.1-13.2三角形的概念、有關(guān)的線段【考點歸納】【知識梳理】知識點一、三角形的概念由不在同意直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角。知識點二、三角形的特性與表示三角形有下面三個特性：（1）三角形有三條線段（2）三條線段不在同一直線上三角形是封閉圖形（3）首尾順次相接三角形用符號“”表示，頂點是A、B、C的三角形記作“ABC”，讀作“三角形ABC”。知識點三、三角形的分類三角形按邊的關(guān)系分類如下：不等邊三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等邊三角形三角形按角的關(guān)系分類如下：直角三角形（有一個角為直角的三角形）三角形銳角三角形（三個角都是銳角的三角形）斜三角形鈍角三角形（有一個角為鈍角的三角形）把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形。知識點四、三角形中的主要線段（1）三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。（2）在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。（3）從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。知識點五、三角形的穩(wěn)定性三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這個性質(zhì)在生產(chǎn)生活中應(yīng)用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀。知識點六、三角形的三邊關(guān)系定理及推論（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。（2）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：①判斷三條已知線段能否組成三角形②當(dāng)已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。③證明線段不等關(guān)系?！绢}型歸納】題型一：三角形的認識【例1】（25-26八年級上·全國·單元測試）下面各項都是由三條線段組成的圖形，其中屬于三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了三角形的定義，掌握“在同一平面內(nèi)，由三條線段首尾順次連接形成的封閉圖形叫做三角形”是解題關(guān)鍵．【詳解】解：由三角形的定義可知，只有C選項的圖形是三角形，故選：C．【跟蹤訓(xùn)練1】．（23-24八年級上·山東德州·階段練習(xí)）下列由三條線段組成的圖形是三角形的是（）A．B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了三角形的定義，掌握“在同一平面內(nèi)，由三條線段首尾順次連接形成的封閉圖形叫做三角形”是解題關(guān)鍵．【詳解】解：由三角形的定義可知，只有C選項的圖形是三角形，故選：C．【跟蹤訓(xùn)練2】．（22-23八年級上·河北廊坊·期中）下面是用三根火柴組成的圖形，其中符合三角形概念的是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形的定義：平面上不共線的三點及其每兩點連接的線段所組成的封閉圖形，即可進行解答．【詳解】解：符合三角形概念的是，故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形的定義，解題的關(guān)鍵是掌握：平面上不共線的三點及其每兩點連接的線段所組成的封閉圖形是三角形，這三點稱為三角形的頂點；三條線段稱為三角形的邊．題型二：三角形的分類【例2】．（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）下列關(guān)于三角形按邊分類的圖示中，正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題主要考查了三角形按邊分類，根據(jù)分類情況分為三邊不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分為腰和底不相等的三角形、等邊三角形，根據(jù)分類的情況即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)三角形按邊分類情況：等邊三角形應(yīng)該分在等腰三角形里，故選項A錯誤，不符合題意；等腰三角形包含等邊三角形，故選項B錯誤，不符合題意；分類混亂，故選項C錯誤，不符合題意；分類正確，故選項D正確，符合題意．故選項為：D．【跟蹤訓(xùn)練1】（25-26八年級上·全國）已知的三邊長為，，，且滿足，則此三角形一定是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．