10.2事件的相互獨(dú)立性（精練）一、單選題1．若事件與相互獨(dú)立，且，則的值等于（

）A．0 B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)槭录c相互獨(dú)立，由相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，可得：.故答案選：B.2．已知A，B是一次隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，若滿(mǎn)足，則（

）A．事件A，B互斥 B．事件A.B相互獨(dú)立C．事件A，B不互斥 D．事件A，B不相互獨(dú)立【答案】C【詳解】若事件A，B互斥，則，與事件的概率小于等于1矛盾，故事件A，B不互斥；若事件A，B相互獨(dú)立，則，而題設(shè)無(wú)法判斷是否成立，故無(wú)法判斷事件A，B是否相互獨(dú)立.故選：C.3．已知甲，乙，丙三人去參加某公司面試，他們被該公司錄取的概率分別是，且三人的錄取結(jié)果相互之間沒(méi)有影響，則他們?nèi)酥兄辽儆幸蝗吮讳浫〉母怕蕿椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)榧祝?，丙三人被該公司錄取的概率分別是，且三人錄取結(jié)果相互之間沒(méi)有影響，所以他們?nèi)硕紱](méi)有被錄取的概率為，故他們?nèi)酥兄辽儆幸蝗吮讳浫〉母怕蕿?故選:D4．甲?乙?丙?丁四位同學(xué)將代表高一年級(jí)參加校運(yùn)會(huì)米接力賽，教練組根據(jù)訓(xùn)練情況，安排了四人的交接棒組合.已知該組合三次交接棒失誤的概率分別是，，，假設(shè)三次交接棒相互獨(dú)立，則此次比賽中該組合交接棒沒(méi)有失誤的概率是（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】由題意，三次交接棒不失誤的概率分別為，，，則該組合交接棒不失誤的概率為.故選：C.5．近年來(lái)，部分高校根據(jù)教育部相關(guān)文件規(guī)定開(kāi)展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)（也稱(chēng)強(qiáng)基計(jì)劃），假設(shè)甲?乙?丙三人通過(guò)強(qiáng)基計(jì)劃的概率分別為，那么三人中恰有兩人通過(guò)強(qiáng)基計(jì)劃的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】記甲、乙、丙三人通過(guò)強(qiáng)基計(jì)劃分別為事件,顯然為相互獨(dú)立事件,則“三人中恰有兩人通過(guò)”相當(dāng)于事件,且互斥,∴.故選:C.6．對(duì)于事件，，下列命題不正確的是（

）A．若，互斥，則B．若，對(duì)立，則C．若，獨(dú)立，則D．若，獨(dú)立，則【答案】D【詳解】因?yàn)椋コ?，互斥事件概率和?0,1]區(qū)間，所以，故選項(xiàng)正確；因?yàn)?，?duì)立，對(duì)立事件概率和為1，所以，故選項(xiàng)正確；因?yàn)?，?dú)立，則,也相互獨(dú)立，所以，故選項(xiàng)正確；因?yàn)?，?dú)立，由獨(dú)立事件的性質(zhì)可知：二者同時(shí)發(fā)生的概率，由概率大于零可知：不一定成立，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；所以命題不正確的是，故選：.7．已知，，，則事件與的關(guān)系是（

）A．與互斥不對(duì)立 B．與對(duì)立C．與相互獨(dú)立 D．與既互斥又獨(dú)立【答案】C【詳解】由可得，因?yàn)?，則與不互斥，不對(duì)立，由可得，因?yàn)?，所以與相互獨(dú)立故選：C8．國(guó)家于2021年8月20日表決通過(guò)了關(guān)于修改人口與計(jì)劃生育法的決定，修改后的人口計(jì)生法規(guī)定，國(guó)家提倡適齡婚育?優(yōu)生優(yōu)育，一對(duì)夫妻可以生育三個(gè)子女，該政策被稱(chēng)為三孩政策.某個(gè)家庭積極響應(yīng)該政策，一共生育了三個(gè)小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，記事件：該家庭既有男孩又有女孩；事件：該家庭最多有一個(gè)男孩；事件：該家庭最多有一個(gè)女孩.則下列說(shuō)法正確的是（

