14.1.1《變量與函數(shù)》

--內(nèi)容和內(nèi)容解析

【教學內(nèi)容】

《14.1變量與函數(shù)》是義務教育課程標準實驗教科書人教版八年級上冊第十四章第一單元,

教參建議本單元內(nèi)容5個課時完畢.我們把第1.2.3小節(jié)整合為兩個課時，第1課時介紹

變量與函數(shù)的概念，第2課時探索量與量之間的函數(shù)關系，并用合適的函數(shù)表達方法進行

描述，第3課時結(jié)識函數(shù)座象（“看圖說話”），第4.5課時畫函數(shù)圖象.本設計是第1課

時，是典型的概念課，引導學生從生活實例中抽象出常量、變量與函數(shù)等概念，其中函數(shù)

的概念是本節(jié)核心內(nèi)容.

【教材分析】

函數(shù)是數(shù)學中最重要的基本概念之一，它刻畫了現(xiàn)實世界中一類數(shù)量關系之間的“特殊相

應關系”.方程、不等式、函數(shù)是初中數(shù)學的核心概念，它們從不同的角度刻畫一類數(shù)量

關系.本節(jié)課是函數(shù)入門誤，一方面必須準確結(jié)識變量與常量的特性，初步感受到現(xiàn)實

世界各種變量之間聯(lián)系的復雜性，同時感受到數(shù)學研究方法的化繁就簡，在初中階段重

要研究兩個變量之間的特殊相應關系.課本的引例較為豐富，但有些內(nèi)容學生較為陌生，

本設計只選取了其中較為簡樸的例子.考慮到初中列函數(shù)的解析式是一個難點，其本質(zhì)

是用含x的式子表達y,本節(jié)課中涉及的列函數(shù)解析式不是新的教學內(nèi)容（將來學的待

定系數(shù)法才是新的教學內(nèi)容），也不是本節(jié)課能解決的問題，因此把設計的重點放在結(jié)識

“兩個變量間的特殊相應關系：由哪一個變量擬定另一變量；唯一擬定的含義.”考慮

到學生在平常生活中也能接觸到函數(shù)圖象，函數(shù)圖象較為直觀形象，便于學生理解函數(shù)

的概念，因此把函數(shù)圖象中的部分內(nèi)容提前到第1課時.

【學情分析】

變量與函數(shù)的概念把學生由常量數(shù)學的學習引入變量數(shù)學學習中.“變量與函數(shù)”較為抽

象，學生初次接觸函數(shù)的概念，難以理解定義中“唯一擬定”的準確含義.另一方面，學

生在平常生活中也接觸到函數(shù)圖象、兩個變量的關系等生活實例.在本節(jié)教學中，試圖從

學生較為熟悉的現(xiàn)實情景入手，引領學生結(jié)識變量和函數(shù)的存在和意義，體會變量之間

的互相依存關系和變化規(guī)律，借助生活實例，結(jié)識"曰哪一個變量擬定另一個變量？唯

一擬定的含義是什么？"，初步理解函數(shù)的概念.

二.目的和目的解析

【知識目的】

(1)基于生活經(jīng)驗，學生初步感知用常量與變量來刻畫一些簡樸的數(shù)學問題.能指

出具體問題中的常量、變量.

(2)借助簡樸實例，初步理解變量與函數(shù)的關系，知道存在一類變量可以用函數(shù)方式來

刻畫.能舉出涉及兩個變量的實例，井指出由哪一個變量擬定另一個變量，這兩個變量

是否具有函數(shù)關系.

(3)借助簡樸實例，初步理解相應的思想，體會函數(shù)概念的核心是兩個變量之間的特殊

相應關系.能判斷兩個變量間是否具有函數(shù)關系.

【過程與方法目的】

借助簡樸實例，引領學生參與變量的發(fā)現(xiàn)和函數(shù)概念的形成過程，體會從生活實例抽象出

數(shù)學知識的方法，感知現(xiàn)實世界中變量之間聯(lián)系的復雜性，數(shù)學研究從最簡樸的情形入

手，化繁為簡.

【情感與態(tài)度目的】

(1)從學生熟悉、感愛好的實例引入課題，學生初步感知實際生活蘊藏著豐富的數(shù)學

知識，感知數(shù)學是有用、有趣的學科.

（2）借助簡樸實例，引領學生參與變量的發(fā)現(xiàn)和函數(shù)概念的形成過程，體驗”發(fā)現(xiàn)、發(fā)明”

數(shù)學知識的樂趣.