底邊和腰不相等的等腰三角形 D．三邊都不相等的三角形【答案】B【分析】本題考查三角形的分類（按邊分），平方式和絕對值的非負性等知識點，根據(jù)非負性求出三角形的邊長是解題關(guān)鍵．由非負數(shù)的性質(zhì)可知，平方項和絕對值項均為非負數(shù)，它們的和為零時，每個部分都為零，從而求出各邊的值，再根據(jù)三角形形狀的判定條件得出結(jié)論．【詳解】解：由題意得，，因為平方項和絕對值項均非負，且它們的和為0，所以，，，解得，，因此，的三邊長均為2，滿足等邊三角形的定義．故選：B．【跟蹤訓(xùn)練2】（23-24八年級上·廣西欽州·階段練習(xí)）在中，，則此三角形是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和為，難度較?。O(shè)，因為，所以，，根據(jù)三角形內(nèi)角和為進行列式即可解答．【詳解】解：設(shè)，因為，所以，，在中，，即，解得，那么，，，所以此三角形是直角三角形，故選：B．題型三：構(gòu)成三角形的條件【例3】（24-25八年級上·廣東東莞·期末）下列長度的三條線段能組成三角形的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】A【分析】根據(jù)兩邊之和大于第三邊判斷即可．本題考查了三角形三邊關(guān)系定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，與兩邊之和大于第三邊一致，∴A符合題意；∵，與兩邊之和大于第三邊不一致，構(gòu)不成三角形，∴B不符合題意；∵，與兩邊之和大于第三邊不一致，構(gòu)不成三角形，∴C不符合題意；∵，與兩邊之和大于第三邊不一致，構(gòu)不成三角形，∴D不符合題意；故選：A．【跟蹤訓(xùn)練1】（25-26八年級上·全國·單元測試）已知一個等腰三角形的一邊長等于，一邊長等于，那么它的周長為（）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】本題考查等腰三角形及三角形三邊關(guān)系．解題的關(guān)鍵是分情況討論．分兩種情況討論，當(dāng)為底邊長時和當(dāng)為底邊長時兩種情況討論．【詳解】解：當(dāng)為底邊長時，腰長為，∵，∴滿足三角形的三邊關(guān)系，∴周長為；當(dāng)為底邊長，腰長為時，∵，∴滿足三角形的三邊關(guān)系，∴周長為，故它的周長為或．故選：C．【跟蹤訓(xùn)練2】（24-25八年級上·廣東東莞·期末）若一個三角形的兩邊長分別為3和7，則第三邊長可能是（

）A．2 B．3 C．6 D．10【答案】C【分析】本題主要考查了三角形三邊之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形三邊之間關(guān)系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．先根據(jù)三角形三邊之間關(guān)系求出第三條邊的范圍，再看四個選項中哪一個符合條件即可．【詳解】解：設(shè)第三邊長為，由題意得：，，A，B，C，D四個選項中只有C選項符合，故選：C．題型四：三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用【例4】（2025八年級上·全國·專題練習(xí)）若是三角形的三邊長，則化簡的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，絕對值的化簡，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出之間的大小關(guān)系，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡即可，熟練掌握以上知識點是關(guān)鍵．【詳解】解：由三角形的三邊關(guān)系得，，，，∴，，，∴原式，故選：．【跟蹤訓(xùn)練1】24-25八年級上·全國·期末）等腰三角形的一邊長，一邊長，則它的周長為（

）A． B．或 C． D．【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的定義、三角形的三邊關(guān)系，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．分①腰長為和②腰長為兩種情況，根據(jù)等腰三角形的定義、三角形的三邊關(guān)系即可得．【詳解】解：①當(dāng)腰長為時，則這個等腰三角形的三邊長分別為，，，因為，所以滿足三角形的三邊關(guān)系，所以此時它的周長為；②當(dāng)腰長為時，則這個等腰三角形的三邊長分別為，，，因為，所以不滿足三角形的三邊關(guān)系；綜上，這個等腰三角形的周長為，故選：C．【跟蹤訓(xùn)練2】（24-25八年級上·內(nèi)蒙古烏海）已知是的三條邊，化簡的結(jié)果為（

