⑤斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；（“斜邊直角邊”或“HL”）技巧歸納：．證題的思路：注意：①判定兩個三角形全等必須有一組邊對應相等；②全等三角形面積相等．【題型探究】題型一：SSS證明三角形全等問題【例1】．（2025八年級上·全國）如圖，點B、E、C、F在同一直線上，，，，求證：．【跟蹤訓練1】．（25-26八年級上·甘肅定西·階段練習）是的中點，，求證：．【跟蹤訓練2】．（2025·西藏·中考真題）如圖，，．求證：．題型二：SAS證明三角形全等問題【例2】．（23-24八年級上·吉林四平·期末）如圖，，，垂足分別為，，，，求證：．【跟蹤訓練1】．（2025·云南玉溪·三模）如圖，點是線段的中點，，．求證：．【跟蹤訓練2】．（24-25八年級上·陜西咸陽）如圖，在中，于點D，于點E，與交于點F，連接，延長到點G，使得，連接，．(1)試說明：；(2)試說明與的關系？并說明理由．題型三：ASA（AAS）證明三角形全等問題【例3】．（24-25八年級上·吉林松原·期末）如圖，在中，直角頂點A在直線l上，，過點B、C分別作直線l的垂線，垂足分別為D、E．求證：．【跟蹤訓練1】．（25-26八年級上·全國）如圖，D是的邊上一點，，交于點E，．(1)求證：≌；(2)若，求的長．【跟蹤訓練2】．（25-26八年級上·四川綿陽）如圖，中，，垂足為D，，垂足為E，與相交于點F，．(1)求證：；(2)若，，求的長．題型四：“HL”證明三角形全等問題【例4】．（24-25八年級下·貴州銅仁·階段練習）如圖，已知點A、E、F、D在同一條直線上，，，，垂足分別為F、E．，求證：．【跟蹤訓練1】．（23-24八年級上·云南曲靖·期中）如圖，在和中，與分別為邊上的中線，且，求證：．【跟蹤訓練2】．（24-25八年級下·福建漳州·期中）如圖，已知，于點，于點，．求證：．題型五：添加一個條件證明全等問題【例5】．（24-25八年級上·河南周口·期中）如圖，已知，則添加下列一個條件不一定能使的是（

）A． B． C． D．【跟蹤訓練1】．（2025八年級上·全國·專題練習）如圖，在和中，點A、D、C在同一直線上，已知，，添加以下條件后，仍不能判定的是（

）A． B． C． D．【跟蹤訓練2】．（23-24八年級上·全國·單元測試）如圖，，添加下列條件還不能判定的是（

）A． B．C． D．題型六：全等三角形的輔助線之倍長中線模型【例6】．（24-25八年級下·甘肅武威·開學考試）【方法學習】數學興趣小組活動時，王老師提出了如下問題：如圖1，在中，，，求邊上的中線的取值范圍．小李在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1），①延長到，使得；②連接，通過三角形全等把、、轉化在中；③利用三角形的三邊關系可得的取值范圍為，從而得到的取值范圍；方法總結：解題時，條件中若出現“中點”、“中線”字樣，可以考慮倍長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中．【問題解決】(1)如圖1，請寫出的取值范圍是；(2)如圖2，已知中，平分，且，求證：．【跟蹤訓練1】．（2025八年級上·全國·專題練習）如圖，在中，是邊上的中線，，，則的取值范圍是．【跟蹤訓練2】．（24-25八年級上·全國·期末）綜合與實踐【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內和同學們合作交流后，得到了如下的解決方法：延長到E，使，連接BE．請根據小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到，依據是___________；A．

B．

C．

D．（2）由“三角形的三邊關系”，可求得的取值范圍是___________．解后反思：題目中出現“中點”“中線”等條件，可考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中．[初步運用]（3）如圖2，是的中線，交于E，交于F，．若，，求線段BF的長．題型七：全等三角形的輔助線之垂線模型【例7】．（23-24八年級上·安徽合肥·階段練習）如圖，在中，，直線經過頂點，過，兩點分別作的垂線，，，為垂足，且．求證：(1)；(2)．【跟蹤訓練1】．（25-26八年級上·重慶）如圖，在中，，，是線段上一點，連接，過點作，且，連接交于點，若，，則的長度為（

）A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1【跟蹤訓練2】．（25-26八年級上·全國·單元測試）(1)如圖①，點A是線段上一點，，，，，求證：；(2)如圖②，若點A在直線上，（1）中其他條件不變，有什么數量關系？并證明．題型八：全等三角形的輔助線之旋轉模型【例8】．（24-25七年級下·山東濟南·期末）和是兩個角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板，【問題初探】（1）當兩個三角板如圖（1）所示的位置擺放時，D、B、C在同一直線上，連接、，請證明：；【類比探究】（2）當三角板保持不動時，將三角板繞點B順時針旋轉到如圖（2）所示的位置，判斷與的數量關系和位置關系，并說明理由．【跟蹤訓練1】．（24-25八年級上·廣西南寧·期中）【問題初探】和是兩個都含有角的大小不同的直角三角板．（1）當兩個三角板如圖（1）所示的位置擺放時，、、在同一直線上，，，，．依據的是判定定理_________．A．

B．

C．

D．【類比探究】（2）當三角板保持不動時，將三角板繞點順時針旋轉到如圖（2）所示的位置，判斷與的數量關系和位置關系，并說明理由．【拓展延伸】（3）如圖（3），在四邊形中，，，，連接，，，到直線的距離為7，請求出的面積．

