8.6.3平面與平面垂直（第2課時平面與平面垂直的性質(zhì)定理）(精講）目錄一、必備知識分層透析二、重點(diǎn)題型分類研究題型1:平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用題型2：平面圖形折疊后的垂直問題題型3:與二面角有關(guān)的探索性問題題型4：直線與平面垂直、平面與平面垂直的綜合應(yīng)用三、高考（模擬）題體驗一、必備知識分層透析知識點(diǎn)1：平面與平面垂直的性質(zhì)定理（1）定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直．(2)符號（圖形）語言：，，.（3）應(yīng)用：①面面垂直線面垂直②作平面的垂線.二、重點(diǎn)題型分類研究題型1:平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用典型例題例題1．已知三棱錐中，，，平面平面，則三棱錐的外接球的表面積為______．【答案】【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，如圖所示：因為，所以為的外接圓圓心，又因為，為的中點(diǎn)，所以.因為平面平面，所以平面，所以三棱錐的外接球球心在直線上.在上取一點(diǎn)，使得，即為三棱錐的外接球球心，設(shè)，，所以，.在中，，所以，解得，所以三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：例題2．如圖，四邊形中，，，.將四邊形沿對角線折成四面體，使平面⊥平面，則與平面所成的角的正弦值為___________.【答案】【詳解】因為平面平面，，平面平面，平面，故平面.因為平面，故.因為，，故，故，又，故平面，∴為直線與平面所成的角，，,又∵平面，∴,∴,故答案為：.例題3．如圖，在四棱錐中，，，，，，平面平面.證明：平面【答案】證明見解析【詳解】證明：由題設(shè)，，又面面，面面，面，所以面，而面，則，由得：，又，則平面.例題4．如圖，在三棱錐中，底面．(1)求證：平面平面；(2)若，求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)（1）底面．又ACB=，；又平面，又平面，∴平面（2）取PC的中點(diǎn)O，連接AO、BO；又∵平面平面且交線為，平面，直線AB在平面PBC中的射影為OB，為AB與平面PBC所成的角在直角中，AB=，，同類題型演練1．在矩形ABCD中，，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)（如圖1），沿AE將△折起到△處，使得平面平面ABCE（如圖2），則直線PC與平面ABCE所成角的正切值為___________.【答案】【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，∵且為的中點(diǎn)，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，則直線PC與平面ABCE所成角為，，即，所以.故答案為：．2．已知四棱錐的每個頂點(diǎn)都在球O的球面上，側(cè)面底面，底面為邊長為2的正方形，，，則四棱錐外接球的體積為__________.【答案】【詳解】在中，，，，所以，所以.又側(cè)面底面，側(cè)面底面，平面，所以平面.所以四棱錐外接球的直徑是以AB，AD，AP為棱的長方體的對角線，設(shè)外接球的半徑為R，體積為V，則，，所以，即四棱錐外接球的體積為.故答案為：3．如圖，四棱錐中，為矩形，平面平面.求證：.【詳解】證明：因為為矩形，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以.4．如圖，四棱錐中，平面平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，，．證明：平面【詳解】證明：如圖，連接AF，由題意知為等腰三角形，而為的中點(diǎn)，所以．又因為平面平面，且，平面平面，平面，所以平面．而平面，所以．而，平面，所以平面．連接，則，，而，，所以且，所以是平行四邊形，因此，故平面．題型2：平面圖形折疊后的垂直問題典型例題例題1．如圖所示，平面四邊形中，，，，將其沿對角線折成四面體，使平面平面，則下列說法中不正確的是（

）A．平面平面 B．C．平面平面 D．平面【答案】D【詳解】選項A.由平面平面，平面平面,又，且平面，所以平面由平面，所以平面平面，故A正確.選項B.由上有平面，又平面，則，故B正確.選項C.由上可知，，且,所以平面,又平面,所以平面平面，故C正確.選項D.由上有平面，又平面，則若平面，由平面,則,這與相矛盾，故D不正確.故選：D例題2．如圖所示的四邊形是邊長為的正方形，對角線，相交于點(diǎn)，將沿折起到的位置，使平面平面．給出以下5個結(jié)論：①；②和都是等邊三角形；③平面平面；④；⑤三棱錐表面的四個三角形中，面積最大的是和．其中所有正確結(jié)論的序號是____________．【答案】①②④【詳解】因為正方形的對角線互相垂直，所以，且，由線面垂直的判定可知平面，所以，即①正確；因為正方形的邊長是，所以，又平面平面，所以平面，所以，即和都是等邊三角形，②正確；如圖，取的中點(diǎn)，連接，，得，，所以就是二面角的平面角，而，所以不是直角．即平面與平面不垂直，③錯誤；因為，所以④正確；因為，，所以三棱錐表面的四個三角形中，面積最大的是和，不是和，所以⑤錯誤．綜上，可知①②④正確．故答案為：①②④例題3．