8.4.1平面(精講）目錄一、必備知識分層透析二、重點(diǎn)題型分類研究題型1:文字語言、符號語言、圖形語言的相互轉(zhuǎn)化題型2：平面性質(zhì)基本事實(shí)及推論的應(yīng)用題型3：點(diǎn)線確定平面數(shù)量問題題型4：空間中點(diǎn)線共面問題題型5：空間中點(diǎn)共線問題題型6：空間中線共點(diǎn)問題題型7：由平面的基本性質(zhì)作截面圖形一、必備知識分層透析知識點(diǎn)1：平面的概念與畫法（1）平面的概念幾何里所說的“平面”,是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來的.幾何里的平面是無限延展的.平面是絕對平的；平面是無限延展的，不可度量；平面沒有厚度.（2）平面的畫法①水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形,用平行四邊形表示平面,平行四邊形的銳角通常畫成,且橫邊長等于其鄰邊長的2倍.如圖(1).②如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住,為了增強(qiáng)它的立體感,把被遮擋部分用虛線畫出來.如圖(2).（3）平面的表示平面通常用希臘字母等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來表示，如平面、平面等.知識點(diǎn)2：點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（是點(diǎn)，、是直線，、是平面）文字語言表達(dá)圖形語言表達(dá)符號語言表達(dá)點(diǎn)在直線上點(diǎn)在直線外點(diǎn)在平面內(nèi)點(diǎn)在平面外直線在平面內(nèi)直線在平面外平面,相交于知識點(diǎn)3：平面的基本性質(zhì)（1）基本事實(shí)1①過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；②圖形語言：③應(yīng)用：確定平面的依據(jù)；判斷兩個(gè)平面是否重合；證明點(diǎn)線共面.④說明：對于基本事實(shí)1中的“有且只有一個(gè)”，這里的“有”是說圖形存在,“只有一個(gè)”是說圖形唯一,本公理強(qiáng)調(diào)的是存在性和唯一性兩個(gè)方面,因此“有且只有一個(gè)”,必須完整地使用,不能僅用“只有一個(gè)”來代替“有且只有一個(gè)”.否則就沒有表達(dá)存在性.確定一個(gè)平面中的“確定”是“有且只有一個(gè)”的同義詞,也就是存在性和唯一性這兩個(gè)方面的,這個(gè)術(shù)語今后學(xué)習(xí)中會經(jīng)常出現(xiàn).（2）基本事實(shí)2①如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)；②符號語言和圖形語言符號語言：，，且，③應(yīng)用：判斷直線或點(diǎn)是否在平面內(nèi)的依據(jù).④說明：基本事實(shí)2表明，可以用直線的“直”刻畫平面的“平”，用直線的“無限延伸”刻畫平面的“無限延展”.如圖,由基本事實(shí)勝于雄辯,給定不共線的三點(diǎn),它們可以確定一個(gè)平面;連接,,,由基本事實(shí)2.這三條直線都在平面內(nèi)，進(jìn)而連接這三條直線上任意兩點(diǎn)所得直線也都在平面內(nèi),所有這些直線可以編織成一個(gè)“直線網(wǎng)”，這個(gè)“直線網(wǎng)”可以鋪滿平面.組成“直線網(wǎng)”的直線的“直”和向各個(gè)方向無限延伸，說明了平面的“平”和“無限延展”.（3）基本事實(shí)3①如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線②符號語言和圖形語言，且③應(yīng)用：判斷兩平面是否相交及確定交線的依據(jù)；證明三點(diǎn)共線；證明三線共點(diǎn)；作兩平面的交線.④說明：基本事實(shí)3告訴我們，如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面一定相交于過這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線.兩個(gè)平面相交成一條直線的事實(shí)，使我們進(jìn)一步認(rèn)識了平面的“平”和“無限延展”.知識點(diǎn)4：基本事實(shí)1和基本事實(shí)2的三個(gè)推論（1）推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（2）推論2:經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面（3）推論3:經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面二、重點(diǎn)題型分類研究題型1:文字語言、符號語言、圖形語言的相互轉(zhuǎn)化典型例題例題1．如果點(diǎn)在直線上，而直線在平面內(nèi)，點(diǎn)在內(nèi)，可以用集合語言和符號表示為（