【目的解析】

函數(shù)的概念具有高度的抽象性.學生知道代數(shù)式中的字母可以表達數(shù)，方程中的未知數(shù)

求出來后也是一個“已知數(shù)”，從“靜態(tài)”的角度理解字母所表達的數(shù).學生的生活經(jīng)驗

中已具有一些樸素的函數(shù)美系的實例.學生初次接觸兩個變量之間的特殊相應關系，教

師應根據(jù)學生的認知基礎，創(chuàng)設豐富的現(xiàn)實情境，使學生在豐富的現(xiàn)實情境中感知變量

和函數(shù)的存在和意義，結(jié)識常量與變量，理解具體實例中兩個變量的特殊相應關系，初

步理解函數(shù)的概念.

【變量與函數(shù)概念的核心】

兩個變量間的特殊相應關系：（1）由哪一個變量擬定另一個變量；（2）唯一相應關系.

【教學重點】借助簡樸實例，從兩個變量間的特殊相應關系抽象出函數(shù)的概念.

【教學難點】如何理解“唯一相應”.

【教學關鍵】

借助實例，明確由哪一個量的變化引起另一個量的變化，進而指出由哪一個變量擬定另

一個變量；“唯一相應”是一種特殊的相應關系，涉及“一對一”、“多對一”.“一對多”

不是函數(shù)關系.

三、教學問題診斷分析

【學生已有的知識結(jié)構(gòu)】

學生已學習了實數(shù)的加減、乘除、乘方與開方的運算，學習了列代數(shù)式及求代數(shù)式的值，

會列一次方程（組）及解方程組，知道字母可以表達數(shù)，方程中的未知數(shù)求出來后也是一

個“已知數(shù)”，從“靜態(tài)”的角度理解字母所表達的數(shù).學生的生活經(jīng)驗中具有一些樸素

的函數(shù)實例，依托學生熟悉的生活實例，引導學生結(jié)識抽象的函數(shù)的概念符合學生的認

知規(guī)律.

【學生學習的困難】

學生對“唯一相應關系”的理解是一個難點，特別是沒有實例背景的變量間的相應關

系.

應借助學生熟悉的簡樸實例明確研究函數(shù)的目的，理解變量間的特殊相應關系，初步理

解函數(shù)的概念.函數(shù)關系的本質(zhì)，是變量與變量之間的特殊相應關系（單值相應）.假如

直接研究某個量y有一定困難，我們可以去研究另一個與之有關的量x,而x相對于y來

說，比較容易研究，從而達成研究的目的.這也是一種化繁為簡的轉(zhuǎn)化思想.

四、教學方法與教學手段

學生的學法應以自主探究與合作交流為主.通過小組合作，結(jié)識“唯一擬定”的準確

含義.

教法采用師生互動探究式教學.函數(shù)概念具有高度的抽象性，借助幾何畫板形象演示幾何

圖形中量與量之間的函數(shù)關系，借助學生熟悉的生活實例，引領學生經(jīng)歷從具體實例中

抽象出常量、變量與函數(shù)的過程，初步理解抽象的函數(shù)概念.

五、教學過程

導言：

1.《名偵探柯南》中有這樣一個情景：柯南根據(jù)案發(fā)現(xiàn)場的腳印，鎖定疑犯的身高.你知

道其中的道理嗎？

理由：

2.我們班中同學A與職業(yè)相撲運動員，誰的飯量大？你能說明理由嗎？

理由：

上述兩個問題中都涉及兩個量的關系，這一節(jié)課我們研究兩個量的關系，研究如何

由一個量來擬定另一個量.

板書課題：兩個—量的關系：

1一個->-------------?兄一個>

說明：從學生的生活入手，開門見山，在極短的時間(一兩分鐘)內(nèi)指明本節(jié)課的學習內(nèi)

容.空格中將來填上變量的“變”字.現(xiàn)實世界中各種量之間的聯(lián)系紛繁復雜，應向?qū)W生

說明我們數(shù)學的研究方法是化繁就簡，本節(jié)課只關系注一類簡樸的問題.

(一)概念的引入

1.票房收入問題：每張電影票的售價為10元.

(1)若一場售出150張電影票，則該場的票房收入是元；

(2)若一場售出205張電影票，則該場的票房收入是元；

(3)若一場售出310張電影票，則該場的票房收入是元；

(4)若一場售出張電影票，則該場的票房收入元，則

思考：

(1)票房收入隨售出的電影票變化而變化，即隨的變化而變化；

(2)當售出票數(shù)取定一個擬定的值時，相應的票房收入的取值是否唯一擬

定？

(例如，當二150時，的取值是唯一、還是有多個值？)答：

2.如圖，是某班同學一次數(shù)學測試中的成績登記表：這一數(shù)學測試中,

學號成績

(1)13號的成績?yōu)??????