如圖1是半圓（以為直徑）與組合成的平面圖，其中，圖2是將半圓沿著直徑折起得到的，且半圓所在平面與所在平面垂直，點(diǎn)是的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求異面直線與所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）是半圓的直徑，，，即，又平面平面，且平面平面平面，平面，又平面，，又，平面，平面，平面，又平面，所以；（2）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，且，連接，則，，可得四邊形是矩形，四邊形是平行四邊形，，異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，由（1）得，平面平面，平面，，在Rt中，，，在中，，，即異面直線與所成角的余弦值為．例題4．已知四邊形為等腰梯形，，、分別是、的中點(diǎn)，連接，，如圖①所示，將梯形沿直線折起，連接、，是的中點(diǎn)，如圖②所示．(1)證明：平面；(2)若平面平面，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接、，為的中點(diǎn)，且.由題意，且，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，因為平面，平面，因此，平面.（2）解：設(shè)、的延長線交于點(diǎn)，則平面，平面.平面平面，則、、三點(diǎn)共線，在圖①中，分別過點(diǎn)、作、，垂足分別為點(diǎn)、，如下圖所示：由等腰梯形的幾何性質(zhì)可知，，且，所以，，，因為，，，故四邊形為平行矩形，所以，且，又因為為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，即，所以，且，所以，四邊形為矩形，故，，由翻折不變性可知，，，，、平面，平面，平面，，即，因為平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，翻折前，，翻折后，仍有，，，，，，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為，則為的中點(diǎn)，則，所以，，所以，，，因為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得，因此，點(diǎn)到平面的距離為.同類題型演練1．（多選）如圖，在長方形中，，，為的中點(diǎn)，為線段(端點(diǎn)除外)上一動點(diǎn).現(xiàn)將沿折起，使平面平面.在平面內(nèi)過點(diǎn)作，為垂足.設(shè)，則的取值可以是（

）A． B． C． D．1【答案】BC【詳解】連接，設(shè)，.因為平面平面，，所以平面.又因為平面，所以.在中，，在中，，在中，，設(shè)，在中，，在中，，所以，即.又因為，所以.故選：BC2．已知一圓形紙片的圓心為，直徑，圓周上有、兩點(diǎn).如圖，，，點(diǎn)是上動點(diǎn).沿將紙片折為直二面角，并連結(jié)，，，.(1)當(dāng)平面時，求的長；(2)問當(dāng)點(diǎn)在什么位置時，三棱錐體積最大，并求出此時點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)(2)，(1)解：因為平面，平面，平面平面，所以，又，所以，所以，又，所以.(2)解：當(dāng)時，三棱錐的體積最大，因為，二面角為直二面角，平面平面，平面，所以平面，平面，所以、，又，而，所以當(dāng)，時，三棱錐的體積最大，此時，此時即是等邊三角形，邊長，∴，設(shè)所求距離為，則，即，解得，故當(dāng)時，此時點(diǎn)到平面的距離為.3．如圖1，在矩形中，點(diǎn)E在邊上，，將沿進(jìn)行翻折，翻折后D點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)位置，且滿足平面平面，如圖2.(1)若點(diǎn)F在棱上，且平面，求；(2)若，求點(diǎn)A到平面的距離，【答案】(1)(2)【詳解】（1）如圖，在上取點(diǎn)，使得∥，連接，，則∥∥.因為平面，平面平面，所以∥，所以四邊形是平行四邊形，所以.又因為，所以.（2）作，垂足為，連接，，.因為平面平面，平面平面，所以平面.由條件可知是等腰直角三角形，，.，所以三棱錐的體積為.在底面內(nèi)計算可得，所以同理可得.所以是等腰三角形，面積為.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即，解得.4．如圖，矩形中，分別在線段和上，，將矩形沿折起.記折起后的矩形為，且平面平面.(1)求證：；(2)若，求證：平面平面.【詳解】（1）證明:由題意知，,故,則,又平面平面，平面平面,且平面，所以平面，又平面，所以,由,平面,所以平面,平面,所以；（2）證明:由題意知,即,由（1）知平面，故平面，平面，所以,因為，故矩形為正方形，則,平面,所以平面,又平面,所以平面平面.題型3:與二面角有關(guān)的探索性問題典型例題例題1．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點(diǎn)，若為線段上的動點(diǎn)（不含．(1)平面與平面是否相互垂直？若是，請證明；若不是，請說明理由；(2)若為何值時？二面角為．