）A．事件與事件互斥但不對(duì)立 B．事件與事件互斥且對(duì)立C．事件與事件相互獨(dú)立 D．事件與事件相互獨(dú)立【答案】D【詳解】有三個(gè)小孩的家庭的樣本空間可記為：={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，事件={(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}事件={(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，事件={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，對(duì)于A，,且，所以事件B與事件C互斥且對(duì)立，故A不正確；對(duì)于B，{(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，所以事件與事件不互斥，故B不正確；對(duì)于C，事件有4個(gè)樣本點(diǎn)，事件有4個(gè)樣本點(diǎn)，事件有0個(gè)樣本點(diǎn)，，顯然有，即事件與事件不相互獨(dú)立，故C不正確；對(duì)于D，事件有6個(gè)樣本點(diǎn)，事件有4個(gè)樣本點(diǎn)，事件有3個(gè)樣本點(diǎn)，，顯然有，即事件與事件相互獨(dú)立，故D正確；故選：D二、多選題9．已知事件，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．如果，那么B．如果A與互斥，那么C．如果A與相互獨(dú)立，那么D．如果A與相互獨(dú)立，那么【答案】BC【詳解】對(duì)A，由得，則，A錯(cuò)；對(duì)B，由A與互斥得，則，B對(duì)；對(duì)CD，A與相互獨(dú)立，則，，故C對(duì)D錯(cuò)；故選：BC10．（2022秋·湖北十堰·高二統(tǒng)考期末）連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察這兩次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．記事件A為“第一次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為3”，事件B為“第二次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為5”，事件C為“兩次點(diǎn)數(shù)之和為8”，事件D為“兩次點(diǎn)數(shù)之和為7”，則（

）A．A與B相互獨(dú)立 B．A與D相互獨(dú)立C．B與C為互斥事件 D．C與D為互斥事件【答案】ABD【詳解】連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的結(jié)果用有序數(shù)對(duì)表示，其中第一次在前，第二次在后，不同結(jié)果如下：．共36個(gè)．依題意，，事件C包括，共5個(gè)，，事件D包括，共6個(gè)，．對(duì)于選項(xiàng)A，事件只有結(jié)果，A與B相互獨(dú)立，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，事件只有結(jié)果，A與D相互獨(dú)立，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)?shù)谝淮蔚狞c(diǎn)數(shù)是3點(diǎn)，第二次是5點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生了，所以事件不是互斥事件，所以選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，事件是不可能事件，即C與D是互斥事件，所以選項(xiàng)D正確．故選：ABD三、填空題11．某市氣象局天氣預(yù)報(bào)稱(chēng)，明天甲地降雨的概率是0.3，乙地降雨的概率是0.4.若明天這兩地是否降雨是相互獨(dú)立的，則明天這兩地中恰有一個(gè)地方降雨的概率是______.【答案】0.46【詳解】記事件：明天甲地降雨，事件：明天乙地降雨，事件：明天這兩地中恰有一個(gè)地方降雨，則，且，，，故答案為：.12．為慶祝冬奧會(huì)取得勝利，甲、乙兩位同學(xué)參加知識(shí)競(jìng)賽.已知兩人答題正確與否相互獨(dú)立，且各一次正確的概率分別是0.4和0.3，則甲、乙兩人各作答一次，至少有一人正確的概率為_(kāi)_____【答案】0.58【詳解】由題意,設(shè)“甲答題正確”為事件,“乙答題正確”為事件,則,設(shè)“至少有一人正確”為事件，，故答案為：.四、解答題13．在高中學(xué)生軍訓(xùn)表演中，學(xué)生甲的命中率為0.4，學(xué)生乙的命中率為0.3，甲乙兩人的擊互不影響，求：(1)甲乙同時(shí)射中目標(biāo)的概率；(2)甲乙中至少有一人擊中目標(biāo)的概率.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)“甲擊中目標(biāo)”為事件，“乙擊中目標(biāo)”為事件，則，且事件，相互獨(dú)立，所以甲乙同時(shí)射中目標(biāo)的概率為.（2）設(shè)“甲乙中至少有一人擊中目標(biāo)”為事件，則它的對(duì)立事件為“甲乙都沒(méi)有擊中目標(biāo)”記為：，則.14．