）A． B． C． D．0【答案】B【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系，絕對值的化簡，利用三角形三邊關(guān)系（任意兩邊之和大于第三邊）判斷絕對值內(nèi)表達式的符號，進而化簡絕對值即可．【詳解】解：a，b，c是的三邊長，，，則，，，，原式，故選：B．題型五：三角形的穩(wěn)定性及其應(yīng)用【例5】（24-25八年級上·廣東江門·階段練習(xí)）安裝空調(diào)時，一般會采用如圖所示的方法固定，這樣做的數(shù)學(xué)依據(jù)（

）A．兩點之間線段最短 B．三角形的穩(wěn)定性 C．兩點確定一條直線 D．垂線段最短【答案】B【分析】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性．根據(jù)三角形的穩(wěn)定性解答即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：這樣做的數(shù)學(xué)依據(jù)是三角形的穩(wěn)定性．故選：B【跟蹤訓(xùn)練1】（25-26八年級上·全國）椅子是日常生活中常見的一種家具，現(xiàn)代的椅子追求美觀時尚，一些椅子被賦予了更多科技，使人類的生活更加方便．下列椅子的設(shè)計中利用了“三角形的穩(wěn)定性”的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了三角形穩(wěn)定性的實際應(yīng)用．三角形的穩(wěn)定性在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，往往通過連接輔助線轉(zhuǎn)化為三角形而獲得．根據(jù)三角形穩(wěn)定性逐一判斷即可．【詳解】解：由題意可知，C選項椅子的設(shè)計中利用了“三角形穩(wěn)定性”，故選：C．【跟蹤訓(xùn)練2】（24-25七年級下·吉林長春·期中）下列生活實物中，沒有應(yīng)用到三角形的穩(wěn)定性的是（）A．三腳架 B．籃球架C．活動衣架 D．太陽能熱水器【答案】C【分析】本題考查的是三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性判斷即可．【詳解】解：A、應(yīng)用到三角形的穩(wěn)定性，不符合題意；B、應(yīng)用到三角形的穩(wěn)定性，不符合題意；C、沒有應(yīng)用到三角形的穩(wěn)定性，符合題意；D、應(yīng)用到三角形的穩(wěn)定性，不符合題意；故選：C．題型六：畫三角形的高【例6】（21-22八年級上·遼寧鞍山·期中）下面四個圖形中，線段是的高的圖形是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題考查了三角形的高，根據(jù)三角形的高的定義進行判斷即可，理解三角形的高的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由三角形的高的定義可知，四個選項中，只有D選項中，故選：D．【跟蹤訓(xùn)練1】（24-25八年級下·廣東深圳·期中）下列能表示的邊上的高的是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了三角形的高的概念，從三角形的一個頂點向?qū)呑鞔咕€，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．根據(jù)概念逐一判斷即可．【詳解】解：A、圖形中，不能表示的邊上的高，本選項不符合題意；B、圖形中，能表示的邊上的高，本選項符合題意；C、圖形中，不能表示的邊上的高，本選項不符合題意；D、圖形中，不能表示的邊上的高，本選項不符合題意；故選：B．【跟蹤訓(xùn)練2】（24-25八年級上·全國·期末）下面四個圖形中，線段是的高的是（）A．B．C．D【答案】A【分析】本題主要考查了三角形的高的定義，即從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點到垂足之間的線段叫做三角形的高．根據(jù)三角形的高的定義逐項分析即可求解．【詳解】解：B、C、D選項中線段不能表示任何邊上的高，A選項中線段表示中邊上的高．故選：A．題型七：與三角形高有關(guān)的計算問題【例7】（24-25七年級下·山東棗莊·階段練習(xí)）如圖，中，，，，，P為直線上一動點，連接，則線段的最小值是（

）A．2.4 B．5 C．3 D．4【答案】A【分析】本題主要考查了垂線段最短及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用面積法求高．根據(jù)當(dāng)時，的值最小，利用面積法求解即可．【詳解】解：，，，，當(dāng)時，的值最小，此時：的面積，，．故選：A．【跟蹤訓(xùn)練1】（25-26八年級上·全國·周測）如圖，在中，是邊上的高．在中，是邊上的中線．若，且，則的值為（