）A．，， B．，，C．，， D．，，例題2．若點(diǎn)在直線上，在平面上，則點(diǎn)，直線，平面之間的關(guān)系可以記作（

）A． B． C． D．例題3．如果點(diǎn)在直線上，而直線在平面內(nèi)，點(diǎn)在平面內(nèi)，則可以表示為（

）A．，, B．，，C．，， D．，，例題4．根據(jù)下列符號表示的語句，說明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形．(1)，；(2)，，；(3)，，，．例題5．用符號語言改寫下列語句：(1)點(diǎn)在平面內(nèi)，點(diǎn)不在直線上；(2)直線在平面內(nèi)，直線與平面有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)直線和相交于一點(diǎn)．同類題型演練1．點(diǎn)A在直線l上，直線l在平面內(nèi)，用符號表示，正確的是（

）A．， B．， C．， D．，2．如圖所示，用符號語言可表述為（）A．，，B．C．D．3．如圖所示，點(diǎn)、線、面之間的數(shù)學(xué)符號語言關(guān)系為（

）A．， B．，C．， D．，4．如圖所示，點(diǎn)，線，面之間的數(shù)學(xué)符號語言關(guān)系為（

）A．， B．， C．， D．，5．畫出滿足下列條件的圖形：（1）；（2）題型2：平面性質(zhì)基本事實(shí)及推論的應(yīng)用典型例題例題1．下列四個(gè)選項(xiàng)中的命題是真命題的是（）A．若四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線B．空間中，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行C．空間中，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形D．兩個(gè)不重合的平面最多可將空間分成三個(gè)部分例題2．下列命題中①空間中三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面.②直線和直線外的一點(diǎn)，可以確定一個(gè)平面.③如果三條直線兩兩相交，那么這三條直線可以確定一個(gè)平面.④如果三條直線兩兩平行，那么這三條直線可以確定一個(gè)平面.⑤如果兩個(gè)平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合.真命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例題3．（多選）下面四個(gè)條件中，能確定一個(gè)平面的是（

）A．空間中任意三點(diǎn) B．一條直線和一個(gè)點(diǎn)C．兩條相交的直線 D．兩條平行的直線同類題型演練1．下列條件中不能確定一個(gè)平面的是（

）A．不共線三點(diǎn) B．兩條相交直線 C．兩條平行直線 D．四邊形2．工人師傅在檢測椅子的四個(gè)“腳”是否在同一個(gè)平面上時(shí)，只需連接對“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格.工人師傅運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是（

）A．兩條相交直線確定一個(gè)平面B．兩條平行直線確定一個(gè)平面C．四點(diǎn)確定一個(gè)平面D．直線及直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面3．下列說法中，正確的是（

）．A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B．過一條直線的平面有無數(shù)多個(gè)C．兩條直線確定一個(gè)平面 D．三條兩兩相交的直線確定三個(gè)平面題型3：點(diǎn)線確定平面數(shù)量問題典型例題例題1．空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面．()例題2．一條直線和直線外的三點(diǎn)所確定的平面有（

）A．1個(gè)或3個(gè) B．1個(gè)或4個(gè)C．1個(gè)，3個(gè)或4個(gè) D．1個(gè)，2個(gè)或4個(gè)例題3．三條互相平行的直線最多可確定____個(gè)平面．例題4．空間中有五個(gè)點(diǎn)，其中有四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)，但沒有任何三點(diǎn)共線，這樣的五個(gè)點(diǎn)確定____個(gè)平面.例題5．空間四條直線中，其中每兩條都相交，最多可以確定平面的個(gè)數(shù)是______.同類題型演練1．在空間，已知直線及不在上兩個(gè)不重合的點(diǎn)?，過直線作平面，使得點(diǎn)?到平面的距離相等，則這樣的平面的個(gè)數(shù)不可能是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．無數(shù)個(gè)2．空間兩兩相交的三條直線，可以確定的平面數(shù)是A． B． C． D．或3．（多選）空間中四點(diǎn)可確定的平面有（

）A．1個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．無數(shù)個(gè)4．三條不同的直線a、b、c，若，c與a、b都相交，則a、b、c三條直線能確定的平面的個(gè)數(shù)是______個(gè)．5．圓心和圓上任意兩點(diǎn)可確定的平面?zhèn)€數(shù)有______個(gè)．題型4：空間中點(diǎn)線共面問題典型例題例題1．在正方體中，、、、分別是該點(diǎn)所在棱的中點(diǎn)，則下列圖形中、、、四點(diǎn)共面的是（