1377

1482

(2)17號的成績?yōu)開_____1590

1688

1768

1877

(3)18號的成績?yōu)?996

2082

2169

2252

2393

????.?

（4）23號的成績?yōu)?

思考：

（1）測試成績隨_______的變化而變化；

（2）任意擬定一個學號x,相應的成績f的取值是否唯一擬定？

（例如，當學號二13時，所得成績f的取值是唯一、還是有多個值？）答:

3.溫度變化問題：如圖一，是撫順春季某一天的氣溫T隨時間t變化的圖象，看圖回答:

cT（*c）

圖一

（1）這天的8時的氣溫是°C,14時的氣溫是°C,22時的氣溫是°C；

（2）這一天中，最高氣溫是°C,最低氣溫是℃；

（3）這一天中，在4時12時，氣溫（），在12時~14時氣溫（），在16時

“24時，氣溫（）?

A.連續(xù)升高B.連續(xù)減少C.連續(xù)不變

思考：

（1）天氣溫度隨的變化而變化，即隨的變化而變化；

（2）當時間取定一個擬定的值時，相應的溫度的取值是否唯一擬定？

（例如，當=12時，所得溫度的取值是唯一、還是有多個值？）答：.

設計意圖：這三個問題中都具有變量之間的單值相應關系，通過研究這些問題引出常量、

變量、函數(shù)等概念，通過這種從實際問題出發(fā)開始討論的方式，使學生體驗從具體到抽象

地結(jié)識過程.問題的形式力填空、列表、求值、寫解析式、讀圖等，隱含著在函數(shù)關系中

表達兩個變量的相應關系有解析法、列表法、圖象法.

（二）概念的定義

1.上述四個問題中，分別涉及哪些量的關系？通過哪一個量可以擬定另一個量？

答：票房收入問題中，涉及票價（10元）、售出票數(shù)、票房收入，票數(shù)的變化會

引起票房收入的變化，如圖所示：

售出票數(shù)-------------?票房收入

類似的，有：

學號X-------------?成績f

時間-------------?氣溫

在上面的四個問題中，其中一個量的變化引起另一個量的變化（按照某種規(guī)律變化），

變化的量叫做變量；有些量的值始終不變（例如電影票的單價10元……）.并且當其中

一個變量取定一個值時，另一個變量就隨之擬定一個值.

以氣溫問題為例，時間的變化引起溫度的變化，

（1）當t=0點時,T=2;

當t=2點時，『0;

（2）當t=12點時，T=8;

當t=12點1分時，T=8;

當t=12點2分時，T=8;

???

當t=14點時，T=8;

情況（1）（2）中，時間取定一個值時，所得T的相應值只有一個（也許是“一對一”，

也也許是“多對一”），即通過時間t,能把溫度T“唯一擬定”.

反之，當T=8時，所得t的值為12~14點之間的任一時刻（“多對一”），通過溫度T,

不能把時間t“唯一擬定”.

在這個問題中，我們把溫度T稱為時間t的函數(shù).（但時間t不是溫度T的函數(shù)，由

于通過溫度T,不能把時間t“唯一擬定”.）

一般地，

在一個變化過程中：

（1）發(fā)生變化的量叫做；

（2）不變的量叫做；

（3）假如有兩個變量和，對于的每一個值，都有的值與之相應，稱

是，是的；

（4）假如當時，，叫做當時的函數(shù)值.

說明：如何把具體的實例進行抽象，形式化為數(shù)學知識是本課的關鍵.這里提出的問

題“上述四個問題中，分別涉及哪些量的關系？通過哪一個量可以擬定另一個量？”是一

個關鍵的“腳手架”，通過“腳手架”引領學生經(jīng)歷數(shù)學概念的形成過程，引導學生結(jié)識

為什么要引進變量、常量、函數(shù)的概念，逐步了解如何給數(shù)學概念下定義.

問題回顧

指出前面三個問題中的涉及到的量，并指出其中的變量、常量、自變量與函數(shù).

1.“票房收入問題”中，

（1）涉及到的量有,其中的變量是,常量是—;

（2）是自變量，是的函數(shù).

2.“成績問題”中，

（1）涉及到的量有,其中的變量是________,常量是—;

（2）是自變量，是的函數(shù).

3.“氣溫變化問題”，

（1）涉及到的量有,其中的變量是,常量是—;

（2）是自變量，是的函數(shù).

注意：常量與變量必須依存十一個變化過程中，判斷一個量是常量還是變量，關鍵看它

在這個變化過程中是否發(fā)生變化.