）A．16 B．24 C．28 D．32【答案】D【分析】本題考查了三角形中線和高的性質(zhì)以及三角形的面積公式，根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積求解是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)中線性質(zhì)求出的面積，再根據(jù)求出的面積，再根據(jù)面積公式求出的值.【詳解】解：是邊上的中線，，是邊上的高線，故選：D．【跟蹤訓(xùn)練2】（25-26八年級上·全國·單元測試）如圖，在中，，交的延長線于點，，則的長是（

）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】A【分析】本題考查三角形面積公式的應(yīng)用及等量關(guān)系的建立．解題關(guān)鍵在于利用同一三角形面積的不同表達方式建立關(guān)于未知邊長的等式，從而求解．具體地，根據(jù)面積公式：，再代入已知值，即可求解．【詳解】解：，，，，，，．故選：A．題型八：根據(jù)三角形的中線求長度或者面積問題【例8】（23-24八年級上·廣東廣州·期中）如圖，在中，是高，是角平分線，是中線．則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的角平分線、中線和高的概念判斷．本題考查的是三角形的角平分線、中線和高，掌握它們的概念是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵是的中線，∴，A說法正確，不符合題意；∵是角平分線，∴，B說法正確，不符合題意；∵是高，∴，∴，C說法正確，不符合題意；∵，∴，D說法錯誤，符合題意．故選：D．【跟蹤訓(xùn)練1】（24-25八年級上·廣東韶關(guān)·階段練習(xí)）如圖，是上的中線，是的中點，的面積是，則的面積是（）A．10 B．6 C．5 D．4【答案】C【分析】本題考查了三角形面積的求法，三角形中，連接一個頂點和它所對邊的中點的線段叫做三角形的中線，掌握三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分，求出面積比，即可解答．【詳解】解：∵是邊上的中線∴，∵是的中點，則是中邊上的中線，∴，∴∵，∴，故選：C．【跟蹤訓(xùn)練2】（2025八年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，在中，是高，是角平分線，是中線．下列說法中，錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了三角形角平分線、中線和高的知識點，熟練掌握三角形中線、高、角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)三角形角平分線、中線和高的定義進行分析即可.【詳解】解：選項A：是中線，點是中點，，選項A正確，不符合題意.選項B：的邊上的高為，根據(jù)三角形面積公式可得，選項B正確，不符合題意.選項C：的角平分線為，，選項C錯誤，符合題意.選項D：的底邊為的一半，二者高相等，根據(jù)三角形面積公式可得，選項D正確，不符合題意.故答案為：C．題型九：三角形的角平分線【例9】（24-25八年級上·山東臨沂·階段練習(xí)）如圖，在中，，D，E是上兩點，且，平分，那么下列說法中不正確的是（

）A．是的中線 B．是的角平分線C． D．是的高【答案】C【分析】本題考查三角形的高線，三角形的角平分線定義，三角形的中線等知識點，能熟記知識點的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．利用已知條件和三角形中線即可判斷出A選項的正誤；利用已知條件和角平分線的定義即可判斷出B選項的正誤；利用角平分線的性質(zhì)只能得到，但沒有辦法得到，可判斷出C選項錯誤；由三角形的高線的定義，可判斷D．【詳解】解：∵，即點E為中點，∴是的中線，故A正確，不符合題意；∵平分，∴是的角平分線，故B正確，不符合題意；∵平分，∴．∵，，∴，故C錯誤，符合題意；∵，即，∴是的高，故D正確，不符合題意．故選C．【跟蹤訓(xùn)練1】（24-25七年級下·湖南衡陽·期末）如圖，中，，，，下列選項不正確的是（

）．A．是的角平分線 B．是的高C．是的中線 D．【答案】A【分析】此題考查了三角形的角平分線、中線和高，根據(jù)三角形的角平分線、中線和高的定義判斷即可．【詳解】解：∵，∴是的中線，，C、D選項正確．∵，∴是的角平分線；沒有條件能證明是的角平分線；A選項錯誤．∵，∴是的高．故選：A．【跟蹤訓(xùn)練2】（24-25八年級上·全國·單元測試）如圖，的中線、角平分線交于點O，則下列結(jié)論中正確的是（）A．是的角平分線 B．是的角平分線C．是的中線 D．是的角平分線【答案】D【分析】本題主要考查角平分定義和中線的定義，根據(jù)題意得，，逐項判斷即可判定是的角平分線．【詳解】解：A∵的角平分線、中線相交于點O，∴，，在中，不一定等于，∴不一定是的角平分線，A錯誤；B∵不一定等于，那么不一定是的角平分線，B錯誤；C在中，，不一定是的中線，C錯誤；D∵，∴是的角平分線，D正確；故選：D．