【跟蹤訓練2】．（21-22八年級上·天津和平·期中）在中，，，是過A的一條直線，于點D，于E，（1）如圖（1）所示，若B，C在的異側，易得與，的關系是____________；（2）若直線繞點A旋轉到圖（2）位置時，（），其余條件不變，問與，的關系如何？請予以證明；（3）若直繞點A旋轉到圖（3）的位置，（），問與，的關系如何？請直接寫出結果，不需證明．題型九：全等三角形判定的綜合應用【例9】．（23-24八年級上·河北邢臺·期中）在中，是的中點．(1)如圖1，在邊上取一點，連接，過點作交的延長線于點，求證：．(2)如圖2，將一直角三角板的直角頂點與點重合，另兩邊分別與相交于點，，求證：．【跟蹤訓練1】．（21-22八年級下·福建寧德·開學考試）如圖，在中，，，，點D為的中點，如果點P在線段上以6厘米/秒的速度由點B向點C運動，同時點Q在線段上由C點向A點運動.當一個點停止運動時，另一個點也隨之停止運動.

(1)用含有t的代數式表示，則________；(2)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后，與是否全等，請說明理由；(3)若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，那么當點Q的運動速度為多少時，能夠使與全等？【跟蹤訓練2】．（22-23八年級上·山西呂梁·期末）（1）已知，，O為中點，過O點的直線分別與相交于點M，N，如圖1，那么與有什么關系？請說明理由．（2）若將過O點的直線旋轉至圖2、3的情況時，其它條件不變，那么圖1中的與的關系還成立嗎？請說明理由．題型十：全等三角形的線段和差問題【例10】．（23-24八年級上·山東臨沂·期中）【基本模型】（1）如圖1，是正方形，，當在邊上，在邊上時，請你探究、與之間的數量關系，并證明你的結論．【模型運用】（2）如圖2，是正方形，，當在的延長線上，在的延長線上時，請你探究、與之間的數量關系，并證明你的結論．【跟蹤訓練1】．（23-24八年級上·湖南岳陽·期中）如圖①，在△中，，90°，直線是過點的任意一條直線，于點，于點．

(1)求證：△△．(2)猜想，，三條線段之間的數量關系．（不寫證明）(3)在圖②中，將圖①中的直線繞點逆時針旋轉一任意角度，經過三角形的內部（不與，重合）時，上述三條線段之間又有怎樣的數量關系？請寫出結論，并畫出圖形．【跟蹤訓練2】．（22-23八年級上·山東濟寧·期中）閱讀下面文字并填空：數學習題課上李老師出了這樣一道題：“如圖1，在中，平分，．求證：”．李老師給出了如下簡要分析：要證就是要證線段的和差問題，李老師采用了‘截長法’，如圖2，在上截取，連接，只要證__________即可，這就將證明線段和差問題轉化為證明線段相等問題，只要證出____________________，得出及__________，再證出____________________，進而得出，則結論成立．請仿照上題方法解決以下問題：變式應用：如圖，和是等腰三角形，且，，，，以A為頂點作一個角，角的兩邊分別交邊延長線于點E、F，連接，則之間存在什么樣的關系？并說明理由．【高分演練】一、單選題1．（2025八年級上·新疆·專題練習）如圖是用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的示意圖，說明的依據是（）A． B． C． D．2．（25-26八年級上·湖北孝感·期中）能判定的條件是（

）A． B．C． D．3．（25-26八年級上·全國·期末）如圖，點，分別在線段，上，與相交于點，已知，現添加以下條件仍不能判定的是（

）A． B． C． D．4．（25-26八年級上·重慶）如圖，為了測量河兩岸A，B兩點的距離，過點B作，在上取兩點C，D，使得，再過D點作的垂線，使得點E、C、A在同一直線上，若，，，則A，B兩點的距離是（

）A． B． C． D．5．（25-26八年級上·江蘇無錫·階段練習）如圖，，則的度數為（

）A． B． C． D．6．（22-23八年級上·四川瀘州·期末）如圖，，且，，，分別交于E、F兩點，若，，，則的長為（

）A．12 B．11 C．8 D．107．（25-26八年級上·全國·期末）如圖，在等腰直角中，，點F為上一點，連接，過點C，B分別作于點D，交的延長線于點E，若，則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．58．（25-26八年級上·河北·階段練習）如圖，在中，，的角平分線、相交于點P，過P作交的延長線于點F，交于點H．有下列結論：①；②；③；④；其中正確的個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題9．（25-26八年級上·甘肅定西·階段練習）如圖，欲證，若，請再添加一個已知條件是．10．（25-26八年級上·陜西榆林·階段練習）如圖，在和中，點在同一直線上，點為邊的中點，，，，若，則的長為11．（2025八年級上·全國·專題練習）如圖，在中，點D是的中點，，交于點E，連，若的周長是，則的周長等于．12．（25-26八年級上·江蘇南京·階段練習）如圖，在四邊形中，，，，且，，三點在同一條直線上，若，則的度數為．13．（25-26八年級上·黑龍江哈爾濱·開學考試）如圖，中，，分別過點B、C作過點A的直線的垂線，垂足分別為D、E，若，則．三、解答題14．（25-26八年級上·廣東深圳·開學考試）如圖，在四邊形中，．(1)求證：；(2)若，，求的長．15．（2025八年級上·全國·專題練習）如圖，，，點D是上一點，于E，于F，，求證：．