某工廠為了保障安全生產(chǎn)，舉行技能測(cè)試，甲、乙、丙3名技術(shù)工人組成一隊(duì)參加技能測(cè)試，甲通過(guò)測(cè)試的概率是0.8，乙通過(guò)測(cè)試的概率為0.9，丙通過(guò)測(cè)試的概率為0.5，假定甲、乙、丙3人是否通過(guò)測(cè)試相互之間沒(méi)有影響.(1)求甲、乙、丙3名工人都通過(guò)測(cè)試的概率；(2)求甲、乙、丙3人中恰有2人通過(guò)測(cè)試的概率.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）設(shè)甲、乙、丙3人通過(guò)測(cè)試分別為事件，，，則，，.∴.（2）甲、乙、丙3人中恰有2人通過(guò)測(cè)試，等價(jià)于恰有1人未通過(guò)測(cè)試，∴.15．已知某著名高校今年綜合評(píng)價(jià)招生分兩步進(jìn)行：第一步是材料初審，若材料初審不合格，則不能進(jìn)入第二步面試；若材料初審合格，則進(jìn)入第二步面試．只有面試合格者，才能獲得該高校綜合評(píng)價(jià)的錄取資格，且材料初審與面試之間相互獨(dú)立，現(xiàn)有甲、乙、丙三名考生報(bào)名參加該高校的綜合評(píng)價(jià)，假設(shè)甲、乙，丙三名考生材料初審合格的概率分別是，，，面試合格的概率分別是，，．(1)求甲考生獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格的概率；(2)求甲、乙兩位考生中有且只有一位考生獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格的概率；(3)求三人中至少有一人獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格的概率．【答案】(1)；(2)；(3)．【詳解】（1）設(shè)事件表示“甲獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格”，則；（2）設(shè)事件表示“乙獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格”，則，則甲、乙兩位考生有且只有一位考生獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格的概率為：；（3）設(shè)事件表示“丙獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格”，則，三人中至少有一人獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格的對(duì)立事件是三人都沒(méi)有獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格，三人中至少有一人獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格的概率為：．B能力提升16．射箭是群眾喜聞樂(lè)見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)形式之一，某項(xiàng)賽事前，甲、乙兩名射箭愛(ài)好者各射了一組（72支）箭進(jìn)行賽前熱身訓(xùn)練，下表是箭靶區(qū)域劃分及兩人成績(jī)的頻數(shù)記錄信息，賽前熱身訓(xùn)練的成績(jī)估計(jì)兩名運(yùn)動(dòng)員的正式比賽的競(jìng)技水平，并假設(shè)運(yùn)動(dòng)員競(jìng)技水平互不影響，運(yùn)動(dòng)員每支箭的成績(jī)也互不影響．箭靶區(qū)域環(huán)外黑環(huán)藍(lán)環(huán)紅環(huán)黃圈區(qū)域顏色白色黑色藍(lán)色紅色黃色環(huán)數(shù)1-2環(huán)|3-4環(huán)5環(huán)6環(huán)7環(huán)8環(huán)9環(huán)10環(huán)甲成績(jī)（頻數(shù)）0012363624乙成績(jī)（頻數(shù)）01246113612(1)估計(jì)甲運(yùn)動(dòng)員一箭命中10環(huán)的概率及乙運(yùn)動(dòng)員一箭命中黃圈的概率；(2)甲乙各射出一支箭，求有人命中10環(huán)的概率；(3)甲乙各射出兩支箭，求共有3支箭命中黃圈的概率．【答案】(1)甲運(yùn)動(dòng)員一箭命中10環(huán)的概率為，乙運(yùn)動(dòng)員一箭命中黃圈的概率為(2)(3)【詳解】（1）設(shè)A＝“甲運(yùn)動(dòng)員一箭命中10環(huán)”，B＝“乙運(yùn)動(dòng)員一箭命中黃圈”，則，，∴甲運(yùn)動(dòng)員一箭命中10環(huán)的概率為，乙運(yùn)動(dòng)員一箭命中黃圈的概率為．（2）設(shè)C＝“乙運(yùn)動(dòng)員一箭命中10環(huán)”，D＝“有人命中10環(huán)”，則，，，事件A，C相互獨(dú)立，D=A+C，，∴甲乙各射出一支箭，有人命中10環(huán)的概率為．