題型十：三角形線段的綜合問題【例10】（23-24八年級上·湖北武漢·單元測試）如圖所示，已知，分別是的高和中線，，，，．(1)求的長．(2)求的面積．【答案】(1)(2)【分析】本題考查三角形的面積，中線；掌握三角形的中線分出的兩個三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵．（1）利用“面積法”來求線段的長度；（2）先求出的面積，然后根據(jù)三角形的中線分出的兩個三角形的面積相等解答即可．【詳解】（1）解：∵，是邊上的高，∴，∴，∴的長度為．（2）解：∵是直角三角形，，∴，又∵是邊的中線，∴．【例10】（23-24八年級河北保定）如圖，在平面直角坐標系中，點在x軸上，將點A向右平移5個單位長度，再向上平移m個單位長度得到點B，將點A向下平移個單位長度，再向右平移5個單位長度得到點C，在此過程中m始終滿足．(1)______；A點的坐標是______；(2)寫出點B、C的坐標：B______，C______；（用含m的式子表示）(3)若的面積是10，求m的值；(4)若交y軸于點N，的長度為1，請直接寫出m的值．【答案】(1)1，；(2)，；(3)；(4)．【分析】本題屬于三角形綜合題，主要考查了兩條直線相交或平行問題、坐標與圖形變化中的平移、三角形的面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點的坐標利用三角形的面積公式得出的方程；（1）由點在軸上可求出值，將其代入點的坐標中即可得出點的坐標；（2）依據(jù)點的平移可得出點、的坐標；（3）設(shè)直線與軸的交點為，則點的坐標為，可求出，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出的值；（4）連接，根據(jù)可得出，再列出方程并求解即可．【詳解】（1）解：在平面直角坐標系中，點在軸上，，解得：，點．故答案為：1，；（2）解：將將點向右平移5個單位長度，再向上平移個單位長度得到點，將點向下平移個單位長度，再向右平移5個單位長度得到點，點，點，，即，，故答案為：，；（3）解：設(shè)直線與軸的交點為，如圖1，則點的坐標為，，，，，，，；（4）解：；理由如下；設(shè)直線與軸的交點為，連接，如圖2，，，，．【跟蹤訓(xùn)練1】（24-25八年級上·湖南湘西·期末）如圖，在中，，邊上的中線把的周長分成60和40兩部分，求和的長．【答案】，【分析】本題考查了三角形中線的定義；根據(jù)中線的定義結(jié)合已知可得，求出，再根據(jù)邊上的中線把的周長分成60和40兩部分列式計算即可．【詳解】解：∵中線把的周長分成60和40兩部分，，∴，，∵是邊上的中線，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，，∴，．【跟蹤訓(xùn)練2】（24-25八年級上·陜西安康·階段練習(xí)）如圖，在中，是中線，是高，且，，．(1)_____；(2)求和的周長差．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)中線的性質(zhì)，中線將三角形分成面積相等的兩部分，所以可直接得出的值．（2）的周長為，的周長為，因為，所以周長差為，再根據(jù)三角形面積公式求出的長度，進而求出周長差．本題主要考查了三角形中線和高的性質(zhì)，熟練掌握中線將三角形分成面積相等的兩部分是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵BE是中線∴∵∴故答案為：（2）解：∵BE是中線∴∵，∴∵AD是高，，∴即解得∵∴【高分演練】一、單選題1．（25-26八年級上·全國）若一個三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)分別為，，，則這個三角形是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】C【分析】本題考查三角形的分類，三個角都是銳角的三角形是銳角三角形有一個角是直角的三角形是直角三角形，有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及三角形按角分類的標準判斷即可．【詳解】驗證內(nèi)角和：，符合三角形內(nèi)角和為的性質(zhì)；判斷角類型：和均小于，為銳角，大于，為鈍角；分類三角形：若三角形中有一個角是鈍角，則為鈍角三角形；綜上，該三角形是鈍角三角形．故選：C．2．（25-26八年級上·全國·課前預(yù)習(xí)）三角形按角分類可以分為（