設計意圖：鞏固常量、變量、自變量、函數(shù)的概念，

例1一個三角形的底邊為5,這一邊上的高可以任意伸縮，三角形的面積也隨之發(fā)生

了變化.

解：（1）面積隨變化的關系式—，其中常量是，變量

是，

是自變量，是的函數(shù)；

（2）當3時，面積；

（3）當10時，面積；

（4）當高由1變化到5時，面積從變化到.

例2假如用表達圓的半徑，半徑r的變化會引起圓中哪些量發(fā)生變化？這些

變量是半徑r的函數(shù)嗎？

分析：

并有，5是「的函數(shù)；

并有，（2是「的函數(shù)；

并有4是「的函數(shù).

說明：此兩例引導學生體會幾何問題中兩個變量在動態(tài)變化過程中的依存關系，順便說

明字母“冗”是常量，但這并不是本節(jié)課的核心念.

（三）概念鞏固

購買一些簽123???

字筆，單價

3元，總價

為元，簽

字筆為支，

根據(jù)題意填

表：

X（支）

y（元）

（1）隨變化的關系式，是自變量，足的函數(shù)；

（2）當購買8支簽字筆時，總價為元.

2.周末，小李8時騎自行車從家里出發(fā)，到野外郊游，16時回到家里.他離開家后的距離

（千米）與時間（時）的關系如圖所示.

（1）當時，；當時，；

（2）小李從時開始第一次休息，休息時間為一小時，此時離家千米.

（3）距離是時間t的函數(shù)嗎？

（4）***時間是距離的函數(shù)嗎？

設計意圖：1.例題和鞏固練習，鞏固變量與函數(shù)等概念，讓學生充足體會到許多問題

中的變量美系都存在著函數(shù)關系，隱含著在函數(shù)美系中表達兩個變量的相應美系有解析

法、列表法、圖象法.2.練習二2（4）涉及反函數(shù)的知識，不少教師認為超綱不應涉及，本

人的實踐證明，提出這樣的問題更有助于學生理解函數(shù)的“單值相應關系”，有助于學生

明確“由哪一個量能唯一擬定另一個量”，從而更好地理解自變量與函數(shù)的關系，更重要

的是讓學生養(yǎng)成逆向思維的習慣.當然，不宜在反函數(shù)的概念上作過多的拓展.

（四）概念辨析

1.兩個變14916

量X、y滿

足關系式

,填表

并回答問

題：

X

y

是的函數(shù)嗎？為什么？

2.下列各圖中，表達是的函數(shù)的有（可以多選）.

理解函數(shù)概念把握兩點：①由哪一個變量擬定另一個變量；②唯一相應關系.

設計意圖：理解函數(shù)概念的核心是“①由哪一個變量擬定另一個變量；②唯一相應關系”，

給定自變量的任意一個值就有唯一擬定的的值和它相應，這樣的相應可以是“一個自

變量相應一個因變量”（簡稱“一對一”），也可以是“兒個自變量相應一個因變量”（簡

稱“多對一”），但不可以是“一個自變量相應多個因變量”（簡稱“一對多”）.

3.你能舉出涉及兩個變量的例子嗎？它們具有函數(shù)關系嗎？

（五）小結(jié)

函數(shù)的概念:

自變量（擬定）＞函數(shù)（值擬定）

設計意圖：通過小結(jié)，讓學生抓住理解函數(shù)概念的實質(zhì).

（六）作業(yè)

1.行程問題：汽車以60千米/秒的速度勻速行駛，行駛里程為千米，行駛時間為小

時.

請根據(jù)12345???10

題意填

表：

t（時）

$（千米）

從表中可以發(fā)現(xiàn)：

（1）行駛路程隨的變化而變化，即隨的變化而變化；

（2）當行駛時間取定一個擬定的值時，行駛路程的取值是否唯一擬定？

（例如，當=3時，的取值是唯一、還是有多個值？）答：.

2.寫出下列問題中的函數(shù)解析式，并指出其中的自變量、函數(shù)：

（1）正方形的面積s與邊長工關系式；

（2）秀水村的耕地面積是m2,這個村人均占有耕地面積隨這個村人數(shù)的變化而變

化.

解：（1）函數(shù)解析式：，是自變量，是的函數(shù)；

（2）函數(shù)解析式：，是自變量，是的函數(shù).

3.一年期的存款利率是4%,

（1）填表：1002005001000

本金X（元）

一年到期后所得的

利息y（元）

（2）本金R元與一年到期后所得的利息y元之間的關系式