求參數(shù)【例16】（24-25高一上·重慶·期中）設(shè)是偶函數(shù)，且定義域?yàn)?，，則（

）A． B． C． D．【變式16-1】（24-25高一上·內(nèi)蒙古·期中）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，則（

）A．1 B．2 C．0 D．【題型十七】奇偶性+單調(diào)性解不等式（小題）【例17】（24-25高一上·湖南長沙·期中）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增．若，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式17-1】（24-25高一下·上?！て谥校┮阎x域?yàn)榈呐己瘮?shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)，則不等式的解集為．【題型十八】奇偶性+單調(diào)性解不等式（大題）【例18】（24-25高一上·天津·期中）已知函數(shù)是定義域在上的奇函數(shù)，且.(1)求a，b的值；(2)用定義法證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；(3)解不等式.【變式18-1】（24-25高一上·江蘇蘇州·期中）已知為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且.(1)求實(shí)數(shù)的值及在上的解析式：(2)判斷并證明在上的單調(diào)性；(3)解關(guān)于的不等式：.【題型十九】分段函數(shù)問題【例19】（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知函數(shù)的最小值是-2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式19-1】（24-25高一上·江蘇徐州·期中）已知函數(shù).若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【題型二十】函數(shù)圖形識(shí)別【例20】（23-24高一上·天津河北·期中）函數(shù)的圖象為（

）A． B．C． D．【變式20-1】（24-25高一上·福建莆田·期中）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【題型二十一】抽象函數(shù)問題【例21】（23-24高一上·黑龍江佳木斯·期中）已知函數(shù)對(duì)任意的，都有，且當(dāng)時(shí)，．(1)求證：是上的增函數(shù)；(2)若，，解不等式．【變式21-1】（24-25高一上·安徽·期中）定義在上的函數(shù)滿足：①當(dāng)時(shí)，；②對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有．(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)判斷在上的單調(diào)性；(3)解不等．【題型一】求函數(shù)單調(diào)區(qū)間忽略定義域【例1】（23-24高一上·湖北十堰·期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【變式1-1】（24-25高一上·廣東廣州·期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（24-25高一上·廣東湛江·期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【題型二】解不等式忽視了函數(shù)定義域【例2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【變式2-1】（23-24高一上·福建廈門·期中）已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【變式2-2】（23-24高一上·廣東廣州·期中）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈臏p函數(shù)，且，則的取值范圍是．【題型三】分段函數(shù)單調(diào)性忽視了端點(diǎn)值大小比較【例3】（24-25高一上·江蘇南通·期中）已知函數(shù)滿足：對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3-1】（23-24高一上·云南昭通·期中）已知是定義域?yàn)樯系脑龊瘮?shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3-2】（24-25高一上·江蘇南京·期中）已知函數(shù)滿足對(duì)任意的，，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【題型四】定義在上的奇函數(shù)忽略了【例4】（24-25高一上·湖北·期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，時(shí)，，則函數(shù)在上的解析式為【變式4-1】（23-24高一上·貴州·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則．【變式4-2】（23-24高一上·河南鄭州·期中）已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的解析式為．【題型一】根據(jù)單調(diào)性求值域適用：能判斷或者證明函數(shù)的單調(diào)性【例1】（23-24高一上·湖北宜昌·期中）函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【變式1—1】（24-25高一上·廣東東莞·期中）函數(shù)在上的最小值是．【題型二】判別式法求值域適用：二次型【例2】（24-25高一上·山東菏澤·期中）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中，表示不超過的最大整數(shù)，例如：，.已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是.【變式2—1】（24-25高一上·四川成都·期中）函數(shù)的值域?yàn)椋绢}型三】分離常數(shù)法求值域適用：齊