）A．銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形 B．等腰三角形、等邊三角形、不等邊三角形C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正確【答案】A【分析】根據(jù)三角形的分類情況可得答案．此題主要考查了三角形的分類，關(guān)鍵是掌握三角形的分類一種是按邊分類，另一種按角分類．【詳解】解：三角形按角分類可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，故選：A．3．（20-21八年級上·遼寧盤錦·階段練習(xí)）如圖，圖中三角形的個數(shù)為（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】C【分析】本題考查三角形的個數(shù)．找出圖中所有的三角形，即可得三角形的個數(shù)．【詳解】解：圖中的三角形有：，，，，，∴圖中共有個三角形，故選：．4．（25-26八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，以D為頂點的三角形的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查了三角形，根據(jù)三角形的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：以D為頂點的三角形有共4個三角形，故選：B．5．（21-22八年級上·遼寧鞍山·期中）已知三角形的三邊分別為2，x，13，若x為整數(shù)，則這樣的三角形的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握第三邊的范圍是：大于已知的兩邊之差，而小于兩邊之和．根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊可得答案．【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：，即，∵x為整數(shù)，∴、、，則這樣的三角形的個數(shù)為3，故選：B．6．（22-23八年級上·全國·期中）已知四組線段：第①組長度分別為5，6，11；第②組長度分別為1，4，4；第③組長度分別為4，4，4；第④組長度分別為3，4，5，其中不能成為一個三角形的三條邊的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】A【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系逐一判斷即可求解，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①5，6，11，，5，6，11不能構(gòu)成三角形；②1，4，4，，，1，4，4，能構(gòu)成三角形；③4，4，4，，，4，4，4，能構(gòu)成三角形‘；④3，4，5，，，3，4，5，能構(gòu)成三角形‘；則不能構(gòu)成三角形的是第①組，故選A．7．（24-25七年級下·遼寧阜新·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．三角形的角平分線是射線B．三角形的三條高所在的直線交于一點，這一點不在三角形內(nèi)就在三角形外C．三角形的一條角平分線把三角形分成兩個面積相等的三角形D．三角形的三條中線交于一點，這點稱為三角形的重心【答案】D【分析】本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點．也考查了三角形的角平分線、中線和高．根據(jù)三角形的角平分線的定義和三角形重心的定義進行判斷即可．【詳解】解：A、三角形的角平分線是線段，所以本選項不符合題意；B、三角形的高所在的直線交于一點，這一點在三角形內(nèi)或在三角形外或在三角形頂點，所以本選項不符合題意；C、三角形的一條中線把三角形分成兩個面積相等的三角形，所以本選項不符合題意．D、三角形的三條中線交于一點，這點稱為三角形的重心，所以本選項符合題意；故選：D．8．（24-25八年級上·西藏山南·期末）如圖，是的中線，是的中線，且的面積是1，的面積為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)即可求解，掌握三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是的中線，且的面積是1，∴，∵是的中線，∴，故選：C．9．（25-26八年級上·全國·課后作業(yè)）在中，，邊上的中線把分成周長差為5的兩個三角形，則的長為（