）A．B．C．D．例題2．如圖，正方體中，若，，分別為棱，，的中點(diǎn)，，分別是四邊形，的中心，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．，，，四點(diǎn)共面 B．，，，四點(diǎn)共面C．，，，四點(diǎn)共面 D．，，，四點(diǎn)共面例題3．如圖，四邊形和四邊形都是梯形，且，且，，分別為的中點(diǎn)．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)四點(diǎn)是否共面？為什么？例題4．如圖，四邊形和都是直角梯形，，，，，，，分別為，的中點(diǎn).（1）證明：四邊形是平行四邊形.（2），，，四點(diǎn)是否共面？為什么？同類題型演練1．下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．空間中的三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B．直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面C．兩條相交直線確定一個(gè)平面 D．兩條平行直線確定一個(gè)平面2．如圖所示．是正方體，O是的中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)M，給出下列結(jié)論：①A、M、O三點(diǎn)共線；

②A、M、O、不共面：③A、M、C、O共面；

④B、、O、M共面，其中正確的序號為_________．3．如圖，在長方體中，E，F(xiàn)分別是和的中點(diǎn)．證明：E，F(xiàn)，D，B四點(diǎn)共面．題型5：空間中點(diǎn)共線問題典型例題例題1．如圖，在正方體中，為棱的中點(diǎn)．設(shè)與平面的交點(diǎn)為，則（

）A．三點(diǎn)，，共線，且B．三點(diǎn)，，不共線，且C．三點(diǎn)，，共線，且D．三點(diǎn)，，不共線，且例題2．如圖，已知的三個(gè)頂點(diǎn)都不在平面內(nèi)，它的三邊延長后分別交平面于點(diǎn),求證：三點(diǎn)在同一條直線上．例題3．如圖，在空間四邊形中，分別是的中點(diǎn)，分別在上，且(1)求證：四點(diǎn)共面；(2)設(shè)與交于點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線.例題4．如圖，在正方體中，為正方形的中心，為直線與平面的交點(diǎn)．求證：，，三點(diǎn)共線．同類題型演練1．若直線l與平面相交于點(diǎn)O，A，B∈l，C，D∈，且AC//BD，則O，C，D三點(diǎn)的位置關(guān)系是________．2．如圖，在三棱錐中，作截面，，的延長線交于點(diǎn)M，，的延長線交于點(diǎn)N，，的延長線交于點(diǎn)K．判斷M，N，K三點(diǎn)是否共線，并說明理由．3．已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示，求證：P，Q，R三點(diǎn)共線.4．如圖,在四面體ABCD中作截面PQR,若PQ,CB的延長線交于M,RQ,DB的延長線交于N,RP,DC的延長線交于K,求證:M,N,K三點(diǎn)共線.題型6：空間中線共點(diǎn)問題典型例題例題1．如圖，為空間四邊形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在，上，且，．(1)求證：，，，四點(diǎn)共面；(2)求證：，必相交且交點(diǎn)在直線上．例題2．如圖，在三棱柱中，，．求證：直線，，相交于一點(diǎn)．例題3．如圖，在四面體中，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且有，.求證：，，交于一點(diǎn)．同類題型演練1．在三棱錐中，分別是線段的中點(diǎn)，分別是線段上的點(diǎn)，且.求證:（1）四邊形是梯形；（2）三條直線相交于同一點(diǎn).2．如圖，已知平面，，且.若梯形中，，且，.求證：，l共點(diǎn)（相交于一點(diǎn)）.3．如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和CB上的點(diǎn)，G，H分別是CD和AD上的點(diǎn)，且，.求證：EH，BD，F(xiàn)G三條直線相交于同一點(diǎn).題型7：由平面的基本性質(zhì)作截面圖形典型例題例題1．如圖，已知分別是正方體的棱和的中點(diǎn)，由點(diǎn)確定的平面截該正方體所得截面為（）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形例題2．在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，則過，，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面面積為（

）A． B． C． D．例題3．如圖所示的正方體中，是棱上的一點(diǎn)，試說明、、三點(diǎn)確定的平面與平面相交，并畫出這兩個(gè)平面的交線.例題4．如圖，正方體的棱長為分別是的中點(diǎn)，設(shè)過三點(diǎn)的平面與交于點(diǎn)．（1）畫出過三點(diǎn)的平面與平面的交線，以及與平面的交線；（2）求的長．同類題型演練1．如圖，已知、、分別是正