（3）設(shè)＝“甲運(yùn)動(dòng)員第i箭命中黃圈”，＝“乙運(yùn)動(dòng)員第i箭命中黃圈”，，，設(shè)E＝“共有3支箭命中黃圈”，，，，，相互獨(dú)立，，，，互斥∴甲乙各射出兩支箭，共有3支箭命中黃圈的概率為：17．中國(guó)教育部日前對(duì)全國(guó)政協(xié)《關(guān)于進(jìn)一步落實(shí)青少年抑郁癥防治措施的提案》進(jìn)行了答復(fù)，其中明確將抑郁癥篩查納入學(xué)生健康體檢內(nèi)容，并明確指出對(duì)青少年進(jìn)行預(yù)防抑郁癥教育是實(shí)施素質(zhì)教育、促進(jìn)青少年全面發(fā)展、保障青少年身心健康的一項(xiàng)重要工作.某研究機(jī)構(gòu)為了解家長(zhǎng)們對(duì)抑郁癥的關(guān)注情況，隨機(jī)抽取了100位家長(zhǎng)進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果整理得到下列統(tǒng)計(jì)表：關(guān)注抑郁癥未關(guān)注抑郁癥合計(jì)男性家長(zhǎng)20女性家長(zhǎng)25合計(jì)45100(1)補(bǔ)充上述統(tǒng)計(jì)表，并估計(jì)家長(zhǎng)未關(guān)注抑郁癥的概率；(2)教育部開(kāi)展了“抑郁癥”的問(wèn)答活動(dòng)，從家長(zhǎng)中選出甲、乙兩位代表組隊(duì)參加活動(dòng)，每輪活動(dòng)甲乙各回答一道題目，甲答對(duì)每道題目的概率為，乙答對(duì)每道題目的概率為，甲和乙的回答相互獨(dú)立，求家長(zhǎng)隊(duì)在兩輪活動(dòng)中答對(duì)3個(gè)題目的概率.【答案】(1)統(tǒng)計(jì)表見(jiàn)解析，估計(jì)家長(zhǎng)未關(guān)注抑郁癥的概率為0.55；(2).【詳解】（1）補(bǔ)充統(tǒng)計(jì)表如下：關(guān)注抑郁癥未關(guān)注抑郁癥合計(jì)男性家長(zhǎng)203050女性家長(zhǎng)252550合計(jì)4555100設(shè)家長(zhǎng)未關(guān)注抑郁癥的頻率為，則，所以估計(jì)家長(zhǎng)未關(guān)注抑郁癥的概率為0.55.（2）設(shè)、分別為事件“甲兩輪只對(duì)1題，兩輪對(duì)2題”，、分別為事件“乙兩輪只對(duì)1題，兩輪對(duì)2題”，，，，，設(shè)：“家長(zhǎng)隊(duì)在兩輪活動(dòng)中答對(duì)3題”，則，∵與、與相互獨(dú)立，.18．10月9日晚，2022年世界乒乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽在中國(guó)成都落幕.中國(guó)隊(duì)女團(tuán)與男團(tuán)分別完成了五連冠與十連冠的霸業(yè).乒乓球運(yùn)動(dòng)在我國(guó)一直有著光榮歷史，始終領(lǐng)先世界水平，被國(guó)人稱(chēng)為“國(guó)球”，在某次團(tuán)體選拔賽中，甲乙兩隊(duì)進(jìn)行比賽，采取五局三勝制（即先勝三局的團(tuán)隊(duì)獲得比賽的勝利），假設(shè)在一局比賽中，甲隊(duì)獲勝的概率為0.6，乙隊(duì)獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相對(duì)獨(dú)立.(1)求這場(chǎng)選拔賽三局結(jié)束的概率；(2)若第一局比賽乙隊(duì)獲勝，求比賽進(jìn)入第五局的概率.【答案】(1)0.28(2)0.432【詳解】（1）設(shè)“第i局甲勝”為事件，“第j局乙勝”為事件（i，，2，3，4，5），記“三局結(jié)束比賽”，則，∴；（2）設(shè)“第i局甲勝”為事件，“第j局乙勝”為事件（i，，2，3，4，5），記“決勝局進(jìn)入第五局比賽”，則，∴.19．某區(qū)，，三所學(xué)校有意愿報(bào)考名校自招的人數(shù)分別為24，8，16人，受疫情因素影響，該區(qū)用分層隨機(jī)抽樣的方法從三所學(xué)校中抽取了6名學(xué)生，參加了該區(qū)統(tǒng)一舉辦的現(xiàn)場(chǎng)小范圍自招推介說(shuō)明會(huì).(1)從這6名中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行座談和學(xué)情調(diào)查，求這2名學(xué)生來(lái)自不同學(xué)校的概率；(2)若考生小張根據(jù)自身實(shí)際，報(bào)考了甲乙兩所名校的自招，設(shè)通過(guò)甲校自招資格審核的概率為，通過(guò)乙校自招資格審核的概率為，已知通過(guò)兩所學(xué)校自招資格審核與否是相互獨(dú)立的，求小張至少能通過(guò)一所學(xué)校自招資格審核的概率.【答案】(1)(2)【詳解】（1）用分層隨機(jī)抽樣的方法從三個(gè)學(xué)校中一共抽取