【答案】(1)平面AEF與平面PBC是相互垂直；證明見解析(2)【詳解】（1）因為，E為線段PB的中點(diǎn)，所以，因為底面ABCD，平面ABCD，所以，又因為底面ABCD為正方形，所以，又，所以平面PAB，∵平面PAB，∴，因為，所以平面PBC，因為平面AEF，所以平面平面PBC（2）如圖，取AB的中點(diǎn)M，作交AF于點(diǎn)N，連接EM，EN，因為EM為的中位線，所以，又平面ABCD，線段BC故平面ABF，，，故平面EMN，所以即為二面角的平面角，即設(shè)，則，因為，即，所以又，即，得例題2．如圖，將邊長為的正方形沿對角線折起，使得點(diǎn)到點(diǎn)的位置，連接，為的中點(diǎn).(1)若平面平面，求點(diǎn)到平面的距離；(2)不考慮點(diǎn)與點(diǎn)重合的位置，若二面角的余弦值為，求的長度.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）連接，則，因為平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又正方形的邊長為，所以，，設(shè)點(diǎn)O到平面的距離為，則，所以，所以，即點(diǎn)O到平面的距離為；（2）取的中點(diǎn)，連接，因為，所以，所以為二面角的平面角，所以，由題可知，在中，，，，所以，所以，所以.同類題型演練1．如圖，在三棱柱中，已知，，側(cè)面.（Ⅰ）求直線與底面所成角正切值；（Ⅱ）在棱（不包含端點(diǎn)）上確定一點(diǎn)E的位置，使得（要求說明理由）；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若，求二面角的大小.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）當(dāng)E為中點(diǎn)時，，理由見詳解；（Ⅲ）二面角的大小為45°.【詳解】解：（Ⅰ）在直三棱柱，平面ABC,在平面ABC上的射影為CB.為直線與底面ABC所成角，，即直線與底面ABC所成角的正切值為2.（Ⅱ）當(dāng)E為中點(diǎn)時，.,，，即.又平面，平面.，平面ABE,平面ABE，.（Ⅲ）取的中點(diǎn)G，的中點(diǎn)F，則，且，,連結(jié)，設(shè)，連結(jié)，則，且，為二面角的平面角.，，∴二面角的大小為45°.2．如圖所示，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，點(diǎn)在側(cè)棱上.(1)求證：平面平面；(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：∵平面ABCD，平面ABCD，∴.∵四邊形ABCD是直角梯形，，，，∴，取AB中點(diǎn)為F,連接，∵四邊形ABCD是直角梯形，，，，∴，，，，∴四邊形ADCF為矩形，，∴.∴⊥，又，平面，∴平面PBC.∵平面EAC，∴平面平面PBC.（2）方法一：由（1）知平面PBC，又∵平面PBC，∴⊥，由（1）知，所以是二面角的平面角.由圖知平面PAC與平面ACE的夾角即為二面角，∵平面PAC與平面ACE的夾角的余弦值為，∴，∵平面ABCD，平面ABCD，∴.在中，由，得：，∴，∴，，∵∠CPB與∠CBP互余，∠PCE與∠ECB互余，∴，，∴；題型4：直線與平面垂直、平面與平面垂直的綜合應(yīng)用典型例題例題1．如圖，已知平行四邊形與直角梯形所在的平面互相垂直，且，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)證明：平面．【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，如圖，為的中點(diǎn)，，且，又，且，，且，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2）證明：四邊形是平行四邊形，，又，在中，由余弦定理可得：，，，.平面平面，平面平面，平面.例題2．如圖，三棱柱的所有棱長都是2，平面，，分別是，的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)求平面和平面夾角的余弦值；(3)在線段（含端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)到平面的距離為？若存在，請指出點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由.【答案】(1)見解析；(2)；(3)存在，與點(diǎn)重合時，滿足題意.【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以，又為邊長為2的正三角形，為中點(diǎn)，所以，所以平面，平面，所以①,又，所以，所以，所以，所以(為與的交點(diǎn))，所以②，又因為③,由①②③可得平面，又因為平面，所以平面平面；（2）解：設(shè),過作于，連接,因為平面，平面，所以，又因為，，則平面,平面,所以，所以為平面和平面夾角，在中，,在中，，所以，所以中，,所以；（3）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，點(diǎn)到平面的距離為，取中點(diǎn)，連接,則∥，所以四點(diǎn)共面，又平面，平面，所以，又，,所以平面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，又,即,即,所以，解得.故在線段存在點(diǎn)（端點(diǎn)處），使點(diǎn)到平面的距離為.例題3．如圖，在四棱錐中，，，，，.(1)求證：平面.