）A．2 B．19 C．2或19 D．2或12【答案】D【分析】本題考查了中線，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先整理得，再進行分類討論以及運用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合三角形的周長之間的關(guān)系進行列式計算，即可作答．【詳解】解：∵是的中線，∴，依題意，當(dāng)時，如圖所示：∵邊上的中線把分成周長差為5的兩個三角形，∴，∴，∴；當(dāng)時，如圖所示：∵邊上的中線把分成周長差為5的兩個三角形，∴，∴，∴；綜上：的長為2或12，故選：D10．（21-22八年級上·四川德陽·階段練習(xí)）若表示的三邊長，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，化簡絕對值．由三角形的三邊關(guān)系，得到，，，化簡絕對值，再合并同類項即可．【詳解】解：表示的三邊長，，，，，，，，故選C．11．（24-25八年級上·福建莆田·階段練習(xí)）中，如圖選項正確畫出邊上的高的圖形是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題考查畫三角形的高，由三角形的高的定義可知，過點B作邊上的垂線段即可．【詳解】解：A．不是邊上的高，不合題意；B．不是邊上的高，不合題意；C．不是邊上的高，不合題意；D．是邊上的高，符合題意；故選D．二、填空題12．（25-26八年級上·全國·課前預(yù)習(xí)）如圖，共有個三角形；在中，所對的角是；在中，所對的邊是；以為邊的三角形有．【答案】3【分析】本題考查了與三角形有關(guān)的概念，理解這些概念是關(guān)鍵；由三角形相關(guān)概念即可完成．【詳解】解：圖中共有3個三角形：；在中，所對的角是；在中，所對的邊是；以為邊的三角形有；故答案為：3；；；．13．（24-25七年級下·上?！て谥校┰谥?，若，則此三角形按角分類是三角形．【答案】銳角【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的分類，根據(jù)已知條件和三角形內(nèi)角和定理求出這個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)即可得到答案．【詳解】解：∵在中，，，∴，∴，∴，∴該三角形是銳角三角形，故答案為：銳角．14．（24-25七年級下·上?！て谥校┤舻娜齻€內(nèi)角的比為，則的形狀是三角形．（填銳角、直角、鈍角中的一個）【答案】直角【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的分類，先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出中最大角的度數(shù)，然后根據(jù)三角形的分類求解即可．【詳解】解：∵的三個內(nèi)角的比為，∴中最大角為，∴的形狀是直角三角形，故答案為：直角．15（21-22八年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）工人師傅在做完門框后，為避免變形，常常如圖所示釘上兩根斜拉的木條（即圖中的兩根木條），如此做的數(shù)學(xué)原理是：．【答案】三角形的穩(wěn)定性【分析】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，解題的關(guān)鍵是熟知三角形穩(wěn)定性的特點．根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性進行解答即可．【詳解】解：這樣做是運用了三角形的穩(wěn)定性．故答案為：三角形的穩(wěn)定性．16．（25-26八年級上·全國·單元測試）如圖，在中，分別是的中點，連接交于點．若四邊形的面積為5，則的面積為．【答案】15【分析】本題主要考查了三角形中線的性質(zhì)，熟知三角形中線平分三角形面積是解題的關(guān)鍵．連接，利用、是中點的性質(zhì)，得出多組等面積三角形，通過面積的等量代換，結(jié)合四邊形的面積，推導(dǎo)出的面積．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，分別是，的中點，∴，，∴，，，，∴，，∴，∵四邊形的面積為，∴，∴，∴，∴．故答案為：15．17．（24-25八年級上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）如圖，在中，，，、邊上的高、交于點H，則與的比值是【答案】【分析】本題考查了三角形的高，利用三角形的面積公式列出等式是解題關(guān)鍵．根據(jù)三角形的面積公式即可得．【詳解】由題意得：，解得．故答案為：．18．（2025八年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，已知在中，點D，E，F(xiàn)分別為，，的中點，且，則．【答案】3【分析】本題考查三角形的面積，掌握“同高的兩個三角形，其面積比等于底邊長之比”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“同高的兩個三角形，其面積比等于底邊長之比”計算即可．【詳解】解：∵點D是的中點，∴，∵點E是的中點，∴，，∴，∵點F是的中點，∴．故答案為：3．三、解答題19．（21-22八年級上·云南曲靖·期中）在直角三角形中，，是邊上的高，，，．(1)求的長；(2)若的邊上的中線是，求出的面積．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了三角形面積的計算和中線的性質(zhì)，熟練掌握以上知