(2)設(shè)為的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）∵，，PB=PD，∴Rt△PDC≌Rt△PBC，∴BC=DC，又PB∩PD=P，∴PC⊥平面PBD，∵BD平面PBD，∴PC⊥BD，∵AB=AD，BC=CD，∴易知AC⊥BD，又∵AC∩PC=C，AC,PC含于面PAC∴BD⊥平面PAC；（2）如圖，設(shè)AC交BD于O，則O是BD的中點(diǎn)，連接OP，過作，連接，由（1）得，BD⊥平面PAC，面，故，又，所以，面，故為PE與平面ABCD所成角，設(shè)，因為為中點(diǎn)，且，故在中，，又由BC=CD，且BD=，，∴在△BCD中，由余弦定理得：，即，解得，故，∴，，，，∵PC⊥平面PBD，∴，所以，在中，利用等面積法，得到，故，所以，在中，同類題型演練1．如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，,是棱的中點(diǎn).(1)證明：平面平面.(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：由直三棱柱的定義可知平面.因為平面，所以；因為是等邊三角形，，且是棱的中點(diǎn)，所以.因為平面，且，所以平面.因為平面，所以平面平面.（2）連接，由題意可得的面積.因為是邊長為4的等邊三角形，且是棱的中點(diǎn)，所以.由（1）可知平面，則三棱錐的體積因為是棱的中點(diǎn)，且，所以，則.由（1）可知平面,平面，則，從而的面積.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則三棱錐的體積.因為，所以，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.2．如圖，在四棱錐中，，，側(cè)面底面，底面為矩形，為上的動點(diǎn)（與，兩點(diǎn)不重合）．(1)判斷平面與平面是否互相垂直？如果垂直，請證明；如果不垂直，請說明理由；(2)若，，當(dāng)為的中點(diǎn)時，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)垂直，證明見解析(2)4【詳解】（1）平面與平面垂直．證明如下：因為底面為矩形，所以．又側(cè)面底面，且平面平面，平面所以平面．又平面，所以．又，且，平面，所以平面．又平面，所以平面平面，即平面平面．（2）當(dāng)為的中點(diǎn)時，取的中點(diǎn)，連接．因為，所以．因為側(cè)面底面，且平面平面，平面，所以底面．因為，，所以，．在中，，，所以．由（1）知平面，又平面，所以．所以．因為，所以．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由，得，解得．所以點(diǎn)到平面的距離為4．3．如圖，在正四棱錐中，，點(diǎn)O為底面的中心，點(diǎn)P在棱上，且的面積為1．(1)若點(diǎn)P是的中點(diǎn)，求證：平面平面；(2)在棱上是否存在一點(diǎn)P使得二面角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說明強(qiáng)由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，P為棱SD靠近端點(diǎn)S的三等分點(diǎn).【詳解】（1）在四棱錐S-ABCD中，正方形ABCD的邊長是，則AC=2，因點(diǎn)S在底面ABCD上的射影為底面ABCD的中心點(diǎn)O，即SO⊥底面ABCD，而AC底面ABCD，則SO⊥AC，又△SAC的面積為1，即，解得，于是得，則，因點(diǎn)P是SD的中點(diǎn)，則有SD⊥AP，SD⊥CP，而，平面PAC，從而得SD⊥平面PAC，又平面SCD，所以平面SCD⊥平面PAC.（2）假定在棱SD上存在一點(diǎn)P使得平面PAC和平面ACD夾角的余弦值為，連OP，OD，如圖，由(1)知，SO⊥AC，而DO⊥AC，，平面SOD，則有AC⊥平面SOD，又平面SOD，從而有PO⊥AC，因此，是二面角P-AC-D的平面角，令PD=a，由(1)知，SO⊥DO，SO=DO=1，則，且，過P作PM//SO交DO于M，則PM⊥DO，，，因，則，而，即有，，解得：，即有，所以在棱SD上存在一點(diǎn)P使得二面角的余弦值為，P為棱SD靠近端點(diǎn)S的三等分點(diǎn).三、高考（模擬）題體驗1．如圖，三棱錐中，側(cè)面PAB垂直于底面ABC，，底面ABC是斜邊為AB的直角三角形，且，記O為AB的中點(diǎn)，E為OC的中點(diǎn).(1)求證：；(2)若，直線PC與底面ABC所成角的大小為60°，求四面體PAOC的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，因為，所以，側(cè)面垂直于底面，平面，平面平面，所以底面，底面，所以，是斜邊為的直角三角形，且，所以，又因為O為AB的中點(diǎn)，所以,所以為等邊三角形，又E為OC的中點(diǎn)，所以，因為，，，，所以平面，又平面，所以；（2）由（1）知底面ABC，所以直線PC與底面ABC所成角為，因為直線PC與底面ABC所成角的大小為，，因為，所以，在中，，，所以.2．如圖，四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，，為等邊三角形，平面平面ABCD.(1)證明：；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).（1）取中點(diǎn)，連，因為，，，，所以四邊形為正方形，為等腰直角三角形，則，，因為面面，面面，面，所以平面，又平面，所以.（2）取中點(diǎn)，連，則，且，因為平面平面，面面，面，所以平面，又面積為